सरल आवर्त गति और दोलन

दोलन का अर्थ है संतुलन स्थिति के आसपास बार-बार होने वाली गति। आवर्ती गति एक निश्चित समय अंतराल के बाद अपनी अवस्था दोहराती है।

घूमता हुआ पहिया एक सीधी रेखा में आगे-पीछे चले बिना भी आवर्ती गति कर सकता है। अवमंदित झूला हर बार ठीक वही आयाम दोहराए बिना भी दोलन कर सकता है।

एकविमीय SHM के लिए, संतुलन स्थिति से विस्थापन मापें x । तब त्वरण का परिभाषित नियम है:

a = −ω²x

यहाँ, a त्वरण है और ω कोणीय आवृत्ति है। गुणांक ω² धनात्मक और स्थिर है आदर्श दोलक के लिए।

यदि x धनात्मक है, तो त्वरण ऋणात्मक है। यदि x ऋणात्मक है, तो त्वरण धनात्मक है।

इसलिए ऋण चिह्न का अर्थ है संतुलन स्थिति की ओर, न कि “वेग के विपरीत।” संतुलन स्थिति की ओर जाते समय वस्तु का त्वरण उसकी गति की दिशा में होता है।

वस्तु केंद्र को पार क्यों करती है?

प्रत्यावर्ती बल विस्थापित वस्तु को धकेलकर या खींचकर वापस लाता है। संतुलन स्थिति के पास आते समय वस्तु की चाल बढ़ती है।

संतुलन स्थिति पर प्रत्यावर्ती बल शून्य हो जाता है, लेकिन वस्तु में वेग बना रहता है। जड़त्व के कारण वस्तु केंद्र से आगे निकल जाती है।

इसके बाद बल की दिशा उलट जाती है और वस्तु धीमी होती है। दिशा बदलने वाले बिंदु पर वस्तु क्षण भर रुकती है और फिर भीतर की ओर चलने लगती है।

ऊर्जा की हानि न होने पर यह आदान-प्रदान चलता रहता है। जब घर्षण से ऊर्जा घटती है, तब केवल प्रत्यावर्ती बल गति को हमेशा जारी नहीं रख सकता।

• आयाम A: संतुलन स्थिति से विस्थापन का सबसे बड़ा परिमाण, जिसे रेखीय गति के लिए मीटर में मापा जाता है।
• आवर्तकाल T: एक पूरा चक्र होने में लगने वाला समय, जिसे सेकंड में मापा जाता है।
• आवृत्ति f: प्रति सेकंड पूरे होने वाले चक्रों की संख्या, जिसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है।
• कोणीय आवृत्ति ω: कला में परिवर्तन की दर, जिसे रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है।

इनके बीच संबंध हैं:

f = 1/T

ω = 2πf = 2π/T

T = 2π/ω

आवृत्ति और कोणीय आवृत्ति एक ही दोहराव को अलग-अलग पैमानों पर व्यक्त करती हैं। एक चक्र के बराबर होते हैं 2π रेडियन, एक रेडियन नहीं।

एक पूरा चक्र किसे कहते हैं?

दाएँ अंतिम बिंदु से शुरू करें। बाएँ अंतिम बिंदु तक जाएँ, फिर दाएँ अंतिम बिंदु पर लौट आएँ।

इस पूरी यात्रा में T समय लगता है। दोनों अंतिम बिंदुओं के बीच जाने में लगने वाला समय है T/2.

रैखिक सरल आवर्त गति (SHM) के एक पूरे चक्र में तय की गई दूरी है 4A। उस पूरे चक्र के बाद विस्थापन है शून्य.

मान लें कि कोई दोलक पूरा करता है 10 s में 20 चक्र। तब f = 20/10 = 2 Hz, और T = 0.5 s.

आदर्श एकविमीय सरल आवर्त गति (SHM) में, केंद्र और अंतिम बिंदुओं की तुलना करें:

वस्तु की चाल है:

चाल = ω√(A² − x²)

इसके त्वरण का परिमाण है |a| = ω²|x|। विस्थापन का परिमाण बढ़ने पर चाल घटती है, जबकि त्वरण का परिमाण बढ़ता है।

क्या “अधिकतम त्वरण” का अर्थ चिह्न सहित मान है?

हमेशा नहीं। x = +A पर, a = −ω²A, जो त्वरण का सबसे अधिक ऋणात्मक मान है।

x = −A पर, a = +ω²A, जो त्वरण का सबसे अधिक धनात्मक मान है। दोनों अंतिम बिंदुओं पर समान रूप से अधिकतम होता है त्वरण का परिमाण.

साम्य स्थिति के पास वस्तु की चाल अधिक हो सकती है, जबकि उसका त्वरण कम होता है। चाल बताती है कि वस्तु कितनी तेजी से चलती है; त्वरण बताता है कि वेग कैसे बदलता है।

लोलक के लिए, तालिका झूलने की दिशा में त्वरण के घटक को दर्शाती है। लोलक के गोलक के कुल त्वरण में निलंबन बिंदु की ओर एक घटक भी शामिल होता है।

आदर्श सरल आवर्त गति (SHM) का एक सुविधाजनक व्यंजक है:

x(t) = A cos(ωt + φ)

यहाँ, t समय है और φ प्रारंभिक कला है। कला बताती है कि दोलक अपने दोहराए जाने वाले चक्र में किस अवस्था में है।

दो दोलकों के आयाम और आवृत्तियाँ समान हो सकती हैं, लेकिन उनकी शुरुआती स्थितियाँ अलग हो सकती हैं। उनकी प्रारंभिक कलाएँ उनकी शुरुआती अवस्थाओं का अंतर बताती हैं।

x = +A से विराम अवस्था में छोड़ने के लिए, चुनें φ = 0। इसके बाद स्थितियाँ इस क्रम में बदलती हैं:

एक ही स्थिति से दोबारा गुजरने पर चक्र पूरा हो, यह ज़रूरी नहीं है। केंद्र से गुजरने के दोनों अवसरों पर वेग की दिशाएँ विपरीत होती हैं।

पूरी अवस्था फिर दोहराती है, जब बीता समय होता है T, 2T, 3T, और उसके बाद T के पूर्ण गुणजों पर भी। शून्य से अलग आयाम वाले सरल आवर्त दोलन (SHM) में T वह सबसे छोटा धनात्मक समयांतराल है जिसके बाद पूरी अवस्था दोहराती है।

कल्पना करें कि आप एकसमान वृत्तीय गति को वृत्त के तल में किनारे से देख रहे हैं। किसी व्यास पर इसका प्रक्षेप सरल आवर्त गति (SHM) करता है, जबकि घूमती हुई वस्तु स्वयं वृत्त पर चलती है।

एक द्रव्यमान पर विचार करें जिसका मान है m और जो एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। घर्षण नगण्य है। हुक के नियम की सीमा में स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल है:

F = −kx

यह स्प्रिंग नियतांक k स्प्रिंग की कठोरता मापता है। इसकी इकाई न्यूटन प्रति मीटर (N/m) है। यहाँ x, स्प्रिंग की बिना खिंची या दबी संतुलन लंबाई से खिंचाव या संपीड़न मापता है।

F = ma का उपयोग करने पर मिलता है a = −(k/m)x। इसकी तुलना a = −ω²x से करने पर मिलता है:

ω = √(k/m)

T = 2π√(m/k)

समान प्रत्यानयन बल लगने पर बड़े द्रव्यमान की गति अधिक धीरे बदलती है। समान विस्थापन पर अधिक कठोर स्प्रिंग अधिक प्रत्यानयन बल लगाता है।

इसलिए द्रव्यमान बढ़ाने से आवर्तकाल बढ़ता है। कठोरता बढ़ाने से आवर्तकाल घटता है।

यदि द्रव्यमान चार गुना हो जाए, तो क्या होगा?

स्प्रिंग और आदर्श परिस्थितियाँ वही रखें। तब T_new/T_old = √4 = 2.

आवर्तकाल दोगुना होता है, चार गुना नहीं। इसके बजाय यदि कठोरता चार गुना हो जाए, तो आवर्तकाल आधा हो जाता है।

हुक के नियम का पालन करने वाले इस आदर्श दोलक का आवर्तकाल आयाम बदलने से नहीं बदलता। बहुत अधिक खिंचाव पर स्प्रिंग का रैखिक नियम लागू नहीं रह सकता, इसलिए वास्तविक प्रणालियों में उचित सीमाओं का ध्यान रखना ज़रूरी है।

A सरल लोलक के मॉडल में एक छोटी गोलिका हल्के, न खिंचने वाले धागे से लटकी होती है और धागे का ऊपरी सिरा एक स्थिर बिंदु पर बँधा होता है। इसकी लंबाई L स्थिर बिंदु से गोलिका के केंद्र तक मापी जाती है।

गोलिका के वक्र पथ के अनुदिश प्रत्यानयन बल का घटक गुरुत्वाकर्षण से मिलता है। स्पर्शरेखीय बल है F_t = −mg sin θ.

रेडियन में मापे गए छोटे कोणों के लिए, sin θ ≈ θ। इस सन्निकटन से प्रत्यानयन बल और विस्थापन का संबंध लगभग रैखिक हो जाता है।

छोटे कोणों के लिए आवर्तकाल है:

T ≈ 2π√(L/g)

यहाँ, g स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण है, जिसकी इकाई m/s² है। यह सूत्र छोटे दोलन, नगण्य ऊर्जा हानि और सरल लोलक के मॉडल पर आधारित है।

इस आवर्तकाल के सूत्र में द्रव्यमान नहीं आता। लंबाई बढ़ाने से लोलक का दोलन धीमा होता है; g बढ़ाने से तेज़ होता है।

यदि लंबाई हो जाए चार गुनी, तो छोटे कोणों के लिए आवर्तकाल हो जाता है दोगुना। बड़े दोलनों में आवर्तकाल आयाम पर भी निर्भर करता है, इसलिए परिस्थितियाँ जाँचे बिना छोटे कोण वाला सरल सूत्र लागू नहीं किया जा सकता।

क्या सबसे नीचे के बिंदु पर गोलिका का कुल त्वरण शून्य होता है?

नहीं। वहाँ स्पर्शरेखीय घटक शून्य होता है, लेकिन चलती हुई गोलिका को चाहिए अभिकेंद्रीय त्वरण v²/L जिसकी दिशा स्थिर बिंदु की ओर होती है।

गोलिका की चाल सबसे नीचे के बिंदु पर अधिकतम और दिशा बदलने वाले बिंदुओं पर शून्य होती है। चाल के इस तथ्य को कुल त्वरण सदिश के बारे में किए गए दावों से अलग समझें।

आदर्श क्षैतिज स्प्रिंग दोलक के लिए, चुनें कि साम्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा शून्य हो। तब:

U = ½kx²

K = ½mv²

E = K + U = ½kA²

U प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा है, K गतिज ऊर्जा है और E कुल यांत्रिक ऊर्जा है। इनकी SI इकाई जूल (J) है।

हमारे चुने हुए संदर्भ के अनुसार, साम्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है। तब गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है।

दोनों चरम स्थितियों पर चाल और गतिज ऊर्जा शून्य होती हैं। तब स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।

इन स्थितियों के बीच ऊर्जा गतिज और स्थितिज रूपों में बदलती रहती है। कुल यांत्रिक ऊर्जा तभी स्थिर रहती है, जब मॉडल में ऊर्जा की हानि या बाहरी प्रेरक बल न हो।

स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानने का स्थान हम संदर्भ के रूप में चुनते हैं। यह हर तंत्र का सार्वभौमिक गुण नहीं है। स्थितिज ऊर्जा में बदलाव ऊर्जा के आदान-प्रदान को निर्धारित करते हैं।

चरम स्थिति तक की आधी दूरी पर क्या होता है?

जब विस्थापन x = A/2होता है, तब स्थितिज ऊर्जा E/4 होती है, क्योंकि विस्थापन का वर्ग लिया जाता है। इसलिए गतिज ऊर्जा 3E/4होती है, E/2 नहीं।

यदि k स्थिर रहे और आयाम दोगुना हो जाए, तो E चार गुना हो जाती है। उसी आदर्श स्प्रिंग और द्रव्यमान के लिए आवर्तकाल नहीं बदलता।

अवमंदन वायु प्रतिरोध और घर्षण जैसी प्रक्रियाओं से यांत्रिक ऊर्जा घटाता है। हल्के अवमंदन में दोलक दोलन करता रहता है, लेकिन उसका आयाम घटता जाता है।

बहुत अधिक अवमंदन आगे-पीछे की गति को रोक सकता है। साम्य स्थिति की ओर लौटने का अर्थ हमेशा दोलन होना नहीं है।

प्रणोदित दोलन का अर्थ है कि बार-बार लगने वाला बाहरी प्रभाव तंत्र को चलाता है। झूले को धक्का देने वाला अभिभावक बार-बार धक्के देकर ऊर्जा देता है।

अनुनाद में तंत्र की प्रतिक्रिया बहुत बढ़ जाती है, जब प्रेरक आवृत्ति किसी उपयुक्त प्राकृतिक आवृत्ति के पास पहुँचती है। हल्के अवमंदन वाले दोलक में अनुनाद उसकी अवमंदन रहित प्राकृतिक आवृत्ति के पास होता है।

अवमंदन प्रतिक्रिया को सीमित करता है और अनुनाद के शिखर को प्रभावित करता है। सही समय पर धक्के देने मात्र से वास्तविक झूले का आयाम असीमित नहीं बढ़ता।

स्वरित्र द्विभुज और गिटार के तार की अलग-अलग कंपन विधाओं की गति लगभग सरल आवर्त हो सकती है। छेड़े गए तार में कई कंपन विधाएँ एक साथ हो सकती हैं। इसलिए तार के हर बिंदु पर एक ही आदर्श ज्यावक्रीय गति होना जरूरी नहीं है।

राष्ट्रीय रक्षा अकादमी और नौसेना अकादमी (NDA & NA) परीक्षा में दोलन के सूत्रों और शर्तों से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं।

त्वरण और चाल: NDA & NA (II) 2016, Q105

साम्य स्थिति पर, आदर्श रैखिक सरल आवर्त गति (SHM) में अधिकतम चाल और त्वरण का शून्य परिमाण। परिमाण को त्वरण के सबसे अधिक ऋणात्मक मान से न मिलाएँ।

Q105 पढ़ें.

नियम की पहचान: NDA & NA (II) 2016, Q106

एक समीकरण a_x = −3x में आवश्यक रैखिक प्रत्यानयन रूप है। यदि SI मात्रकों का उपयोग किया जाए, तो गुणांक है 3 s⁻².

इसलिए ω = √3 rad/s, और T = 2π/√3 s। समीकरण a = +3x वस्तु को साम्य स्थिति की ओर लौटाने के बजाय उससे दूर धकेलता है।

a = −3x² जैसे समीकरण में आवश्यक समानुपात नहीं है। x का वर्ग करने पर साम्य स्थिति के दोनों ओर आवश्यक चिह्न परिवर्तन भी नहीं होता।

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बराबर संख्यात्मक माप: NDA & NA (II) 2016, Q110

दिया गया आयाम लें A = 2 cm और विस्थापन का परिमाण |x| = 1 cm। चाल और त्वरण के भौतिक मात्रक अलग-अलग होते हैं।

प्रश्न में इन दोनों राशियों के मात्रक नहीं दिए गए हैं। इस हल में इनके संख्यात्मक माप के मात्रक माने गए हैं cm/s और cm/s², क्रमशः।

मान लें w rad/s में कोणीय आवृत्ति का संख्यात्मक मान दर्शाता है। cm/s में चाल का संख्यात्मक माप है w√3.

cm/s² में त्वरण के परिमाण का संख्यात्मक माप है w²। इन संख्यात्मक मापों को बराबर रखने पर मिलता है w√3 = w².

शून्य से भिन्न कोणीय आवृत्ति वाले दोलक के लिए, w = √3। इसलिए T = 2π/√3 सेकंड.

भौतिक मात्रकों में इस तुलना का अर्थ है चाल = |त्वरण| × 1 s। समय के गुणक के बिना चाल को त्वरण के बराबर लिखना विमीय रूप से अधूरा है।

Q110 पढ़ें.

बार-बार दोहराए जाने वाले चक्र: NDA & NA (I) 2018, Q52

गति केवल एक बार T के बाद ही नहीं दोहराती। पूरी अवस्था T के हर पूर्ण गुणज के बाद दोहराती है: T, 2T, 3T, और इसी तरह आगे।

T/2 के बाद साम्य स्थिति से गुजरते समय वेग की दिशा विपरीत हो सकती है। केवल स्थिति से पूरी अवस्था की पहचान नहीं होती।

लोलक वाला प्रश्न पढ़ें.