कार्य, ऊर्जा और शक्ति

कार्य बल और विस्थापन दोनों पर निर्भर करता है। नियत बल के लिए उपयोग करें: W = Fs cos θ.

यहाँ F बल का परिमाण है, जिसे न्यूटन में मापा जाता है, और s विस्थापन का परिमाण है, जिसे मीटर में मापा जाता है। कोण θ बल और विस्थापन की दिशाओं के बीच का कोण है।

केवल विस्थापन की दिशा में बल का घटक ही कार्य में योगदान देता है। बल की दिशा बिल्कुल विस्थापन की दिशा में होना जरूरी नहीं है।

कार्य का SI मात्रक है जूल (J)। एक जूल एक न्यूटन मीटर के बराबर होता है।

मान लीजिए कि 10 N का नियत बल एक बक्से को बल की दिशा में 3 m खींचता है। उस बल द्वारा किया गया कार्य 30 J है।

एक कठोर दीवार को बिना हिलाए धक्का दें। आपका धक्का लगाने वाला बल दीवार पर शून्य कार्य करता है। यह कथन दीवार पर किए गए कार्य के बारे में है, आपके शरीर में ऊर्जा के उपयोग के बारे में नहीं।

1.1 धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य?

स्थिर फर्श पर फिसलते बक्से पर लगने वाला सर्पी घर्षण ऋणात्मक कार्य करता है। इस उदाहरण में घर्षण बक्से के विस्थापन का विरोध करता है।

वस्तु के चलते समय भी कोई बल शून्य कार्य कर सकता है। नियत लंबाई की तनी हुई डोरी से बँधे एक पत्थर को स्थिर केंद्र के चारों ओर घूमते हुए मानें। तनाव बल अंदर की ओर लगता है, जबकि पत्थर की तात्कालिक गति वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होती है। दोनों दिशाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए तनाव बल शून्य कार्य करता है।

1.2 अगर बल बदलता हो तो?

सीधी रेखा में गति के लिए, उस रेखा की दिशा में बल के घटक को स्थिति के साथ ग्राफ पर दर्शाएँ। कार्य ग्राफ और स्थिति-अक्ष के बीच का चिह्न सहित क्षेत्रफल होता है।

जब स्थिति का मान बढ़ता है, तो अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक कार्य में योगदान देता है। अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक कार्य में योगदान देता है। इन योगदानों को उनके चिह्नों के साथ जोड़ें, ताकि बराबर और विपरीत चिह्न वाले क्षेत्रफल एक-दूसरे को निरस्त कर दें।

मान लीजिए कि आगे की दिशा में लगने वाला बल 2 m के दौरान समान दर से 0 N से बढ़कर 20 N हो जाता है। ग्राफ के नीचे का क्षेत्र त्रिभुज है।

कार्य = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 2 m × 20 N = 20 J।

पूरी दूरी के लिए अंतिम बल का उपयोग करने पर 40 J मिलेगा। इससे कार्य का मान वास्तविक मान से अधिक आएगा, क्योंकि पहले बल कम था।

गतिज ऊर्जा गति से जुड़ी ऊर्जा है। किसी वस्तु को कण मानने पर, K = ½mv².

प्रतीक m किलोग्राम में द्रव्यमान और v मीटर प्रति सेकंड में चाल को दर्शाता है। चाल समान रहने पर द्रव्यमान दोगुना करने से गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है। द्रव्यमान समान रहने पर चाल दोगुनी करने से गतिज ऊर्जा चार गुनी हो जाती है।

3 m/s की चाल से चल रही 2 kg की वस्तु की गतिज ऊर्जा 9 J है। 9 J प्राप्त करने के लिए ½ × 2 × 3² की गणना करें।

संदर्भ तंत्र वह दृष्टिकोण है जिसका उपयोग स्थिति और गति को मापने के लिए किया जाता है। चाल प्रेक्षक के संदर्भ तंत्र पर निर्भर करती है। इसलिए गतिज ऊर्जा भी उसी संदर्भ तंत्र पर निर्भर करती है।

2.1 कुल कार्य से हमें क्या पता चलता है?

कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: Wnet = Kfinal − Kinitial.

कुल कार्य का अर्थ है वस्तु पर लगने वाले सभी बलों द्वारा किए गए कार्यों का योग। धनात्मक कुल कार्य गतिज ऊर्जा बढ़ाता है। ऋणात्मक कुल कार्य गतिज ऊर्जा घटाता है।

कुल कार्य शून्य होने का अर्थ है कि गतिज ऊर्जा में कोई बदलाव नहीं होता। फिर भी अलग-अलग बल धनात्मक और ऋणात्मक कार्य कर सकते हैं, जो एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

मान लीजिए गतिज ऊर्जा 18 J से घटकर 8 J हो जाती है। कुल कार्य होगा 8 − 18 = −10 J.

यह प्रमेय संरक्षी और असंरक्षी दोनों प्रकार के बलों पर लागू होता है। इसका अर्थ यह नहीं है कि हर बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में हुए कुल परिवर्तन के बराबर होता है।

स्थितिज ऊर्जा एक-दूसरे पर बल लगाने वाली वस्तुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है। किसी वस्तु को ऊपर उठाने से वस्तु–पृथ्वी तंत्र की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।

पृथ्वी की सतह के पास, U = mgh किसी चुनी हुई शून्य ऊँचाई के सापेक्ष होता है। इस सूत्र का उपयोग वहाँ करें जहाँ गुरुत्वीय त्वरण g लगभग स्थिर हो।

यहाँ m किलोग्राम में द्रव्यमान है और h मीटर में ऊँचाई है। त्वरण g को मीटर प्रति सेकंड वर्ग में मापा जाता है। ऊँचाई चुने हुए संदर्भ स्तर से ऊपर मापी जाती है। शून्य स्तर बदलने से U का संख्यात्मक मान बदल जाता है। दो ऊँचाइयों के बीच ऊर्जा का अंतर समान रहता है।

g = 10 m/s² मानकर 2 kg की वस्तु को 5 m ऊपर उठाएँ। इसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होगी 100 J.

3.1 क्या स्प्रिंग भी ऊर्जा संचित कर सकती है?

खींची या दबाई गई स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा संचित हो सकती है। हुक के नियम का पालन करने वाली आदर्श स्प्रिंग के लिए प्रत्यानयन बल का संबंध है F = −kx.

स्प्रिंग नियतांक k उसकी कठोरता को न्यूटन प्रति मीटर में दर्शाता है। विस्थापन x को स्प्रिंग की बिना खिंची या दबी अवस्था की लंबाई से मीटर में मापा जाता है।

ऋण चिह्न बताता है कि स्प्रिंग का बल विस्थापन के विपरीत दिशा में लगता है। यह संबंध स्प्रिंग की समानुपाती सीमा के भीतर लागू होता है।

स्प्रिंग की बिना खिंची या दबी अवस्था के सापेक्ष, U = ½kx²। यह सूत्र उस सीमा के भीतर खींचने और दबाने, दोनों के लिए लागू होता है।

मान लीजिए k = 200 N/m और x = 0.10 m है। तब U = ½ × 200 × (0.10)² = 1 J.

ऊर्जा की हानि के बिना धीरे-धीरे खींचने पर लगाया गया बल शून्य से बढ़कर kx हो जाता है। लगाए गए बल और विस्थापन के ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल ½kx² होता है।

3.2 गिरती वस्तुएँ और झूले

यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: Emechanical = K + U.

केवल गुरुत्व बल के कारण गिरते समय गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदलती है। स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।

जब केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं, तो यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। एक संरक्षी बल दो स्थितियों के बीच किसी भी पथ से जाने पर समान कार्य करता है। गुरुत्व बल इसका एक उदाहरण है।

A असंरक्षी बल अलग-अलग पथों पर अलग-अलग कार्य कर सकता है। सर्पी घर्षण इसका एक उदाहरण है। फिसलने का पथ अधिक लंबा होने पर अधिक यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में बदल सकती है।

स्वतंत्र रूप से दोलन करते आदर्श लोलक की चाल दिशा बदलने वाले प्रत्येक अंतिम बिंदु पर शून्य हो जाती है। तब गतिज ऊर्जा शून्य होती है, जबकि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा उस दोलन के दौरान अपने अधिकतम मान पर होती है।

सबसे निचले बिंदु पर आदर्श लोलक की चाल सबसे अधिक होती है। वहाँ इसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा सबसे कम होती है।

वास्तविक झूले में वायु प्रतिरोध और घर्षण यांत्रिक ऊर्जा को कम करते हैं। ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा सहित अन्य रूपों में बदलती है। इन ऊर्जा परिवर्तनों को शामिल करने पर कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है, लेकिन उसका रूप बदल सकता है। परिपथ को बिजली देने वाली बैटरी संचित रासायनिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदलती है।

सौर सेल सूर्य के प्रकाश को विद्युत ऊर्जा में बदलता है। पवन टरबाइन चलती हवा की मदद से अपना रोटर घुमाती है और बिजली उत्पन्न करती है।

सौर ऊर्जा और पवन ऊर्जा नवीकरणीय ऊर्जा स्रोत हैं। नवीकरणीय स्रोत प्राकृतिक प्रक्रियाओं से फिर से उपलब्ध होते रहते हैं।

औसत शक्ति, कार्य को उसमें लगे समय से भाग देने पर मिलती है: Paverage = W/Δt.

यहाँ W जूल में कार्य है और Δt सेकंड में बीता हुआ समय है। एक वाट (W) एक जूल प्रति सेकंड के बराबर होता है। एक ही अक्षर W कार्य या वाट के प्रतीक को दर्शा सकता है। समीकरण और मात्रक को ध्यान से पढ़ें।

एक मशीन 3 सेकंड में 600 J उपयोगी कार्य करती है। उसकी औसत उपयोगी निर्गत शक्ति है 200 W.

गतिमान कण पर लगने वाले बल के लिए तात्क्षणिक शक्ति है P = Fv cos θ। जब बल और वेग एक ही दिशा में हों, तो यह बन जाता है P = Fv.

शक्ति की रेटिंग एक दर बताती है। केवल इससे यह पता नहीं चलता कि किसी कार्य के दौरान कुल कितनी ऊर्जा का स्थानांतरण हुआ।

5.1 किलोवाट-घंटा ऊर्जा का मात्रक क्यों है?

किलोवाट-घंटा, शक्ति और समय का गुणनफल है। इसलिए यह मापता है ऊर्जा, शक्ति नहीं।

1 kWh = 1,000 J/s × 3,600 s = 3.6 × 10⁶ J.

इसी मान को ऐसे भी लिख सकते हैं 36 × 10⁵ J। बिजली की खपत का बिल आम तौर पर किलोवाट-घंटे में बनता है।

शक्ति स्थिर होने पर, खर्च हुई ऊर्जा शक्ति और मशीन के चलने के समय के गुणनफल के बराबर होती है। मान लें कि 5 kW की एक मशीन 30 दिनों तक रोज़ 10 घंटे चलती है।

खर्च हुई ऊर्जा = 5 × 10 × 30 = 1,500 kWh.

ऊर्जा शुल्क ₹4 प्रति kWh होने पर, ऊर्जा की लागत है ₹6,000। इस गणना में कोई अलग शुल्क या कर शामिल नहीं है।

प्रत्यास्थ टक्कर में कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। अप्रत्यास्थ टक्कर में कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

एक बाहरी आवेग किसी समय अंतराल के दौरान बाहरी बल के कुल प्रभाव को कहते हैं। संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है। टक्कर के दौरान निकाय पर कुल बाहरी आवेग शून्य होने पर कुल संवेग संरक्षित रहता है। यह शर्त प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ, दोनों प्रकार की टक्करों पर लागू होती है।

सामान्य अप्रत्यास्थ टक्कर में कुछ गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा, आकार में बदलाव या ध्वनि में बदल जाती है। ऊर्जा का रूप बदलता है, वह नष्ट नहीं होती।

वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं जब होती है पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर। आपस में चिपकने का मतलब यह नहीं है कि कुल संवेग शून्य हो जाता है।

7.1 अलग-अलग निर्देश तंत्रों में कार्य की तुलना करें

NDA-NA-I 2026, Q58.

जमीन के सापेक्ष विराम अवस्था से एक गेंद छोड़ी जाती है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें और गिरने के उसी t अवधि वाले समय अंतराल की तुलना करें।

नियत चाल u से ऊपर जा रहे प्रेक्षक को गेंद शुरू में u चाल से नीचे जाती दिखती है। समय t के बाद उस प्रेक्षक को गेंद की नीचे की ओर चाल u + gt दिखती है।

जमीन पर मौजूद प्रेक्षक को मिलता है ΔK = ½mg²t²। ऊपर जा रहे प्रेक्षक को मिलता है ΔK′ = ½m[(u + gt)² − u²].

इसलिए, ΔK′ = ΔK + mugt, जो u और t के धनात्मक होने पर अधिक है। कार्य और गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, इस्तेमाल किए गए निर्देश तंत्र पर निर्भर करते हैं।

Q58 खोलें.

7.2 नियत शक्ति और नियत बल अलग हैं

NDA-NA-I 2026, Q60.

मान लें कि नियत परिणामी शक्ति P विराम से शुरू होने वाले एक कण की गतिज ऊर्जा बढ़ाती है। द्रव्यमान नियत रहने और ऊर्जा की कोई हानि न होने पर, Pt = ½mv².

इसलिए, v = √(2Pt/m) और v ∝ √t. चाल समय के सीधे समानुपात में नहीं बढ़ती।

जब चाल शून्य नहीं है, F = P/v. इसलिए नियत शक्ति बनाए रखने के लिए चाल बढ़ने पर बल घटना चाहिए।

गति शुरू होने का ठीक पहला क्षण एक आदर्श स्थिति है। शून्य चाल पर कोई सीमित बल अशून्य यांत्रिक शक्ति नहीं दे सकता।

Q60 खोलें.

7.3 परिणामी कार्य और संरक्षी बल द्वारा किए गए कार्य को एक न समझें

NDA-NA-I 2026, Q65.

परिणामी कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। केवल इस परिणाम से यह सिद्ध नहीं होता कि बल संरक्षी है।

संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। स्थितियों को उन चालों से अलग समझें जिनका उपयोग गतिज ऊर्जा में होता है।

Q65 खोलें.

7.4 परीक्षा में होने वाली बाकी आम गलतियों को पहचानें

• CDS-2 2025, Q24: नियत लंबाई की तनी हुई डोरी में अंदर की ओर लगने वाला तनाव बल पत्थर's की वृत्तीय गति के लंबवत होता है। इसलिए तनाव बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। प्रश्नपत्र खोलें.
• NDA-NA-2 2025, Q61: लंबवत बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। विपरीत दिशा में लगने वाला बल ऋणात्मक कार्य करता है। गति की दिशा में लगने वाला बल धनात्मक कार्य करता है। प्रश्नपत्र खोलें.
• NDA-NA-II 2016, Q74: एक किलोवाट-घंटा 36 × 10⁵ J के बराबर होता है। किलोवाट और घंटे, दोनों को बदलें। प्रश्नपत्र खोलें.
• NDA-NA-II 2016, Q104: धनात्मक परिणामी कार्य गतिज ऊर्जा बढ़ाता है। “परिणामी” में हर बल's का योगदान शामिल होता है। प्रश्नपत्र खोलें.
• बिजली के खर्च का उदाहरण: ऊपर दिए गए रेफ्रिजरेटर के उदाहरण में बताई गई ऊर्जा दर के अनुसार खर्च ₹6,000 आता है। रेफ्रिजरेटर वाला प्रश्न हल करें.
• ऊर्जा संरक्षण की जाँच: ऊर्जा का रूप बदलता है; वह न उत्पन्न होती है, न नष्ट होती है। ऊर्जा वाला प्रश्न हल करें.