What is the square root of 144400?

380. Let N = 144400. We need a whole number r such that r x r = N. Since 380 x 380 = 144400, r = 380 satisfies this exactly. So the square root of 144400 is 380. This confirms 380 is the correct square root.

What is the digit in the unit's place of the square root of 29241?

1. Let N = 29241. We need the unit digit of the square root of N. First find the square root itself: since 171 x 171 = 29241, the square root of N is 171. The unit digit of 171 is its last digit, which is 1. So the required unit digit is 1.

What is the square root of 0.2304?

0.48. Let x = 0.2304. We need the square root of x. Since 0.48 has 2 decimal places, its square has up to 4 decimal places, matching x's form. Check: 0.48 x 0.48 = 0.2304. This equals x exactly, so the square root of 0.2304 is 0.48.

How many perfect squares lie between 80 and 280?

8. We need perfect squares strictly between 80 and 280. Checking every integer i from 1 upward, i^2 qualifies when 80 < i^2 < 280. The qualifying squares are 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256. Counting this list gives 8 perfect squares.

If √625 = 25, what is the value of √6.25 + √0.0625 + √0.000625?

2.775. We are given √625 = 25. Dividing the number under a root by 100 divides its square root by 10. This follows from √(N/100) = √N / √100 = √N / 10. So √6.25 = 25/10 = 2.5. Likewise √0.0625 = 25/100 = 0.25. And √0.000625 = 25/1000 = 0.025. Adding these three values: 2.5 + 0.25 + 0.025 = 2.775.

What is the cube root of 85184?

44. Let N = 85184. We need a whole number r such that r x r x r = N. Since 44 x 44 x 44 = 85184, r = 44 satisfies this exactly. So the cube root of 85184 is 44. This confirms 44 is the correct cube root.

By what least number must 288 be multiplied to make it a perfect square?

2. Let N = 288. Its prime factorization is N = 2^5 x 3^2. A perfect square needs every prime's exponent to be even. Checking each prime: 2^5 is odd, one factor of 2 short of a pair. 3^2 is already even. So N needs one more factor of 2 to complete every pair. Multiplying N by 2 does exactly that. Check: 288 x 2 = 576, and every exponent in its factorization is now even.

वर्गमूल और घनमूल: सूत्र, आसान तरीके और हल किए गए उदाहरण

कुछ संख्याएँ खास होती हैं। 12 को उसी से गुणा करने पर 144 मिलता है। हम कहते हैं कि 144 एक पूर्ण वर्ग है और 12 उसका वर्गमूलहै। किसी संख्या को तीन बार गुणन में लेने पर उसका घन मिलता है।

ये प्रश्न लगभग हर गणित के प्रश्नपत्र में आते हैं। इनमें से अधिकतर एक मिनट से भी कम समय में हल किए जा सकते हैं। इस लेख में सूत्र, आसान तरीके और पाँच हल किए हुए उदाहरण दिए गए हैं। हर उदाहरण में बताया गया है कि वह तरीका क्यों काम करता है।

मुख्य बातें संक्षेप में

वर्गमूल: वह संख्या जिसे उसी से गुणा करने पर मूल संख्या मिलती है।
घनमूल: वह संख्या जिसे तीन बार गुणन में लेने पर मूल संख्या मिलती है।
पूर्ण वर्ग: इसके अभाज्य गुणनखंडों में हर अभाज्य संख्या की घात सम होती है।
पूर्ण घन: इसके अभाज्य गुणनखंडों में हर अभाज्य संख्या की घात 3 की गुणज होती है।
इकाई का अंक: किसी वर्ग का अंतिम अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 होता है।
दशमलव: वर्गों के लिए दशमलव बिंदु को सम संख्या में स्थान और घनों के लिए 3 के गुणज जितने स्थान खिसकाएँ।

वर्ग, घन और उनके मूल क्या होते हैं?

वर्गमूल क्या होता है?

किसी संख्या x का वर्गमूल वह संख्या है जिसे उसी से गुणा करने पर x मिलता है। इसे हम इस तरह लिखते हैं: √x.

इसलिए √144 = 12, क्योंकि 12 × 12 = 144। और √6400 = 80, क्योंकि 80 × 80 = 6400।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, पूर्ण वर्ग; अभ्यास प्रश्न: 144400 का वर्गमूल.

घनमूल क्या होता है?

किसी संख्या x का घनमूल वह संख्या है जिसका घन x होता है। इसे हम इस तरह लिखते हैं: ∛x.

इसलिए ∛1728 = 12, क्योंकि 12 × 12 × 12 = 1728। और ∛0.125 = 0.5।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घन और घनमूल, पूर्ण घन; अभ्यास प्रश्न: 85184 का घनमूल.

पूर्ण वर्ग क्या होता है और पूर्ण घन क्या होता है?

A पूर्ण वर्ग ऐसी पूर्ण संख्या है जो किसी अन्य पूर्ण संख्या का वर्ग होती है। 1, 4, 9, 16 और 25 इसके उदाहरण हैं।

A पूर्ण घन किसी पूर्ण संख्या का घन होता है। 1, 8, 27, 64 और 125 इसके उदाहरण हैं।

1 से 15 तक के वर्ग: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225।
1 से 10 तक के घन: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, वर्गों के इकाई के अंक; NCERT कक्षा 8 गणित: घन और घनमूल, पूर्ण घन.

अंतिम अंक से कैसे पता चल सकता है कि कोई संख्या वर्ग है या नहीं?

संख्या का इकाई का अंकदेखें। किसी पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9.

हो सकता है। इसका अंतिम अंक कभी भी 2, 3, 7 या 8 नहीं हो सकता। इसलिए 4587 और 2038 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, वर्गों के इकाई अंक; अभ्यास प्रश्न: वर्गमूल का इकाई अंक.

0 से 9 तक हर अंक का वर्ग निकालें और परिणाम का अंतिम अंक लिखें।

वर्गमूल का इकाई अंक क्या होता है?

वर्ग के इकाई अंक को देखें। यदि यह 1 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 1 या 9 होगा। यदि यह 4 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 2 या 8 होगा।

यदि यह 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 5 होगा। यदि यह 6 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 4 या 6 होगा। यदि यह 9 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 3 या 7 होगा। यदि यह 0 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 0 होगा।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, वर्गों के इकाई अंक; अभ्यास प्रश्न: 29241 के वर्गमूल का इकाई अंक.

घनमूल का इकाई अंक क्या होता है?

घनों में यह काम आसान है। घन के हर अंतिम अंक से घनमूल का केवल एक निश्चित अंतिम अंक पता चलता है।

जिस घन का अंतिम अंक 8 है, उसके घनमूल का अंतिम अंक 2 होता है। जिस घन का अंतिम अंक 2 है, उसके घनमूल का अंतिम अंक 8 होता है। अंक 0, 1, 4, 5, 6 और 9 के लिए घनमूल का अंतिम अंक वही रहता है। अंक 3 और 7 आपस में बदल जाते हैं।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घन और घनमूल, पूर्ण घन.

किन तरीकों और आसान युक्तियों से वर्गमूल और घनमूल जल्दी निकाल सकते हैं?

अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल कैसे निकालते हैं?

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। समान अभाज्य गुणनखंडों के बनाएँ जोड़े। लें हर जोड़े से एक अभाज्य गुणनखंड, और उन्हें आपस में गुणा करें।

3136 के गुणनखंड हैं 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7। जोड़ों से मिलता है 2 × 2 × 2 × 7 = 56.

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालना.

समान अभाज्य गुणनखंडों के हर जोड़े से वर्गमूल में एक गुणनखंड मिलता है।

अभाज्य गुणनखंड विधि से घनमूल कैसे निकालते हैं?

तरीका वही है, लेकिन आप बनाते हैं तीन-तीन के समूह जोड़ों की जगह। हर समूह से एक अभाज्य गुणनखंड लें।

5832 के गुणनखंड हैं 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3। तीन-तीन के समूहों से मिलता है 2 × 3 × 3 = 18.

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घन और घनमूल, अभाज्य गुणनखंड विधि से घनमूल निकालना.

दशमलव संख्या का वर्गमूल कैसे निकालते हैं?

दशमलव बिंदु हटाएँ, मिली हुई पूर्ण संख्या का वर्गमूल निकालें, फिर दशमलव बिंदु सही जगह लगाएँ। दशमलव स्थानों को ध्यान से गिनें।

दशमलव के बाद अंकों की संख्या सम होनी चाहिए। इसलिए √0.2304 = 0.48, क्योंकि 48 × 48 = 2304 और दशमलव के 4 स्थान घटकर 2 स्थान हो जाते हैं।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, दशमलव संख्याओं के वर्गमूल; अभ्यास प्रश्न: 0.2304 का वर्गमूल.

दशमलव बिंदु खिसकाने से वर्गमूल या घनमूल कैसे बदलता है?

वर्ग के लिए, संख्या में दशमलव बिंदु को दो स्थान खिसकाने पर वर्गमूल में वह एक स्थान खिसकता है। इसलिए √6.25 = 2.5 और √0.0625 = 0.25।

घन के लिए, संख्या में दशमलव बिंदु को तीन स्थान खिसकाने पर घनमूल में वह एक स्थान खिसकता है। इसलिए ∛0.027 = 0.3 और ∛0.000027 = 0.03।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, दशमलव संख्याओं के वर्गमूल; अभ्यास प्रश्न: √625 = 25 का उपयोग करके वर्गमूलों का योग निकालना.

दो संख्याओं के बीच कितने पूर्ण वर्ग होते हैं?

वे सबसे छोटी और सबसे बड़ी पूर्ण संख्याएँ खोजें जिनके वर्ग दी गई सीमा के भीतर आते हैं। दोनों छोरों को शामिल करते हुए इन पूर्ण संख्याओं को गिनें।

80 और 280 के बीच वर्ग 9² = 81 से 16² = 256 तक हैं। इसलिए इनकी संख्या है 16 − 9 + 1 = 8 पूर्ण वर्ग।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: वर्ग और वर्गमूल, वर्गों के बीच की संख्याएँ; अभ्यास प्रश्न: 80 और 280 के बीच पूर्ण वर्ग.

किसी संख्या को पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन कैसे बनाते हैं?

संख्या के अभाज्य गुणनखंड निकालें। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, जिस अभाज्य गुणनखंड की घात विषम हो, उससे गुणा करें ताकि उसकी घात सम हो जाए। पूर्ण घन बनाने के लिए, जिस घात में 3 का पूरा भाग न जाए, उसे आवश्यक गुणनखंडों से गुणा करके 3 का गुणज बनाएँ।

भाग देने में इसका उलटा करते हैं। जिन अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंडों का जोड़ा नहीं बनता, उनसे भाग दें।

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए गुणा करें: 288 = 2⁵ × 3², इसलिए 2 से गुणा करें।
पूर्ण घन बनाने के लिए गुणा करें: 250 = 2 × 5³, इसलिए 2² = 4 से गुणा करें।
भाग देकर पूर्ण वर्ग बनाएँ: 588 = 2² × 3 × 7², इसलिए 3 से भाग दें।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घन और घनमूल, किसी संख्या को पूर्ण घन बनाना; अभ्यास प्रश्न: 288 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें.

जाँच 1

किसी पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 9 हो सकता है।

जाँच 2

किसी पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 8 हो सकता है।

जाँच 3

0.064 का घनमूल 0.4 है।

जाँच 4

0.49 का वर्गमूल 0.07 है।

पाँच सामान्य प्रकार के प्रश्नों को चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

उदाहरण 1: 3136 का वर्गमूल ज्ञात करें।

चरण 1. अभाज्य गुणनखंड करें: 3136 = 2⁶ × 7².

चरण 2. प्रत्येक घात को आधा करें: 2³ × 7¹.

चरण 3. गुणा करें: 8 × 7 = 56.

जाँच। 56 × 56 = 3136.

यह तरीका क्यों काम करता है। वर्ग किसी संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलता है। इसलिए हर अभाज्य गुणनखंड सम संख्या में आता है, और उसके आधे गुणनखंड वर्गमूल में आते हैं।

उदाहरण 2: 5832 का घनमूल ज्ञात करें।

चरण 1. अभाज्य गुणनखंड करें: 5832 = 2³ × 3⁶.

चरण 2. प्रत्येक घात को 3 से भाग दें: 2¹ × 3².

चरण 3. गुणा करें: 2 × 9 = 18.

जाँच। 18 × 18 = 324, और 324 × 18 = 5832.

यह तरीका क्यों काम करता है। घन तीन समान संख्याओं का गुणनफल होता है। इसलिए हर अभाज्य गुणनखंड तीन-तीन के समूह में आता है, और हर समूह से एक गुणनखंड घनमूल में आता है।

स्रोत: अभ्यास प्रश्न: 5832 का घनमूल.

उदाहरण 3: 180 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग मिले?

चरण 1. अभाज्य गुणनखंड करें: 180 = 2² × 3² × 5.

चरण 2. अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 के जोड़े बने हुए हैं। अभाज्य गुणनखंड 5 अकेला है।

चरण 3. इससे गुणा करें: 5. गुणनफल 900 है।

जाँच। 900 = 30 × 30.

यह तरीका क्यों काम करता है। केवल बिना जोड़े वाले अभाज्य गुणनखंड का जोड़ा बनाना है। इससे अधिक गुणा करना अनावश्यक होगा।

स्रोत: अभ्यास प्रश्न: पूर्ण वर्ग बनाने के लिए सबसे छोटी संख्या.

उदाहरण 4: 972 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग दें कि पूर्ण वर्ग मिले?

चरण 1. गुणनखंड कीजिए: 972 = 2² × 3⁵।

चरण 2। अभाज्य संख्या 3 की घात 5 विषम है। एक अतिरिक्त 3 का जोड़ा नहीं बनता।

चरण 3। इससे भाग दीजिए: 3। परिणाम 324 है।

जाँच। 324 = 18 × 18.

यह तरीका क्यों काम करता है। अकेले बचे गुणनखंड को हटाने पर केवल जोड़े बचते हैं।

उदाहरण 5: दिया है √529 = 23, तो √5.29 + √0.0529 ज्ञात कीजिए।

चरण 1। 5.29, 529 को 100 से भाग देने पर मिलता है। इसलिए √5.29 = 23 ÷ 10 = 2.3.

चरण 2। 0.0529, 529 को 10000 से भाग देने पर मिलता है। इसलिए √0.0529 = 23 ÷ 100 = 0.23.

चरण 3। जोड़िए: 2.3 + 0.23 = 2.53.

जाँच। 2.3 × 2.3 = 5.29, और 0.23 × 0.23 = 0.0529।

यह तरीका क्यों काम करता है। भागफल का वर्गमूल, दोनों संख्याओं के वर्गमूलों का भागफल होता है। किसी संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से भाग हो जाता है।

स्रोत: अभ्यास प्रश्न: एक ज्ञात वर्गमूल की मदद से वर्गमूलों का योग.

आप लापरवाही से होने वाली गलतियों से कैसे बच सकते हैं?

किन आदतों से उत्तर सही रहते हैं?

पहले इकाई का अंक जाँचें। इससे एक साथ दो या तीन विकल्प हट सकते हैं।

फिर अपने उत्तर का वर्ग या घन निकालकर तुलना करें। इस एक पंक्ति से अधिकतर गलतियाँ पकड़ में आ जाती हैं।

जाँच 5

0.0144 का वर्गमूल 0.012 है।

जाँच 6

1728 के घनमूल का इकाई अंक 2 है।

परीक्षा में होने वाली आम गलतियाँ

दशमलव की गलती। किसी दशमलव संख्या के वर्गमूल में दशमलव स्थानों की संख्या आधी होती है। √0.0144 का मान 0.12 है, 0.012 नहीं।

इकाई अंक की गलती। दो अलग-अलग अंकों के वर्गों का इकाई अंक एक जैसा हो सकता है। चुनने से पहले दोनों की जाँच करें।

जोड़े बनाने की गलती। वर्गमूल के लिए अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बनाएँ। घनमूल के लिए तीन-तीन के समूह बनाएँ।

गुणा या भाग चुनने की गलती। प्रश्न दो बार पढ़ें। दोनों में उलटी क्रियाएँ करनी होती हैं।

बीच की संख्याएँ चुनने की गलती। 80 और 280 के बीच के पूर्ण वर्ग 81 से शुरू होते हैं, 64 से नहीं।

समझ की जाँच में 0/0 उत्तर सही

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