करणी और घातांक: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण

घातांक क्या बताता है?

इसमें 5^3, संख्या 5 आधार है और 3 घातांकहै, जिसे एक्सपोनेंट (exponent) या पावर (power).

भी कहते हैं। इसका अर्थ है: आधार को अपने आप से 3 बार गुणा करें। इसलिए 5^3 = 5 × 5 × 5 = 125.

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घातांक और घात, घातांकों के नियम; अभ्यास प्रश्न: 5 की घातों का गुणा.

एक ही आधार वाली घातों का गुणा या भाग करने पर क्या होता है?

जब आधार समान हो, तो गुणा करते समय घातांक जोड़ें और भाग करते समय घातांक घटाएँ।

इसलिए 5^12 × 5^5 = 5^17। और 2^15 ÷ 2^7 = 2^8, जिसका मान है 256.

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घातांक और घात, घातांकों के नियम; अभ्यास प्रश्न: 2 की घातों का भाग; अभ्यास प्रश्न: 10 की घातों का पहले गुणा, फिर भाग.

किसी घात की फिर से घात लेने पर क्या होता है?

घातांकों को गुणा करें। नियम है (a^m)^n = a^(mn).

इसलिए (9^8)^4 = 9^32। पहले 9 को 8 बार गुणनखंड के रूप में लिखा जाता है, फिर उस पूरे समूह को 4 बार गुणा किया जाता है।

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घातांक और घात, घात की घात; अभ्यास प्रश्न: नौ की आठवीं घात की चौथी घात.

शून्य और ऋणात्मक घातांक का क्या अर्थ है?

किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 का मान है 1। ऋणात्मक घातांक का अर्थ है 1 बटा उस संख्या की धनात्मक घात।

इसलिए 7^0 = 1, और 2^(−3) = 1/2^3 = 1/8.

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घातांक और घात, शून्य और ऋणात्मक घातांक.

भिन्नात्मक घातांक क्या है?

भिन्नात्मक घातांक का अर्थ मूल होता है। इसलिए a^(1/n) है n-वाँ मूल a का।

उदाहरण के लिए, 27^(1/3) = 3, क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27। और 16^(3/4) = (16^(1/4))^3 = 2^3 = 8.

स्रोत: NCERT कक्षा 8 गणित: घातांक और घात, घातांकों के नियम.

करणी क्या है?

A करणी किसी परिमेय संख्या का ऐसा मूल है जो अपरिमेय होता है। इसका दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता और न ही अंकों का कोई क्रम बार-बार दोहराता है।

इसलिए √2 और ∛5 करणी हैं। लेकिन √4 = 2 करणी नहीं है, क्योंकि यह एक पूर्ण संख्या है।

स्रोत: NCERT कक्षा 9 गणित: संख्याओं का संसार, अपरिमेय संख्याएँ; अभ्यास प्रश्न: करणी की परिभाषा.

करणी की कोटि क्या होती है?

करणी की कोटि मूल की संख्या होती है। ⁿ√a में कोटि है n.

इसलिए 34 का 5वाँ मूल, कोटि 5 की करणी है। वर्गमूल की कोटि 2 होती है।

स्रोत: NCERT कक्षा 9 गणित: संख्याओं का संसार, वर्गमूलों को संख्या रेखा पर दर्शाना.

करणियों को सरल करने में कौन-से नियम मदद करते हैं?

धनात्मक संख्याओं के लिए, √a × √b = √(ab), और √a ÷ √b = √(a/b).

साथ ही, √a × √a = a। इसलिए √5 × √5 = 5।

• सरल करें सबसे बड़े पूर्ण वर्ग को मूल से बाहर निकालकर: √72 = √36 × √2 = 6√2।
• समान करणियों का करणी वाला भाग समान होता है, इसलिए 3√2 + 5√2 = 8√2।
• असमान करणियों, जैसे √2 और √3, को जोड़कर एक पद नहीं बनाया जा सकता।

स्रोत: NCERT कक्षा 9 गणित: संख्याओं का संसार, अपरिमेय संख्याएँ; अभ्यास प्रश्न: 5 का वर्गमूल गुणा 5 का वर्गमूल.

हर का परिमेयकरण करने का क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है भिन्न के हर से करणी हटाना। अंश और हर को किसी उपयुक्त करणी से गुणा करें।

6/√3 के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करें। हर 3 हो जाता है, और उत्तर है 2√3.

स्रोत: NCERT कक्षा 9 गणित: संख्याओं का संसार, वर्गमूलों पर गणना.

संयुग्मी क्या होता है?

यह संयुग्मी (a + √b) का (a − √b) होता है। इनके गुणनफल में कोई करणी नहीं होती: (a + √b)(a − √b) = a² − b.

(√5 − √3) जैसे हर का परिमेयकरण करने के लिए इसका उपयोग करें।

स्रोत: NCERT कक्षा 9 गणित: संख्याओं की दुनिया, अपरिमेय संख्याएँ.

उदाहरण 1: 3^5 × 3^4 ÷ 3^6 को सरल करें।

चरण 1. आधार समान है। गुणा करने के लिए घातांक जोड़ें: 5 + 4 = 9.

चरण 2. भाजक का घातांक घटाएँ: 9 − 6 = 3.

चरण 3. परिणाम है 3^3 = 27.

जाँच. 243 × 81 = 19683, और 19683 ÷ 729 = 27.

यह तरीका क्यों काम करता है। हर घातांक बताता है कि 3 को कितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया गया है। गुणा करने पर गुणनखंडों की संख्या जुड़ती है। भाग देने पर यह संख्या घटती है।

उदाहरण 2: (2^3)^4 ÷ 2^10 को सरल करें।

चरण 1. घात की घात में घातांकों का गुणा करें: 3 × 4 = 12. इसलिए अंश 2^12 है।

चरण 2. 2^10 से भाग दें। घातांक घटाएँ: 12 − 10 = 2.

चरण 3. परिणाम है 2^2 = 4.

जाँच. 2^12 = 4096 और 2^10 = 1024. फिर 4096 ÷ 1024 = 4.

यह तरीका क्यों काम करता है। कोष्ठक के बाहर की घात बताती है कि भीतर की घात को कितनी बार गुणा करना है, इसलिए दोनों घातांकों का गुणा होता है।

उदाहरण 3: यदि 5^(x+1) = 625 है, तो x का मान ज्ञात करें।

चरण 1. 625 को 5 की घात के रूप में लिखें: 5 × 5 × 5 × 5, इसलिए 625 = 5^4.

चरण 2. अब आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी समान होने चाहिए: x + 1 = 4.

चरण 3. इसलिए x = 3.

जाँच. 5^(3+1) = 5^4 = 625.

यह तरीका क्यों काम करता है। समान आधार वाली दो घातों के मान तभी बराबर होते हैं, जब उनके घातांक बराबर हों।

स्रोत: अभ्यास प्रश्न: 7^x = 2401 में x का मान ज्ञात करना.

उदाहरण 4: √72 को सरल करें और √12 × √3 का मान ज्ञात करें।

चरण 1. 72 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड 36 है। इसलिए √72 = √36 × √2 = 6√2.

चरण 2. एक ही मूल चिह्न के अंदर गुणा करें: √12 × √3 = √36 = 6.

जाँचें। (6√2)^2 = 36 × 2 = 72, इसलिए 6√2, 72 का वर्गमूल है।

यह तरीका क्यों काम करता है। गुणन का नियम हमें मूल चिह्न के अंदर की संख्याओं को अलग करने या साथ रखने देता है। फिर पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक के रूप में बाहर आ जाता है।

उदाहरण 5: 1/(√5 − √3) के हर का परिमेयकरण करें।

चरण 1. हर का संयुग्मी (√5 + √3) है। अंश और हर, दोनों को इससे गुणा करें।

चरण 2. हर (√5)^2 − (√3)^2 = 5 − 3 = 2 हो जाता है।

चरण 3. उत्तर है (√5 + √3)/2.

जाँचें। √5 ≈ 2.236 और √3 ≈ 1.732। बायाँ पक्ष 1/0.504 ≈ 1.984 है। दायाँ पक्ष 3.968/2 = 1.984 है।

यह तरीका क्यों काम करता है। संयुग्मी से गुणा करने पर करणी हट जाती है। इसलिए हर एक साधारण संख्या बन जाता है।

किन आदतों से उत्तर सही रहते हैं?

पहले आधार देखें। घातांक के नियम तभी लागू होते हैं, जब आधार समान हों।

एक छोटा उदाहरण लेकर जाँचें। यदि 2^3 × 2^4 का मान 128 आता है, तो घातांकों को जोड़ने का आपका नियम सही है।