श्यानता और बर्नौली का सिद्धांत (Bernoulli’s Principle)

श्यानता बताती है कि तरल की परतों के एक-दूसरे के सापेक्ष खिसकने का कितना विरोध होता है। बर्नौली का सिद्धांत आदर्श स्थिर प्रवाह में दाब, चाल और ऊँचाई के बीच संबंध बताता है।

• तरल: ऐसा द्रव या गैस जो बह सके।
• श्यानता: तरल के भीतर सापेक्ष गति का विरोध।
• स्थिर प्रवाह: प्रत्येक निश्चित स्थान पर वेग समय के साथ नहीं बदलता।
• धारारेखा: ऐसी वक्र रेखा जिसकी स्पर्शरेखा उस स्थान पर तरल के वेग की दिशा में होती है।

एक ही तापमान पर पानी और शहद को उँडेलने के बारे में सोचें। शहद आम तौर पर बहने का अधिक विरोध करता है। यह तुलना श्यानता से जुड़ी है, विद्युत चालकता या असंबंधित पदार्थों के प्रति आकर्षण से नहीं।

जब पास-पास की परतों के वेग अलग होते हैं, तो वे एक-दूसरे पर कर्तन बल लगाती हैं। दो समानांतर प्लेटों के बीच तरल की कल्पना करें। निचली प्लेट स्थिर रहती है, जबकि ऊपरी प्लेट चलती है।

ऊपरी प्लेट को चलाते रहने के लिए बाहरी बल लगाना पड़ता है। न्यूटनीय तरल के लिए श्यान प्रतिबल, वेग प्रवणता के समानुपाती होता है:

F/A = η × Δv/L

यहाँ, F/A प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाला कर्तन बल है। Δv चाल का अंतर है, जब परतों के बीच की दूरी है L। गतिशील श्यानता, η, की अंतरराष्ट्रीय इकाई प्रणाली (SI) में इकाई है पास्कल-सेकंड, Pa·s.

आकार, आयाम और चाल का अंतर समान होने पर, अधिक श्यानता वाले तरल के लिए अधिक बल चाहिए। श्यानता और घनत्व अलग हैं: घनत्व प्रति इकाई आयतन में द्रव्यमान बताता है।

तापमान बढ़ने पर द्रव की श्यानता आम तौर पर घटती है। गैस की श्यानता आम तौर पर तापमान के साथ बढ़ती है, इसलिए द्रव वाला नियम हर स्थिति में लागू नहीं होता।

ठंडा स्नेहक तेल बहने का अधिक विरोध कर सकता है। इसलिए तेल चुनते समय मशीन के काम करने के तापमान को ध्यान में रखा जाता है। इस संबंध का मतलब यह नहीं है कि सर्दियों में मशीन की हर समस्या श्यानता के कारण होती है।

हाँ। स्थिर प्रवाह में किसी स्थान पर वेग समय के साथ नहीं बदलता, लेकिन चलते हुए कण का वेग उसकी पूरी यात्रा में बदल सकता है।

कल्पना करें कि पानी एक ऐसे पाइप से गुजर रहा है जो आगे संकरा होता जाता है। एक ही स्थान पर पहुँचने वाले अलग-अलग कणों का वेग समान होता है। फिर भी, संकरे हिस्से की ओर बढ़ते समय किसी कण की चाल बढ़ सकती है।

स्तरीय प्रवाह में परतें व्यवस्थित होती हैं। विक्षुब्ध प्रवाह में अनियमित उतार-चढ़ाव और मिश्रण होता है। ये विवरण प्रवाह के स्वरूप से जुड़े हैं, जबकि “स्थिर” का संबंध समय के साथ होने वाले बदलाव से है।

किसी बिना शाखा वाले पाइप में स्थिर, असंपीड्य प्रवाह के दौरान हर अनुप्रस्थ काट से प्रति सेकंड समान आयतन में तरल गुजरता है। इससे निरंतरता का समीकरण मिलता है:

Q = Av और A₁v₁ = A₂v₂

Q आयतन प्रवाह दर है, जिसकी मापन इकाई है m³/s. A अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और v औसत चाल है।

मान लें कि एक हिस्से का क्षेत्रफल है 4 cm² और चाल है 1 m/s। दूसरे हिस्से का क्षेत्रफल है 2 cm².

दूसरे हिस्से में चाल है (4/2) × 1 = 2 m/s। क्षेत्रफल आधा हो जाता है, इसलिए चाल दोगुनी हो जाती है। किसी भी हिस्से में प्रवाह से पानी की कोई मात्रा कम नहीं होती।

बर्नूली (Bernoulli) का समीकरण किसी धारारेखा के अनुदिश यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करता है। इसका मूल रूप यह मानता है कि प्रवाह स्थिर और असंपीड्य है तथा श्यानता के कारण ऊर्जा की हानि नगण्य है।

P + ½ρv² + ρgh = constant

इन मान्यताओं के अंतर्गत, समान ऊँचाई पर चाल बढ़ने के साथ स्थैतिक दाब कम होता है। यदि ऊँचाई बदलती है, तो गुरुत्वीय पद भी महत्त्वपूर्ण होता है।

यह समीकरण यह नहीं कहता कि कहीं भी अधिक चाल वाले तरल का दाब हमेशा कम होगा। जिन प्रवाह स्थितियों में यह समीकरण लागू होता है, उन्हीं के भीतर बिंदुओं की तुलना करें, आपस में असंबंधित प्रवाहों की नहीं।

समान ऊँचाई वाले आदर्श मॉडल का उपयोग करें। पानी का घनत्व है 1000 kg/m³। मान लें कि चाल बढ़ती है 1 m/s से 2 m/s.

P₁ − P₂ = ½ρ(v₂² − v₁²)

P₁ − P₂ = ½ × 1000 × (4 − 1) = 1500 Pa

अधिक चाल वाले हिस्से में है 1500 Pa कम स्थैतिक दाब. यह दाब का अंतर है, किसी भी हिस्से का निरपेक्ष दाब नहीं।

वास्तविक पाइपों में श्यानता के कारण भी ऊर्जा का क्षय होता है। यह गणना दिए गए आदर्श मॉडल को समझाती है।

वेंचुरीमीटर (venturimeter) प्रवाह दर पता करने के लिए संकरे हिस्से में उत्पन्न दाब के अंतर का उपयोग करता है। सातत्य समीकरण के अनुसार संकरे हिस्से में चाल अधिक होती है। फिर बर्नौली's समीकरण चाल के इस बदलाव को दाब से जोड़ता है।

एक साधारण वायु-जेट परमाणुकित्र (atomiser) में तेज हवा द्रव की नली के खुले सिरे के ऊपर से गुजरती है। दाब का अंतर द्रव को जेट में खींचने में मदद करता है। द्रव छोटी-छोटी बूँदों में टूट जाता है।

कार्बुरेटर (carburettor) चलती हवा में ईंधन मिलाने के लिए इसी तरह की प्रवाह व्यवस्था का उपयोग करते हैं। पढ़ाई में दिया गया उदाहरण इसी व्यवस्था से संबंधित है; जरूरी नहीं कि हर स्प्रे बोतल इसी प्रक्रिया से काम करे।

किसी वस्तु पर लगने वाला बल उसके चारों ओर दाब के वितरण पर निर्भर करता है। केवल “तेज हवा का मतलब कम दाब” कहने से दाब का यह वितरण तय नहीं किया जा सकता।

पास से गुजरती ट्रेन और कार के उदाहरणों में पहले यह पहचानें कि हवा के किन क्षेत्रों की तुलना हो रही है और मॉडल में क्या मान्यताएँ ली गई हैं। केवल वाहन की चाल को किसी खास पार्श्व बल का प्रमाण न मानें।

विमान के उत्थापन बल में दाब का वितरण और हवा का नीचे की ओर मुड़ना शामिल है। बर्नौली (Bernoulli) का समीकरण और न्यूटन (Newton) के नियम उसी प्रवाह के एक-दूसरे से मेल खाते पहलुओं का वर्णन करते हैं।

पंख के ऊपर और नीचे से गुजरने वाली हवा का पिछले किनारे पर एक साथ पहुँचना जरूरी नहीं है। समान समय में पहुँचने वाली यह व्याख्या गलत है।

जब बल संतुलित हो जाते हैं और त्वरण शून्य हो जाता है, तब सीमांत वेग प्राप्त होता है। किसी द्रव में गिरते हुए अधिक घनत्व वाले गोले पर नीचे की ओर भार तथा ऊपर की ओर उत्प्लावन और कर्षण बल लगते हैं।

धीमे प्रवाह में एक छोटे गोले पर स्टोक्स (Stokes) का कर्षण बल होता है 6πηrv. यहाँ, r गोले की त्रिज्या है और v द्रव के सापेक्ष चाल है।

चाल बढ़ने पर यह कर्षण बल बढ़ता है। सीमांत चाल पर भार, उत्प्लावन और कर्षण बल के योग के बराबर होता है:

vₜ = 2r²(ρₛ − ρ𝒇)g / (9η)

ρₛ और ρ𝒇 गोले और तरल के घनत्व हैं। घनत्व और श्यानता स्थिर होने पर, त्रिज्या दोगुनी करने से इस मॉडल में सीमांत चाल चार गुनी हो जाती है।

यह सूत्र तभी लागू होता है जब गोले के चारों ओर प्रवाह बहुत धीमा हो और दीवारों का प्रभाव नगण्य हो। इसे हर गिरती वस्तु पर लागू नहीं किया जा सकता।

नहीं। पृष्ठ तनाव दो माध्यमों की सीमा से संबंधित है, जबकि श्यानता गतिशील तरल के भीतर के प्रतिरोध से संबंधित है। पृष्ठ तनाव की इकाई बल प्रति इकाई लंबाई होती है, N/m.

बूँद का गोल आकार पृष्ठीय प्रभावों को दर्शाता है। एक-दूसरे के ऊपर खिसकती परतों के बीच का प्रतिरोध श्यानता को दर्शाता है।

किसी निश्चित द्रव की सीमा पर तापमान बढ़ने के साथ पृष्ठ तनाव सामान्यतः घटता है। यह द्रवों की श्यानता में आम तौर पर दिखने वाली प्रवृत्ति जैसा है, लेकिन ये दोनों अलग-अलग गुण हैं।

आकार किसी गतिशील वस्तु पर लगने वाले दाब बलों और घर्षण को प्रभावित करता है। धारारेखीय आकार आसपास के प्रवाह को सुगम बनाकर कर्षण बल कम कर सकता है।

इससे श्यानता समाप्त नहीं होती और न ही हर चाल पर परतदार प्रवाह की गारंटी मिलती है। प्रवाह का व्यवहार आकार के साथ-साथ चाल, तरल के गुणों और वस्तु के माप पर भी निर्भर करता है।

नीचे दिए गए राष्ट्रीय रक्षा अकादमी और नौसेना अकादमी (NDA and NA) के प्रश्न दो उपयोगी अंतरों की समझ परखते हैं।

स्थान या कण? — NDA and NA II, 2016, Q103

लिंक किया गया धारारेखीय प्रवाह का प्रश्न एक निश्चित स्थान से बारी-बारी गुजरने वाले कणों की तुलना करता है। स्थायी प्रवाह में उस स्थान पर वेग अपरिवर्तित रहता है।

इसका यह अर्थ नहीं है कि गतिमान कण की चाल किसी दूसरे स्थान पर बदल नहीं सकती। संकरे होते पाइप का उदाहरण बताता है कि यह अंतर क्यों महत्वपूर्ण है।

धारारेखीय प्रवाह का प्रश्न पढ़ें.

तापमान के साथ कौन-सा गुण बदलता है? — NDA and NA II, 2025, Q66

लिंक किया गया प्रश्न तापमान के साथ पृष्ठ तनाव में होने वाले सामान्य बदलाव की समझ परखता है। समान द्रव अंतरापृष्ठ के लिए, तापमान बढ़ने पर पृष्ठ तनाव सामान्यतः घटता है।

इस उत्तर को गैस की श्यानता पर लागू न करें। तापमान के साथ गैस की श्यानता सामान्यतः इसके विपरीत बदलती है।

पृष्ठ तनाव का प्रश्न पढ़ें.