चक्रवृद्धि ब्याज का मतलब है ब्याज पर ब्याज। बैंकिंग और योग्यता परीक्षाओं में इससे अक्सर प्रश्न पूछे जाते हैं।
इस पाठ में हर सूत्र के साथ बताया गया है कि वह क्यों काम करता है। इसके बाद चार उदाहरण चरण-दर-चरण हल किए गए हैं और उन आम गलतियों को बताया गया है जिनसे अंक कटते हैं।
- मिश्रधन: A = P(1 + R/100)^n.
- ब्याज: CI = A − P.
- 2 वर्षों का अंतर: CI − SI = P(R/100)².
- छमाही: दर R/2, अवधियाँ 2n.
- आम गलती: वृद्धि गुणकों को गुणा करें, दरों को कभी न जोड़ें।
चक्रवृद्धि ब्याज क्या है
चक्रवृद्धि ब्याज क्या होता है?
चक्रवृद्धि ब्याज, ब्याज पर मिलने वाला ब्याज है। हर वर्ष ब्याज को मूलधन में जोड़ दिया जाता है। अगले वर्ष इस बढ़ी हुई राशि पर ब्याज मिलता है।
साधारण ब्याज में ऐसा नहीं होता। इसकी गणना हमेशा शुरुआती मूलधन पर ही होती है।
यह तेजी से क्यों बढ़ता है?
वर्ष 1 में दोनों तरीकों से समान ब्याज मिलता है। वर्ष 2 में चक्रवृद्धि ब्याज के तहत वर्ष 1 के ब्याज पर भी ब्याज मिलता है।
इसलिए दोनों के बीच का अंतर बढ़ता जाता है।
जाँच 1
पहले वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज बराबर होते हैं।
मुख्य सूत्र और उनके काम करने का कारण
मिश्रधन का सूत्र क्या है?
A = P(1 + R/100)^n. P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है और n वर्षों की संख्या है।
यह क्यों काम करता है: हर वर्ष राशि को (1 + R/100) से गुणा किया जाता है। n वर्षों के बाद यह गुणा n बार हो चुका होता है।
केवल ब्याज कैसे निकालते हैं?
CI = A − P.
यह क्यों काम करता है: मिश्रधन में मूलधन और पूरा ब्याज शामिल होता है।
2 वर्षों के लिए CI − SI का अंतर कितना होता है?
CI − SI = P(R/100)².
यह क्यों काम करता है: वर्ष 1 में दोनों तरीकों से समान ब्याज मिलता है। वर्ष 2 में CI के तहत वर्ष 1 के ब्याज पर भी ब्याज मिलता है। यह अतिरिक्त ब्याज (P × R/100) × R/100 होता है।
छमाही चक्रवृद्धि ब्याज की गणना कैसे करते हैं?
दर R/2 और अवधियों की संख्या 2n लें। तिमाही के लिए दर R/4 और अवधियों की संख्या 4n लें।
यह क्यों काम करता है: वर्ष में दो बार ब्याज जोड़ा जाता है। हर बार वार्षिक दर की आधी दर से ब्याज मिलता है।
अगर हर वर्ष दर बदल जाए तो क्या करें?
A = P(1 + R₁/100)(1 + R₂/100).
यह क्यों काम करता है: हर वर्ष का अपना वृद्धि गुणक होता है। इन्हें बारी-बारी से गुणा किया जाता है।
वर्तमान मूल्य क्या है?
वर्तमान मूल्य = मिश्रधन ÷ (1 + R/100)^n.
यह क्यों काम करता है: इसमें मिश्रधन के सूत्र का उलटा उपयोग होता है। गुणा करने की जगह भाग देते हैं।
जाँच 2
छमाही चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में 2n अवधियों के लिए पूरी वार्षिक दर का उपयोग किया जाता है।
चार हल किए गए उदाहरण
आसान तरीके से, चरण-दर-चरण: यदि 2500 रुपये 2 वर्षों में 3364 रुपये हो जाते हैं, तो दर ज्ञात करें।
चरण 1: 3364 ÷ 2500 = 1.3456.
चरण 2: यह (1 + R/100)² के बराबर है। 1.3456 का वर्गमूल 1.16 है।
चरण 3: R/100 = 0.16. दर है 16%.
मध्यम स्तर, चरण-दर-चरण: किसी मूलधन पर 10% की दर से 2 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज (CI) Rs 420 है। मूलधन ज्ञात करें।
चरण 1: 2 वर्षों का वृद्धि गुणक 1.1 × 1.1 = 1.21 है।
चरण 2: चक्रवृद्धि ब्याज (CI), मूलधन का 0.21 गुना है।
चरण 3: मूलधन = 420 ÷ 0.21 = Rs 2000.
परीक्षा स्तर, चरण-दर-चरण: Rs 2800 को 2 वर्षों के लिए उधार दिया गया है। पहले वर्ष की दर 5% और दूसरे वर्ष की दर 10% है। मिश्रधन ज्ञात करें।
चरण 1: पहले वर्ष का गुणक 1.05 है। 2800 × 1.05 = 2940।
चरण 2: दूसरे वर्ष का गुणक 1.10 है। 2940 × 1.10 = 3234।
चरण 3: मिश्रधन है Rs 3234.
परीक्षा स्तर, चरण-दर-चरण: 40% वार्षिक दर पर 2 वर्षों बाद मिलने वाले Rs 882 का वर्तमान मूल्य ज्ञात करें।
चरण 1: 2 वर्षों का गुणक 1.4 × 1.4 = 1.96 है।
चरण 2: वर्तमान मूल्य = 882 ÷ 1.96।
चरण 3: उत्तर है Rs 450. जाँच: 450 × 1.96 = 882।
परीक्षा स्तर, चरण-दर-चरण: Rs 5000 पर 10% की दर से 2 वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) का अंतर ज्ञात करें।
चरण 1: साधारण ब्याज (SI) = 5000 × 10 × 2 ÷ 100 = Rs 1000।
चरण 2: चक्रवृद्धि ब्याज के साथ मिश्रधन = 5000 × 1.1 × 1.1 = Rs 6050। इसलिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = Rs 1050।
चरण 3: अंतर = 1050 − 1000 = Rs 50।
शॉर्टकट से जाँचें: 5000 × (10/100)² = 5000 × 0.01 = Rs 50.
परीक्षा स्तर, चरण-दर-चरण: Rs 8000 को 10% वार्षिक दर पर 1 वर्ष के लिए निवेश किया गया है। ब्याज हर छमाही जोड़ा जाता है। मिश्रधन ज्ञात करें।
चरण 1: छमाही दर 5% है। कुल 2 अवधियाँ हैं।
चरण 2: 8000 × 1.05 = 8400। फिर 8400 × 1.05 = 8820।
चरण 3: मिश्रधन है Rs 8820. सालाना ब्याज जोड़ने पर केवल Rs 8800 मिलते।
जाँच 3
वर्तमान मूल्य निकालने के लिए मिश्रधन को (1 + R/100)^n से गुणा किया जाता है।
आम गलतियाँ और शॉर्टकट
किन गलतियों से अंक कटते हैं?
प्रश्न में ब्याज पूछा हो तो मिश्रधन बता देना। मिश्रधन में से मूलधन घटाएँ।
छमाही चक्रवृद्धि ब्याज में पूरी वार्षिक दर लगा देना। दर आधी करें और अवधियों की संख्या दोगुनी करें।
3 वर्षों के लिए P(R/100)² का उपयोग करना। यह शॉर्टकट केवल 2 वर्षों के लिए है।
दरें बदलने पर उन्हें जोड़ देना। वृद्धि गुणकों को आपस में गुणा करें।
कौन-से शॉर्टकट समय बचाते हैं?
2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) का अंतर P(R/100)² होता है। उदाहरण: Rs 5000 पर 10% की दर से अंतर 5000 × 0.01 = Rs 50 है।
2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = साधारण ब्याज (SI) + अतिरिक्त ब्याज। पहले साधारण ब्याज निकालें, फिर उसमें थोड़ा अतिरिक्त ब्याज जोड़ें।
आम वर्ग याद रखें: 1.1² = 1.21, 1.2² = 1.44, 1.25² = 1.5625।
प्रतिशत के बजाय गुणक से गणना करें। पहले गुणा करें, फिर मूलधन घटाएँ।
परीक्षाओं में किस तरह के प्रश्न आते हैं?
पाँच तरह के प्रश्न बार-बार आते हैं: दर निकालना, मूलधन निकालना, मिश्रधन निकालना, बदलती दर और वर्तमान मूल्य।
छमाही ब्याज वाले प्रश्नों में दर और अवधियों की संख्या बदलती है। पहले इन्हें बदलें।
गणना से पहले सभी गुणकों को एक पंक्ति में गुणा के रूप में लिखें।
कौन-से वृद्धि गुणक याद रखने चाहिए?
2 वर्षों के लिए 10% की दर पर गुणक 1.21 है। 20% पर यह 1.44 है। 25% पर यह 1.5625 है।
3 वर्षों के लिए 10% की दर पर यह 1.331 है। 20% पर यह 1.728 है।
इन्हें याद करें। इनसे लंबे गुणा की जगह झटपट जाँच की जा सकती है।
जाँच 4
10% वार्षिक दर पर 1 वर्ष के छमाही चक्रवृद्धि ब्याज के लिए 2 अवधियों में 5% की दर लगाएँ।
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