प्रक्षेप्य गति और शुद्ध गतिकी (Kinematics)

A प्रक्षेप्य वह वस्तु है जो आदर्श मॉडल में फेंके जाने के बाद गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलती है। हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं और गुरुत्वीय त्वरण को स्थिर तथा नीचे की ओर मानते हैं।

फेंकी गई क्रिकेट की गेंद और तोप से दागा गया गोला इसके जाने-पहचाने उदाहरण हैं। इनके वास्तविक पथ आदर्श मॉडल से अलग हो सकते हैं, क्योंकि हवा इन पर बल लगाती है।

शुद्ध गतिकी (Kinematics) में स्थिति, वेग और त्वरण की मदद से गति का वर्णन किया जाता है। प्रक्षेप्य गति में इसी तरीके से क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का वर्णन किया जाता है।

प्रक्षेपण बिंदु को मूल बिंदु मानें। दाईं ओर को धनात्मक x दिशा और ऊपर की ओर को धनात्मक y दिशा चुनें।

मान लें कि u प्रारंभिक चाल है और θ क्षैतिज से ऊपर की ओर बना कोण है।

• uₓ = u cos θ: प्रारंभिक क्षैतिज वेग।
• uᵧ = u sin θ: प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग।
• g: गुरुत्वीय त्वरण का धनात्मक परिमाण है।

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक एक ही वस्तु की गति का वर्णन करते हैं। दोनों के लिए बीता हुआ समय समान होता है।

दोनों का अलग-अलग विश्लेषण क्यों करें? इस मॉडल में गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है। यह ऊर्ध्वाधर वेग को बदलता है, जबकि क्षैतिज वेग अपरिवर्तित रहता है।

एक अक्ष के अनुदिश गति के लिए, जब त्वरण हो स्थिर:

• v = u + at
• s = ut + ½at²
• v² = u² + 2as

यहाँ, u और v क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम वेग हैं, जिनके चिह्न दिशा बताते हैं। s दिशा के अनुसार चिह्न वाला विस्थापन है, न कि तय की गई कुल दूरी।

त्वरण a को m/s² में मापा जाता है। समय t को सेकंड में और विस्थापन को मीटर में मापा जाता है।

इन समीकरणों का उपयोग प्रत्येक अक्ष के लिए अलग-अलग करें। क्षैतिज अक्ष पर, aₓ = 0। ऊपर की दिशा को धनात्मक मानने पर, ऊर्ध्वाधर त्वरण है aᵧ = −g.

पृथ्वी की सतह के पास, g ≈ 9.8 m/s² एक सामान्य सन्निकटन है। 10 m/s² का उपयोग केवल तभी करें, जब प्रश्न में इस तरह मान को पूर्णांकित करने की अनुमति हो।

आदर्श मॉडल में, छोड़े जाने के बाद कोई क्षैतिज बल नहीं लगता। इसलिए क्षैतिज त्वरण शून्य होता है।

क्षैतिज वेग बना रहता है vₓ = u cos θ। समय t के बाद क्षैतिज विस्थापन है x = uₓt.

समान समय अंतरालों में क्षैतिज विस्थापन समान होता है। गेंद को अपना क्षैतिज वेग बनाए रखने के लिए लगातार आगे की ओर धक्का देने की जरूरत नहीं होती।

ऊपर की दिशा को धनात्मक मानने पर, vᵧ = uᵧ − gt। ऊर्ध्वाधर विस्थापन है y = uᵧt − ½gt².

प्रक्षेप्य के ऊपर उठने पर उसका धनात्मक ऊर्ध्वाधर वेग घटता है। उच्चतम बिंदु पर, vᵧ = 0.

नीचे आते समय ऊर्ध्वाधर वेग ऋणात्मक हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण लगातार लगने से नीचे की ओर उसकी चाल बढ़ती है।

ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होने का अर्थ त्वरण शून्य होना नहीं है। पूरी आदर्श उड़ान के दौरान त्वरण नीचे की ओर बना रहता है।

एक कोण पर फेंका गया प्रक्षेप्य सामान्यतः उच्चतम बिंदु पर भी क्षैतिज वेग बनाए रखता है। वहाँ उसकी कुल चाल होती है |uₓ|, क्योंकि ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है।

A सीधे ऊपर फेंकी गई वस्तु का कोई क्षैतिज वेग नहीं होता। उच्चतम बिंदु पर उसकी कुल चाल क्षण भर के लिए शून्य हो जाती है।

दोनों का त्वरण फिर भी नीचे की ओर होता है। शून्य ऊर्ध्वाधर वेग और शून्य कुल वेग के बीच अंतर समझें।

उच्चतम बिंदु तक पहुँचने का समय। vᵧ = uᵧ − gt में vᵧ = 0 रखें।

tₚₑₐₖ = uᵧ/g = u sin θ/g.

इस सूत्र में प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक का उपयोग होता है। हर कोण के लिए पूरी प्रारंभिक चाल का उपयोग नहीं होता।

शून्य से अधिक क्षैतिज वेग वाला प्रक्षेप्य परवलयाकार पथ पर चलता है, जब ऊर्ध्वाधर गुरुत्वीय त्वरण स्थिर हो और वायु प्रतिरोध नगण्य हो।

x = uₓt से, t = x/uₓ को ऊर्ध्वाधर विस्थापन के समीकरण में रखें।

y = x tan θ − gx²/(2u² cos² θ).

x के वर्ग वाला पद पथ को परवलयाकार बनाता है। सीधे ऊपर फेंकना एक विशेष स्थिति है, जिसमें पथ का क्षैतिज विस्तार शून्य होता है।

आदर्श पथ अपने उच्चतम बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के दोनों ओर सममित होता है। प्रक्षेप्य के उतरने वाली सतह से टकराने पर उसकी उड़ान समाप्त हो जाती है।

प्रक्षेपण और उतरने की ऊँचाइयाँ अलग होने पर पथ के ऊपर जाने और नीचे आने वाले भाग असमान हो सकते हैं। वास्तविक वायु प्रतिरोध भी आदर्श पथ का आकार बदल सकता है।

जब प्रक्षेप्य वापस अपनी प्रक्षेपण ऊँचाईपर आता है, तो y = 0 रखें।

0 = t(uᵧ − ½gt).

एक हल t = 0 है, जो प्रक्षेपण का क्षण है। बाद के समय वाला हल उड़ान की अवधि देता है:

T = 2uᵧ/g = 2u sin θ/g.

इस मॉडल में ऊपर जाने और मूल ऊँचाई तक नीचे लौटने में बराबर समय लगता है। इसलिए कुल उड़ान समय उच्चतम बिंदु तक पहुँचने के समय का दोगुना होता है।

प्रक्षेपण ऊँचाई से ऊपर या नीचे उतरने पर उड़ान की अवधि बदल जाती है। वास्तविक उतरने के स्तर के लिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन का समीकरण हल करें।

अधिकतम ऊँचाई H प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर की ओर तय की गई अधिकतम ऊर्ध्वाधर दूरी है। यह जरूरी नहीं कि जमीन से मापी गई ऊँचाई हो।

ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण vᵧ² = uᵧ² − 2gyका उपयोग करें। उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर वेग vᵧ शून्य होता है।

H = uᵧ²/(2g) = u² sin² θ/(2g).

यदि प्रक्षेपण बिंदु जमीन से ऊपर है, तो जमीन से अधिकतम ऊँचाई निकालने के लिए H में प्रक्षेपण बिंदु की शुरुआती ऊँचाई जोड़ें। स्पष्ट रखें कि ऊँचाई किस स्तर से मापी जा रही है।

परास प्रक्षेपण बिंदु से उतरने के बिंदु तक की क्षैतिज दूरी है। नीचे दिया गया प्रचलित सूत्र तब लागू होता है, जब प्रक्षेप्य प्रक्षेपण की ऊँचाई पर ही उतरता है।

क्षैतिज वेग को उसी ऊँचाई पर लौटने तक के उड़ान समय से गुणा करें:

R = uₓT = (u cos θ)(2u sin θ/g).

2 sin θ cos θ = sin 2θ का उपयोग करने पर:

R = u² sin 2θ/g.

यह क्षैतिज दूरी है, पथ के साथ तय की गई घुमावदार दूरी नहीं। उतरने की ऊँचाई अलग हो, तो ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान समय निकालें और फिर R = uₓT का उपयोग करें।

नियत प्रारंभिक चाल और g पर, R = u² sin 2θ/g। कोण बदलने से sin 2θ का गुणक बदलता है।

इस गुणक का अधिकतम मान 1 होता है, जब 2θ = 90°। इसलिए प्रक्षेपण कोण है 45°.

यह परिणाम तभी लागू होता है जब वायु प्रतिरोध नगण्य हो और प्रक्षेपण और उतरने की ऊँचाइयाँ समान हों। ऊँचाई से प्रक्षेपण या वायुगतिकीय बलों के कारण अधिकतम परास देने वाला कोण बदल सकता है।

दो पूरक प्रक्षेपण कोणों का योग 90° होता है। आदर्श मॉडल में नियत चाल और g पर, प्रक्षेपण और उतरने की ऊँचाइयाँ समान होने पर दोनों कोण समान परास देते हैं।

जब प्रक्षेपण कोण हो 30°, तब sin 2θ = sin 60°। जब प्रक्षेपण कोण हो 60°, तब sin 2θ = sin 120°। साइन के ये मान समान हैं।

दोनों के उड़ान काल और अधिकतम ऊँचाइयाँ अलग होते हैं। अधिक ढलान वाले 60° के प्रक्षेपण में ऊर्ध्वाधर घटक बड़ा होता है।

समान परास का अर्थ समान प्रक्षेप पथ नहीं है। 30° वाला पथ कम ऊँचाई तक जाता है और कम समय लेता है।

मान लें कि प्रक्षेपण किया गया है 20 m/s और 30° पर, जहाँ g = 10 m/s²। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें और मानें कि गेंद उसी ऊँचाई पर उतरती है जहाँ से उसे फेंका गया था।

वेग को घटकों में बाँटें। ऊर्ध्वाधर घटक 20 sin 30° = 10 m/s। क्षैतिज घटक 20 cos 30° ≈ 17.32 m/s.

समय ज्ञात करें। उच्चतम बिंदु तक पहुँचने का समय 10/10 = 1 s। कुल उड़ान काल है 2 s.

अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करें। H = 10²/(2 × 10) = 5 m.

परास ज्ञात करें। R ≈ 17.32 × 2 = 34.64 m.

उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है, जबकि क्षैतिज वेग लगभग 17.32 m/s रहता है। ये राशियाँ एक ही उड़ान का वर्णन करती हैं और इनमें समान समय तथा मान्यताओं का उपयोग होता है।

दो वस्तुओं की तुलना करें जो एक ही ऊँचाई से एक ही क्षण गति शुरू करती हैं। एक को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है; दूसरी को क्षैतिज दिशा में फेंका जाता है।

दोनों का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। समान g और नगण्य वायु प्रतिरोध होने पर दोनों की ऊर्ध्वाधर गति समान होती है।

इसलिए दोनों एक ही समतल जमीन पर एक साथ पहुँचती हैं। क्षैतिज दिशा में फेंकी गई वस्तु क्षैतिज दूरी भी तय करती है।

हल किया हुआ उदाहरण। मान लें कि प्रक्षेपण की ऊँचाई है 20 m, जहाँ g = 10 m/s².

नीचे की ओर तय की गई दूरी का उपयोग करने पर, 20 = ½ × 10 × t²। समय का धनात्मक मान है t = 2 s.

छोड़ी गई वस्तु को भी गिरने में उतना ही समय लगता है। शुरुआती ऊर्ध्वाधर वेग अलग होने पर यह तुलना बदल जाएगी।

यह राष्ट्रीय रक्षा अकादमी और नौसेना अकादमी (NDA & NA) सामान्य योग्यता परीक्षा (GAT) गति के परिचित सूत्रों पर आधारित गणनाओं का उपयोग करती है।

इस NDA & NA II 2016, सीरीज़ A Q73में एक गेंद को सीधे ऊपर की ओर फेंका जाता है। उसका शुरुआती वेग है 25.2 m/s। इस हल में g = 9.8 m/s² का उपयोग करके सबसे ऊँचे बिंदु तक पहुँचने का समय निकाला जाता है।

सबसे ऊँचे बिंदु पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। इसलिए:

t = u/g = 25.2/9.8 ≈ 2.57 s.

प्रश्न में g का मान नहीं दिया गया है। g = 10 लेने पर मान होगा 2.52 s । सबसे ऊँचे बिंदु तक पहुँचने के समय को शुरुआती ऊँचाई पर वापस आने तक के कुल उड़ान समय से न मिलाएँ।

NDA & NA II 2016 GAT का पूरा प्रश्न.