HCF और LCM लगभग हर योग्यता परीक्षा के प्रश्नपत्र में आते हैं। दोनों एक जैसे लगते हैं, इसलिए विद्यार्थी इनमें भ्रमित हो जाते हैं।
इस पाठ में हर नियम के साथ बताया गया है कि वह क्यों काम करता है। फिर पाँच उदाहरण चरणबद्ध तरीके से हल किए गए हैं और उन आम गलतियों को बताया गया है जिनसे अंक कटते हैं।
- महत्तम समापवर्तक (HCF): सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक।
- लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज।
- गुणनफल का नियम: दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = a × b।
- घंटियाँ और बत्तियाँ: LCM का उपयोग करें।
- भिन्न: अंशों का HCF ÷ हरों का LCM।
HCF और LCM का अर्थ
HCF और LCM क्या हैं?
HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे दी गई सभी संख्याएँ पूरी तरह विभाजित होती हैं। LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होती है।
HCF का उपयोग चीज़ों को बराबर बाँटने में होता है। LCM का उपयोग यह जानने में होता है कि बार-बार होने वाली घटनाएँ फिर एक साथ कब होंगी।
कब किसका उपयोग करें?
चीज़ों को बराबर टुकड़ों में काटने के लिए HCF का उपयोग करें। उदाहरण: सबसे लंबी छड़, जिसकी लंबाई से कई दी गई लंबाइयाँ पूरी तरह मापी जा सकें।
बार-बार होने वाली घटनाओं के लिए LCM का उपयोग करें। उदाहरण: घंटियाँ फिर एक साथ कब बजेंगी।
“दी गई संख्याओं से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या” के लिए LCM का उपयोग करें। “दी गई संख्याओं को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या” के लिए HCF का उपयोग करें।
जाँचें 1
15, 30 और 45 का LCM 45 है।
मुख्य नियम और उनके काम करने का कारण
अभाज्य गुणनखंडों से HCF और LCM कैसे निकालते हैं?
HCF: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातें लें। LCM: हर अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात लें।
कारण: उभयनिष्ठ भाजक में केवल वही अभाज्य गुणनखंड हो सकते हैं जो सभी संख्याओं में हों। हर गुणनखंड की घात उसकी सबसे छोटी उपलब्ध घात से अधिक नहीं हो सकती। उभयनिष्ठ गुणज में हर अभाज्य गुणनखंड की घात उसकी सबसे बड़ी उपलब्ध घात के कम-से-कम बराबर होनी चाहिए।
गुणनफल का नियम क्या है?
दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।
कारण: HCF में उभयनिष्ठ भाग एक बार आता है। LCM में उभयनिष्ठ भाग एक बार और दोनों संख्याओं के बचे हुए गुणनखंड आते हैं। इसलिए HCF और LCM के गुणनफल में दोनों संख्याओं के सभी गुणनखंड आ जाते हैं।
यह नियम केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन संख्याओं के लिए यह नियम लागू नहीं होता।
भाग विधि कैसे काम करती है?
बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। फिर पिछले भाजक को शेषफल से भाग दें। शेषफल शून्य होने तक यही प्रक्रिया दोहराएँ। अंतिम भाजक ही HCF है।
कारण: जो संख्या दोनों संख्याओं को विभाजित करती है, वह उनके शेषफल को भी विभाजित करती है। इसलिए हर नए जोड़े के उभयनिष्ठ भाजक वही रहते हैं।
दी गई अंक-संख्या वाली सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या कैसे निकालें?
पहले LCM निकालें। सबसे बड़ी संख्या के लिए, उतने अंकों की सबसे बड़ी संख्या को LCM से भाग दें और उसमें से शेषफल घटाएँ। सबसे छोटी संख्या के लिए, उतने अंकों की सबसे छोटी संख्या को LCM से भाग दें। यदि शेषफल बचे, तो LCM का अगला गुणज लें।
कारण: उत्तर LCM का गुणज होना चाहिए। आप केवल सबसे पास का उपयुक्त गुणज खोज रहे हैं।
भिन्नों का HCF और LCM कैसे निकालें?
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM। भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।
कारण: हर भिन्न को HCF से भाग देने पर पूर्ण संख्या मिलनी चाहिए। इसलिए HCF का अंश छोटा और हर बड़ा लिया जाता है।
जाँचें 2
तीन संख्याओं के लिए HCF × LCM उनके गुणनफल के बराबर होता है।
पाँच हल किए गए उदाहरण
आसान सवाल, चरण-दर-चरण: दो संख्याएँ 66 और 26 हैं। उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 858 है। महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें।
चरण 1: HCF × LCM = 66 × 26 = 1716।
चरण 2: HCF = 1716 ÷ 858।
चरण 3: HCF है 2.
मध्यम स्तर का सवाल, चरण-दर-चरण: 24 और 21 से विभाज्य सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या ज्ञात करें।
चरण 1: 24 = 2³ × 3 और 21 = 3 × 7। LCM है 2³ × 3 × 7 = 168।
चरण 2: 9999 ÷ 168 करने पर शेषफल 87 आता है।
चरण 3: 9999 − 87 = 9912। जाँच: 168 × 59 = 9912।
परीक्षा स्तर का सवाल, चरण-दर-चरण: 190 में कम से कम कितनी संख्या जोड़ें कि प्राप्त संख्या 20 और 36 से विभाज्य हो?
चरण 1: 20 = 2² × 5 और 36 = 2² × 3²। LCM है 2² × 3² × 5 = 180।
चरण 2: 190 ÷ 180 करने पर शेषफल 10 आता है।
चरण 3: अगला गुणज 360 है। जोड़ने वाली संख्या है 180 − 10 = 170.
परीक्षा स्तर का सवाल, चरण-दर-चरण: ट्रैफिक लाइटें हर 15, 30 और 45 सेकंड में बदलती हैं। वे फिर एक साथ कब बदलेंगी?
चरण 1: 15 = 3 × 5, 30 = 2 × 3 × 5, 45 = 3² × 5।
चरण 2: सबसे बड़ी घातें लें: 2 × 3² × 5 = 90।
चरण 3: लाइटें फिर एक साथ बदलेंगी, जब बीतेंगे 90 सेकंड.
परीक्षा स्तर का सवाल, चरण-दर-चरण: 24, 36 और 12 से विभाज्य सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या ज्ञात करें।
चरण 1: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 12 = 2² × 3। LCM है 2³ × 3² = 72।
चरण 2: 1000 ÷ 72 करने पर शेषफल 64 आता है।
चरण 3: 72 − 64 = 8 जोड़ें। उत्तर है 1008.
जाँच 3
कई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए उनका HCF निकालें।
आम गलतियाँ और आसान तरीके
किन गलतियों से अंक कटते हैं?
HCF और LCM में भ्रम होना। “सबसे बड़ा भाजक” HCF है। “सबसे छोटा गुणज” LCM है।
तीन संख्याओं के लिए गुणनफल के नियम का उपयोग करना।
जब सवाल में जोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या पूछी गई हो, तब LCM को ही उत्तर देना। शेषफल घटाएँ।
LCM के लिए सबसे छोटी घात लेना। LCM में सबसे बड़ी घात ली जाती है।
कौन-से आसान तरीके समय बचाते हैं?
यदि संख्याएँ सह-अभाज्य हैं, तो उनका HCF 1 होता है और LCM उनका गुणनफल होता है।
यदि एक संख्या दूसरी को पूरी तरह विभाजित करती है, तो बड़ी संख्या LCM और छोटी संख्या HCF होती है।
“जोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या” के लिए LCM में से शेषफल घटाएँ।
दो संख्याओं की गणना करते समय पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें।
परीक्षाओं में किस तरह के सवाल आते हैं?
छह तरह के सवाल बार-बार आते हैं: गुणनफल का नियम, सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या, जोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या, घंटियाँ और लाइटें, सह-अभाज्य संख्याएँ और भिन्न।
घंटियों और लाइटों के सवालों में समय के अंतरालों का LCM निकालें।
अभाज्य गुणनखंडों को एक स्तंभ में लिखें। इससे अधिकतर गलतियों से बच सकते हैं।
जाँच 4
दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF 1 होता है।
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