प्रायिकता के प्रश्न बताते हैं कि किसी घटना के होने की संभावना कितनी है। इसे 0 से 1 के बीच की संख्या से दर्शाया जाता है।
इस पाठ में हर नियम, उसके काम करने का कारण और हल सहित सात उदाहरण दिए गए हैं। साथ ही, उन आम गलतियों को भी बताया गया है जिनसे अंक कटते हैं।
- मूल नियम: अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम।
- E न होना: 1 − P(E).
- A या B: जोड़ें, फिर साझा परिणामों को घटाएँ।
- पहले A फिर B: शाखा के साथ-साथ प्रायिकताओं को गुणा करें।
- दो पासे: 36 परिणाम।
प्रायिकता के प्रश्नों में क्या पूछा जाता है
प्रायिकता क्या है?
प्रायिकता बताती है कि किसी घटना के होने की संभावना कितनी है। यह 0 से 1 के बीच की संख्या होती है।
0 का मतलब असंभव है। 1 का मतलब निश्चित है। 1/2 का मतलब होने और न होने की संभावना बराबर है।
कौन-से शब्द जानना ज़रूरी है?
प्रयोग: ऐसा कार्य जिसका परिणाम पहले से निश्चित न हो, जैसे पासा फेंकना।
प्रतिदर्श समष्टि: सभी संभावित परिणामों का समुच्चय।
घटना: वे परिणाम जिन्हें हम पाना चाहते हैं।
अनुकूल परिणाम: वे परिणाम जो आपकी घटना में शामिल हैं।
ताश की गड्डी के बारे में क्या जानना ज़रूरी है?
एक गड्डी में 4 प्रकार के कुल 52 पत्ते होते हैं। हर प्रकार में 13 पत्ते होते हैं।
हुकुम (Spades) और चिड़ी (Clubs) काले होते हैं। पान (Hearts) और ईंट (Diamonds) लाल होते हैं।
कुल 12 तस्वीर वाले पत्ते होते हैं: हर प्रकार का गुलाम, बेगम और बादशाह।
जाँच 1
प्रायिकता 1 से अधिक हो सकती है।
मुख्य नियम और उनके काम करने के कारण
मूल सूत्र क्या है?
P(E) = n(E) / n(S).
अनुकूल परिणामों को गिनें। उन्हें सभी समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या से भाग दें।
यह क्यों काम करता है: हर परिणाम की संभावना समान होती है। इसलिए कुल परिणामों में अनुकूल परिणामों का हिस्सा ही प्रायिकता है।
“E न होने” की प्रायिकता कैसे निकालें?
P(E न होना) = 1 − P(E)।
यह क्यों काम करता है: E या तो होगा या नहीं होगा। दोनों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
“A या B” की प्रायिकता कैसे निकालें?
P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)।
यह क्यों काम करता है: जोड़ते समय A और B दोनों में शामिल परिणाम दो बार गिने जाते हैं। इसलिए उन्हें एक बार घटाएँ।
“पहले A फिर B” की प्रायिकता कैसे निकालें?
P(पहले A फिर B) = P(A) × P(A के बाद B)।
यह क्यों काम करता है: B की संभावना केवल उन्हीं शाखाओं पर बनती है जहाँ पहले A हुआ हो।
वस्तुएँ निकालने के प्रश्नों में संचय का उपयोग कैसे करें?
एक साथ दो गेंदें निकालने पर इसका उपयोग करें: n(E) = C(अनुकूल, 2) और n(S) = C(कुल, 2).
यह तरीका क्यों काम करता है: जब गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं, तो क्रम मायने नहीं रखता।
जाँच 2
असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
सात हल किए गए उदाहरण
आसान, चरण-दर-चरण: एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: प्रतिदर्श समष्टि 1, 2, 3, 4, 5, 6 है। यानी कुल 6 परिणाम हैं।
चरण 2: अनुकूल संख्याएँ 5 और 6 हैं। यानी 2 परिणाम हैं।
चरण 3: P = 2/6 = 1/3.
उत्तर है 1/3.
आसान, चरण-दर-चरण: 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके चिड़ी का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: सभी 52 पत्तों के निकलने की संभावना समान है।
चरण 2: चिड़ी के 13 पत्ते हैं।
चरण 3: P = 13/52 = 1/4.
उत्तर है 1/4.
आसान, चरण-दर-चरण: घटना E के होने की प्रायिकता 3/8 है। E के न होने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: P(not E) = 1 − P(E) का उपयोग करें।
चरण 2: 1 − 3/8 = 5/8.
उत्तर है 5/8.
मध्यम, चरण-दर-चरण: दो पासे फेंके जाते हैं। उनका योग 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: कुल 6 × 6 = 36 परिणाम हैं।
चरण 2: योग 3 आने के 2 तरीके, योग 6 के 5, योग 9 के 4 और योग 12 का 1 तरीका है।
चरण 3: 2 + 5 + 4 + 1 = 12 अनुकूल परिणाम हैं। P = 12/36 = 1/3.
उत्तर है 1/3.
मध्यम, चरण-दर-चरण: एक थैले में 5 लाल और 9 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के नीली होने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: कुल 14 गेंदें हैं। कुल जोड़ियाँ C(14,2) = 91 हैं।
चरण 2: नीली गेंदों की जोड़ियाँ C(9,2) = 36 हैं।
चरण 3: P = 36/91.
उत्तर है 36/91.
परीक्षा स्तर, चरण-दर-चरण: एक थैले में 9 सफेद और 8 काली गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों का रंग समान होने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: कुल जोड़ियाँ C(17,2) = 136 हैं।
चरण 2: सफेद गेंदों की जोड़ियाँ C(9,2) = 36 हैं। काली गेंदों की जोड़ियाँ C(8,2) = 28 हैं।
चरण 3: अनुकूल परिणाम = 36 + 28 = 64. P = 64/136 = 8/17.
उत्तर है 8/17.
परीक्षा स्तर, चरण-दर-चरण: एक पासा फेंका जाता है। सम संख्या या 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
चरण 1: सम संख्याएँ 2, 4, 6 हैं, इसलिए P = 3/6.
चरण 2: 4 से बड़ी संख्याएँ 5, 6 हैं, इसलिए P = 2/6. केवल 6 दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए P = 1/6.
चरण 3: P = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.
उत्तर है 2/3.
जाँच 3
उदाहरण 5 में गेंदें निकालने के लिए संचय का उपयोग किया गया है, क्योंकि क्रम मायने नहीं रखता।
आम गलतियाँ और शॉर्टकट
किन गलतियों से अंक कटते हैं?
ऐसे परिणामों को समान संभावना वाला मानकर गिनना, जिनकी संभावना समान नहीं है।
“A या B” में दोनों में शामिल परिणामों को घटाना भूल जाना।
निकाली गई वस्तु को वापस रखे बिना अगली वस्तु निकालते समय वस्तुओं की संख्या कम न करना।
2 पासों के परिणामों की संख्या 36 की जगह 12 मानना।
विकल्प भिन्नों में होने पर भी उत्तर दशमलव में छोड़ देना।
कौन-से शॉर्टकट समय बचाते हैं?
जब घटना के कई मामले हों, तो “1 − P(not E)” का उपयोग करें।
एक ही रंग की गेंदें निकालने के सवालों में, हर रंग की जोड़ियों की संख्या जोड़ें।
दो पासों के योग से जुड़े किसी भी सवाल के लिए परिणामों की तालिका बनाएँ।
भिन्न को अंत में काटकर सरल करें, पहले नहीं।
परीक्षाओं में किस तरह के सवाल आते हैं?
पाँच तरह के सवाल बार-बार आते हैं। एक पासा या सिक्का, दो पासे, ताश के पत्ते, थैले से गेंदें निकालना और “या” तथा “नहीं” के नियम।
प्रतिदर्श समष्टि स्पष्ट होने पर हर सवाल में लगभग एक मिनट लगता है।
जाँच 4
दो पासों के लिए, प्रतिदर्श समष्टि में 36 परिणाम होते हैं।
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