क्षेत्रफल के प्रश्नों में पूछा जाता है कि कोई आकृति कितनी जगह घेरती है, या उस पर सामग्री बिछाने या उसके चारों ओर बाड़ लगाने में कितना खर्च आता है।
इस पाठ में हर सूत्र और उसके पीछे का कारण समझाया गया है। फिर तीन उदाहरण हल किए गए हैं और उन आम गलतियों को बताया गया है जिनसे अंक कटते हैं।
- आयत: l × b.
- त्रिभुज: ½ × आधार × ऊँचाई।
- समलंब चतुर्भुज: ½ × (a + b) × h.
- चार दीवारें: 2(l + b) × h.
- सावधान: बाड़ लगाने के लिए परिमाप और फर्श पर सामग्री बिछाने के लिए क्षेत्रफल चाहिए।
क्षेत्रफल के प्रश्नों में क्या परखा जाता है
क्षेत्रफल क्या है?
कोई समतल आकृति जितनी जगह घेरती है, वह उसका क्षेत्रफल है। इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, जैसे वर्ग सेमी या वर्ग मीटर।
परिमाप अलग होता है। यह आकृति के चारों ओर की कुल लंबाई है, जिसे m जैसी लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है।
क्षेत्रफल कब चाहिए और परिमाप कब?
इस्तेमाल करें क्षेत्रफल जब फर्श पर सामग्री बिछानी हो, रंग करना हो, टाइलें लगानी हों या किसी सतह को ढकना हो।
इस्तेमाल करें परिमाप जब बाड़ लगानी हो, किनारा बनाना हो या सीमा पर रस्सी लगानी हो।
जाँच 1
खेत के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए खेत का क्षेत्रफल चाहिए।
मुख्य सूत्र और उनके पीछे का कारण
आयत और वर्ग के सूत्र क्या हैं?
आयत: क्षेत्रफल = l × b। परिमाप = 2(l + b)।वर्ग: क्षेत्रफल = a²। परिमाप = 4a।
कारण: l × b से l पंक्तियों में मौजूद इकाई वर्गों की कुल संख्या मिलती है, जहाँ हर पंक्ति में b वर्ग हैं। वर्ग ऐसा आयत है जिसमें l = b होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई।क्षेत्रफल = ½ × a × b × sin C। इसका उपयोग तब करें जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिए हों।
कारण: त्रिभुज का क्षेत्रफल समान आधार और ऊँचाई वाले आयत या समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है। sin 30° = ½ और sin 90° = 1 होने से गणना आसान हो जाती है।
समलंब चतुर्भुज का सूत्र क्या है?
क्षेत्रफल = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई।
कारण: इसे एक आयत और दो समकोण त्रिभुजों में बाँटें। या ऐसी दो आकृतियों को जोड़कर (a + b) आधार वाला एक समांतर चतुर्भुज बनाएँ।
चार दीवारों का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?
चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h।
कारण: चारों दीवारों को खोलकर एक लंबी पट्टी के रूप में सोचें। इसकी लंबाई फर्श के परिमाप के बराबर और ऊँचाई h होती है।
भुजाओं में प्रतिशत बदलाव होने पर क्षेत्रफल में क्या बदलाव होता है?
यदि भुजा में x% बदलाव होता है, तो वर्ग के क्षेत्रफल में x + x + x²/100 प्रतिशत बदलाव होता है।
कारण: क्षेत्रफल भुजा को उसी भुजा से गुणा करने पर मिलता है। दोनों गुणनखंड बदलते हैं, इसलिए दोनों बदलावों का मिला-जुला असर पड़ता है।
वृत्त, समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज के सूत्र क्या हैं?
वृत्त: क्षेत्रफल = πr²। परिधि = 2πr।समांतर चतुर्भुज: क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।समचतुर्भुज: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂। यहाँ d₁ और d₂ दोनों विकर्ण हैं।
ये सूत्र क्यों काम करते हैं: समांतर चतुर्भुज को काटकर उसके टुकड़ों को उसी आधार और ऊँचाई वाले आयत के रूप में रखा जा सकता है। एक समचतुर्भुज चार बराबर समकोण त्रिभुजों से बनता है। प्रत्येक की लंबवत भुजाएँ d₁/2 और d₂/2 होती हैं।
रास्ते या किनारे की पट्टी का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?
रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल − भीतरी क्षेत्रफल।
यह सूत्र क्यों काम करता है: बाहरी आकृति में से भीतरी आकृति हटाने पर जो हिस्सा बचता है, वही रास्ता होता है।
l लंबाई और b चौड़ाई वाले खेत के चारों ओर w चौड़ा रास्ता हो, तो बाहरी आकृति की लंबाई (l + 2w) और चौड़ाई (b + 2w) होगी।
जाँच 2
चार दीवारों का क्षेत्रफल 2(l + b) × h होता है।
तीन हल किए हुए उदाहरण
आसान: एक खेत की लंबाई 53 m और चौड़ाई 38 m है। Rs 12 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का खर्च कितना होगा?
बाड़ लगाने के लिए परिमाप चाहिए। परिमाप = 2(53 + 38) = 182 m।
खर्च = 182 × 12 = Rs 2184.
मध्यम: एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 60 cm और 32 cm हैं और उनके बीच का कोण 30° है। उसका क्षेत्रफल निकालें।
½ × a × b × sin C का उपयोग करें।
अर्थात ½ × 60 × 32 × ½ = 480।
इसलिए क्षेत्रफल है 480 वर्ग cm.
परीक्षा स्तर: एक वर्ग की भुजा 40% घटा दी जाती है। क्षेत्रफल में कितना बदलाव होगा?
मान लें कि पुरानी भुजा 100 है। पुराना क्षेत्रफल 10,000 है।
नई भुजा 60 है। नया क्षेत्रफल 3,600 है।
क्षेत्रफल 6,400 घटता है, जो है 64% पुराने क्षेत्रफल का।
चरणबद्ध हल: एक पार्क की लंबाई 40 m और चौड़ाई 30 m है। उसके बाहर चारों ओर 2 m चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल कितना है?
चरण 1: भीतरी क्षेत्रफल = 40 × 30 = 1200 वर्ग m।
चरण 2: रास्ते से हर तरफ 2 m जुड़ता है। बाहरी माप = (40 + 4) लंबाई और (30 + 4) चौड़ाई = 44 लंबाई और 34 चौड़ाई।
चरण 3: बाहरी क्षेत्रफल = 44 × 34 = 1496 वर्ग m।
चरण 4: रास्ते का क्षेत्रफल = 1496 − 1200 = 296 वर्ग m.
चरणबद्ध हल: एक कमरे की लंबाई 8 m, चौड़ाई 6 m और ऊँचाई 3 m है। Rs 20 प्रति वर्ग m की दर से चार दीवारों पर रंग करने का खर्च निकालें।
चरण 1: चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l + b) × h = 2(8 + 6) × 3।
चरण 2: अर्थात 28 × 3 = 84 वर्ग m।
चरण 3: खर्च = 84 × 20 = Rs 1680. फर्श और छत पर रंग नहीं करना है, इसलिए उन्हें शामिल नहीं किया गया है।
जाँच 3
वर्ग की भुजा 10% बढ़ने पर उसका क्षेत्रफल 10% बढ़ता है।
आम गलतियाँ और आसान तरीके
किन गलतियों से अंक कटते हैं?
क्षेत्रफल और परिमाप में भ्रम करना। बाड़ लगाने के लिए परिमाप चाहिए। फर्श बिछाने के लिए क्षेत्रफल चाहिए।
अलग-अलग इकाइयों को मिला देना। गुणा करने से पहले cm को m में बदलें।
त्रिभुज या समलंब चतुर्भुज में तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना।
भुजा में हुए प्रतिशत बदलाव को क्षेत्रफल पर भी लागू कर देना।
किन आसान तरीकों से समय बचता है?
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो छोटी भुजाओं के गुणनफल का आधा होता है।
फर्श बिछाने का खर्च निकालने के लिए पहले l × b करें और अंत में दर से गुणा करें।
वर्ग के क्षेत्रफल में बदलाव निकालने के लिए भुजा के गुणक का वर्ग करें: 0.6² = 0.36।
विकल्प चुनने से पहले जाँच लें कि आपके उत्तर की इकाई सही है।
जाँच 4
34 और 24 लंबाई की लंबवत भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 408 है।
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