श्रीनिवास रामानुजन (Srinivasa Ramanujan): छोटा लेकिन असाधारण जीवन

श्रीनिवास रामानुजन (Srinivasa Ramanujan) एक भारतीय गणितज्ञ थे। उन्होंने उच्च स्तर का गणित खुद सीखा था। उनका जन्म 22 दिसंबर 1887 को इरोड में हुआ था, जो आज तमिलनाडु में है। उनके पिता कुंभकोणम में एक कपड़ा व्यापारी की दुकान पर क्लर्क थे।

1.1 एक क्लर्क के बेटे ने उच्च स्तर का गणित कैसे सीखा?

टाउन हाई स्कूल में उन्हें जी. एस. कार (G. S. Carr) की एक किताब मिली। उसका नाम था शुद्ध गणित के प्रारंभिक परिणामों का सार (Synopsis of elementary results in pure mathematics)। यह किताब 1886 में प्रकाशित हुई थी। इसमें प्रमेय, सूत्र और छोटे प्रमाण थे.

किताब की बहुत संक्षिप्त शैली से उन्हें खुद गणित सीखने में मदद मिली। डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी (Dictionary of Scientific Biography) के अनुसार उन्होंने 1903 में कार की किताब उधार ली थी। इसके बाद लगभग पूरी तरह उनका ध्यान गणित पर ही रहने लगा। मैकट्यूटर के अनुसार गणितीय तर्क लिखने का तरीका सीखने के लिए उनके पास केवल यही किताब थी।

रॉयल सोसाइटी की पत्रिका में प्रकाशित एक शोधपत्र के अनुसार, गणित के मामले में वह पूरी तरह स्वशिक्षित थे। खुद सीखने का मतलब यह नहीं है कि वह स्कूल नहीं गए थे। हार्डी को लिखे अपने पहले पत्र में उन्होंने कहा था: “मैंने विश्वविद्यालय में शिक्षा नहीं ली है, लेकिन सामान्य स्कूली पढ़ाई की है।”

1.2 क्या वह स्कूल के हर विषय में अच्छे थे?

नहीं। स्कूल में अच्छे प्रदर्शन के कारण उन्हें कुंभकोणम के सरकारी कॉलेज में छात्रवृत्ति मिली। उन्होंने वहाँ प्रवेश लिया था 1904में। अगले वर्ष उनकी छात्रवृत्ति जारी नहीं रखी गई। मैकट्यूटर के अनुसार वह गणित को अधिक से अधिक समय देने लगे थे। उन्होंने दूसरे विषयों की पढ़ाई पर ध्यान नहीं दिया।

बाद में उन्होंने फर्स्ट आर्ट्स (First Arts) की परीक्षा दी। इसे पास करने पर वह मद्रास विश्वविद्यालय में प्रवेश ले सकते थे।

मैकट्यूटर के अनुसार वह गणित में पास हुए, लेकिन बाकी सभी विषयों में फेल हो गए। इसलिए वह परीक्षा पास नहीं कर सके। डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी उनकी असफलता को अंग्रेज़ी की पढ़ाई पर ध्यान न देने से जोड़ती है।

1911 में जर्नल ऑफ द इंडियन मैथमेटिकल सोसाइटी (Journal of the Indian Mathematical Society) में बर्नूली संख्याओं पर उनका एक शोधपत्र प्रकाशित हुआ। इसके बाद रामानुजन मद्रास क्षेत्र में जाने जाने लगे। मैकट्यूटर के अनुसार इस शोधपत्र से उन्हें पहचान मिली।

उन्होंने क्लर्क के रूप में काम शुरू किया था: 1 मार्च 1912। यह नौकरी मद्रास पोर्ट ट्रस्ट में थी।

प्रोफेसर ई. डब्ल्यू. मिडलमास्ट (E. W. Middlemast) ने उस नौकरी के लिए एक सिफारिश-पत्र लिखा। उन्होंने रामानुजन को ऐसा युवक बताया जिसकी “गणित में और खासकर संख्याओं से जुड़े काम में असाधारण क्षमता” थी।

2.1 उन्होंने किसे पत्र लिखा?

रामानुजन ने ई. डब्ल्यू. हॉब्सन (E. W. Hobson) और एच. एफ. बेकर (H. F. Baker) को पत्र लिखे, लेकिन किसी ने उत्तर नहीं दिया। फिर जनवरी 1913में उन्होंने कैम्ब्रिज में जी. एच. हार्डी (G. H. Hardy) को पत्र लिखा। उन्होंने हार्डी की 1910 की पुस्तक की एक प्रति देखी थी, जिसका नाम था अनंत के क्रम (Orders of infinity).

डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी (Dictionary of Scientific Biography) के अनुसार, पहले पत्र में 100 से अधिक प्रमेय थे। इसके अनुसार, हार्डी उनसे काफी प्रभावित हुए।

2.2 क्या हार्डी ने तुरंत उन पर विश्वास कर लिया?

हार्डी पहले प्रमाण देखना चाहते थे। उन्होंने उत्तर भेजा: 8 फरवरी 1913। उन्होंने लिखा कि इन प्रमेयों में उनकी बहुत रुचि थी। उन्होंने यह भी लिखा कि वे कुछ दावों के प्रमाण देखना चाहते थे। तभी वे उनका महत्व परख सकते थे।

यंग (Young) के शोध-सार में बताया गया है कि हार्डी और लिटिलवुड (Littlewood) ने ट्रिनिटी कॉलेज में लिटिलवुड के कमरों में पांडुलिपि का अध्ययन किया। इसमें यह उद्धरण है: “उन्हें एक बार देखना ही यह समझने के लिए काफी है कि उन्हें केवल सर्वोच्च स्तर का गणितज्ञ ही लिख सकता था”।

हमारी समझ: हार्डी का प्रमाण माँगना किसी दावे की गणितीय जाँच का तरीका था। इससे यह संकेत नहीं मिलता कि उन्हें लेखक पर संदेह था।

मद्रास विश्वविद्यालय ने रामानुजन को छात्रवृत्ति दी थी: मई 1913 में, दो वर्षों के लिए। मैकट्यूटर के अनुसार, 1914 में हार्डी उन्हें कैम्ब्रिज के ट्रिनिटी कॉलेज लाए।

रॉयल सोसाइटी की पत्रिका में प्रकाशित शोध-सार के अनुसार, हार्डी ने मद्रास के अन्य लोगों के साथ मिलकर रामानुजन के लिए शोध छात्रवृत्ति दिलाने का प्रयास किया। इसके अनुसार, हार्डी ने अप्रैल 1914 में उनके ट्रिनिटी आने की व्यवस्था भी की।

डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी के अनुसार, हार्डी ने पहले उन्हें इंग्लैंड आने का निमंत्रण दिया था। रामानुजन ब्राह्मण थे और धार्मिक मान्यताओं के कारण भारत छोड़ने को लेकर संकोच करते थे। इसके बदले मद्रास विश्वविद्यालय में दो वर्ष की फेलोशिप की व्यवस्था की गई। मैकट्यूटर के अनुसार, ई. एच. नेविल (E. H. Neville) के प्रयासों से भी इस कठिनाई को दूर करने में मदद मिली।

3.1 उनकी यात्रा कैसी रही?

वे भारत से समुद्री यात्रा पर निकले: 17 मार्च 1914। समुद्री यात्रा में तीन दिन तक हुई मितली को छोड़कर यात्रा शांत रही। वे लंदन पहुँचे: 14 अप्रैल 1914 को। नेविल ने उनका स्वागत किया। 30 अप्रैल को वे ट्रिनिटी कॉलेज के कमरों में रहने चले गए।

शुरू से ही भोजन की समस्या थी। मैकट्यूटर के अनुसार, प्रथम विश्व युद्ध के कारण उनकी जरूरत के खास खाद्य पदार्थ मिलना कठिन हो गया। इसके अनुसार, जल्द ही उन्हें स्वास्थ्य संबंधी समस्याएँ होने लगीं।

हार्डी ने बाद में सवाल उठाया कि रामानुजन को आधुनिक गणित सिखाने के लिए क्या किया जाए। उन्होंने अपनी राय इस तरह बताई: “उनका ज्ञान जितना गहरा था, उसकी सीमाएँ भी उतनी ही चौंकाने वाली थीं”। उन्होंने यह भी लिखा कि गणितीय प्रमाण किसे कहते हैं, इस बारे में रामानुजन की समझ “बहुत अस्पष्ट थी”।

मैकट्यूटर के अनुसार, लिटिलवुड के जवाब में रामानुजन ने “मौलिक विचारों की झड़ी लगा दी”। इसके अनुसार, इस कारण लिटिलवुड के लिए अपनी मूल योजना पर टिके रहना लगभग असंभव हो गया।

डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी के अनुसार, हार्डी और लिटिलवुड के मार्गदर्शन में उन्होंने तेजी से प्रगति की। इसके अनुसार, दोनों ने अंग्रेज़ी पत्रिकाओं में उनके शोधपत्र प्रकाशित कराने में भी मदद की।

4.1 उन्होंने कैम्ब्रिज में कौन-सी डिग्री हासिल की?

तारीख थी 16 मार्च 1916, जब उन्होंने कैम्ब्रिज से डिग्री हासिल की। यह शोध के आधार पर दी गई बैचलर ऑफ आर्ट्स (Bachelor of Arts by Research) की डिग्री थी। मैकट्यूटर के अनुसार, 1920 से इस डिग्री को पीएच.डी. (Ph.D.) कहा जाने लगा।

उनका शोधप्रबंध अति भाज्य संख्याओं (highly composite numbers) पर था। इसमें इंग्लैंड में प्रकाशित उनके सात शोधपत्र शामिल थे।

A विभाजन किसी संख्या को पूर्ण संख्याओं के योग के रूप में लिखने का एक तरीका है। इन संख्याओं को योग के पद कहते हैं। संख्या को अकेले लिखना भी ऐसा ही एक योग माना जाता है।

डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी के अनुसार, रामानुजन ने संख्याओं को योग के पदों में बाँटने का अध्ययन किया। n के विभाजनों की संख्या इस तरह लिखी जाती है: p(n).

यह हमारा अपना हल किया हुआ उदाहरण है। संख्या 4 के ये विभाजन हैं:

• 4
• 3 + 1
• 2 + 2
• 2 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1

कुल 5 तरीके हैं, इसलिए p(4) = 5।

5.1 उन्होंने इस पर कैसे काम किया?

मैकट्यूटर (MacTutor) इसे शायद उनका सबसे प्रसिद्ध काम बताता है। इसके अनुसार, मैकमोहन (MacMahon) ने छोटी संख्याओं के लिए p(n) की सारणियाँ बनाई थीं। रामानुजन ने इन संख्यात्मक आँकड़ों के आधार पर कुछ अनोखे गुणों के बारे में अनुमान लगाए। उन्होंने इनमें से कुछ को दीर्घवृत्तीय फलनों की मदद से सिद्ध किया। अन्य गुण उनकी मृत्यु के बाद ही सिद्ध हुए।

5.2 हार्डी और रामानुजन ने मिलकर क्या सिद्ध किया?

उनका संयुक्त शोधपत्र है संयोजनात्मक विश्लेषण में आसन्न सूत्र (Asymptotic Formulaae in Combinatory Analysis)। यह 1918 में प्रोसीडिंग्स ऑफ द लंदन मैथमैटिकल सोसाइटी (Proceedings of the London Mathematical Society) में प्रकाशित हुआ।

डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी उनके परिणाम को उल्लेखनीय बताती है। उनका सूत्र आसन्न था। इससे पहले से निकाले गए मानों के अच्छे सन्निकट मान मिलते थे। हांस राडेमाखर (Hans Rademacher) ने बाद में उनकी विधि को और बेहतर बनाकर p(n) के लिए एक अभिसारी श्रेणी दी, जिससे सटीक मान मिलता है।

क्रॉसरेफ (Crossref) में राडेमाखर का शोधपत्र विभाजन फलन p(n) पर (On the Partition Function p(n)) उसी पत्रिका में 1938 में प्रकाशित बताया गया है। हमारी समझ: जाँचे गए कई मानों से मेल खाने वाला सूत्र अपने आप में प्रमाण नहीं होता। यहाँ सटीक मान देने वाली श्रेणी बाद में आई।

संख्या 1729 का ज़िक्र हार्डी के सुनाए एक किस्से में आता है। उनके शब्दों में: “मुझे याद है, एक बार मैं उनसे मिलने गया था, जब वे पुटनी (Putney) में बीमार थे।” उन्होंने बताया कि वे 1729 नंबर की टैक्सी में आए थे। उन्होंने रामानुजन से कहा कि उन्हें यह संख्या “कुछ नीरस-सी” लगी।

रामानुजन ने जवाब दिया: “नहीं, यह बहुत दिलचस्प संख्या है।” उन्होंने कहा कि यह “सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।” मैथवर्ल्ड (MathWorld) भी यही गुण बताता है।

6.1 वे दो तरीके कौन-से हैं?

ओनो (Ono) और ट्रेबट-लेडर (Trebat-Leder) लिखते हैं कि 1729 सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसे दो तरीकों से दो धनात्मक संख्याओं के घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। ये दो योग हैं: 1³ + 12³ और 9³ + 10³।

जाँचें: 12³ का मान 1,728 है, इसलिए 1 + 1,728 से 1729 मिलता है।

इसी तरह, 9³ का मान 729 और 10³ का मान 1,000 है, इसलिए 729 + 1,000 से 1729 मिलता है।

6.2 क्या रामानुजन को यह बात उसी समय सूझी थी?

ओनो और ट्रेबट-लेडर के अनुसार, उन्होंने इंग्लैंड आने से पहले ही इसे लिख लिया था। अपनी दूसरी नोटबुक में उन्होंने उदाहरणों की एक सूची में इसे स्पष्ट रूप से लिखा था। वे लिटिलवुड (Littlewood) की इस टिप्पणी का उल्लेख करते हैं कि “हर संख्या रामानुजन की निजी मित्र है।”

मैथवर्ल्ड यह भी बताता है कि एफ. दे बेसी (F. de Bessy) को यह गुण 1657 में ही पता था। हमारी समझ: रामानुजन का जवाब एक ऐसी संख्या पर आधारित था जिसे वे पहले से अच्छी तरह जानते थे।

6.3 टैक्सीकैब संख्याएँ क्या हैं?

मैथवर्ल्ड के अनुसार, टैक्सीकैब संख्याओं का नाम हार्डी–रामानुजन संख्या से पड़ा है। इसमें शुरुआती संख्याएँ 2, 1729, 87539319 और 6963472309248 दी गई हैं। इसलिए 1729 दूसरी टैक्सीकैब संख्या है।

रामानुजन 1917 में गंभीर रूप से बीमार पड़ गए। डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी के अनुसार, उन्हें संभवतः तपेदिक था। इसके अनुसार, इंग्लैंड में उनका बाकी समय कई स्वास्थ्यगृहों में बीता। फरवरी 1918 में हार्डी ने लिखा कि तपेदिक होने की बात को “फिलहाल स्वीकार की गई धारणा” माना गया था।

7.1 1918 में उन्हें कौन-से सम्मान मिले?

• दिनांक 18 फरवरी 1918को उन्हें कैम्ब्रिज फिलॉसॉफिकल सोसाइटी (Cambridge Philosophical Society) का फेलो चुना गया।
• तीन दिन बाद, उनका नाम लंदन की रॉयल सोसाइटी (Royal Society of London) के फेलो के चुनाव की सूची में आया। मैकट्यूटर इसे उनके जीवन का सबसे बड़ा सम्मान बताता है।
• दिनांक 2 मई 1918को रॉयल सोसाइटी में उनके चुनाव की पुष्टि हुई।
• दिनांक 10 अक्टूबर 1918, उन्हें ट्रिनिटी कॉलेज (Trinity College) का फेलो चुना गया। यह फेलोशिप छह वर्षों के लिए थी।

1918 के अंत में हार्डी (Hardy) ने उनके बारे में लिखा: “वे ऐसी वैज्ञानिक प्रतिष्ठा और ख्याति के साथ भारत लौटेंगे, जैसी पहले किसी भारतीय को नहीं मिली थी।”

7.2 उनकी मृत्यु कब और कहाँ हुई?

मैकट्यूटर (MacTutor) के अनुसार, वे 27 फरवरी 1919 को जहाज़ से भारत के लिए रवाना हुए। वे 13 मार्च को पहुँचे। डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी (Dictionary of Scientific Biography) के अनुसार, वे अप्रैल 1919 में मद्रास लौटे। मैकट्यूटर के अनुसार, उनका स्वास्थ्य बहुत खराब था और अगले वर्ष उनकी मृत्यु हो गई।

उनकी मृत्यु हुई थी 26 अप्रैल 1920को। दोनों तारीखों से हमारी गणना के अनुसार, उस समय उनकी उम्र 32 वर्ष थी। मैकट्यूटर के अनुसार, उनकी मृत्यु कुंभकोणम में हुई। डिक्शनरी के अनुसार, उनकी मृत्यु मद्रास के पास चेतपेट (Chetput) में हुई। यह पाठ दोनों में से किसी एक विवरण को सही नहीं ठहराता।

मैकट्यूटर के अनुसार, रामानुजन अपने पीछे प्रमेयों से भरी अप्रकाशित नोटबुक छोड़ गए। गणितज्ञ आज भी उनका अध्ययन कर रहे हैं। हार्डी ने उनकी पांडुलिपियाँ जी. एन. वॉटसन (G. N. Watson) को सौंप दी थीं। कुछ पांडुलिपियाँ 1914 से पहले लिखी गई थीं और कुछ भारत में रामानुजन के जीवन के अंतिम वर्ष में।

वॉटसन ने 14 शोधपत्र प्रकाशित किए, जिनका शीर्षक था रामानुजन द्वारा बताए गए प्रमेय (Theorems stated by Ramanujan)। मैकट्यूटर के अनुसार, कुल मिलाकर वॉटसन ने रामानुजन के काम से प्रेरित लगभग 30 शोधपत्र प्रकाशित किए।

डिक्शनरी ऑफ साइंटिफिक बायोग्राफी के अनुसार, नोटबुक के अधिकांश प्रमेय गणितीय प्रमाण के मानक तरीके से सिद्ध नहीं किए गए थे। उनके सही होने के पक्ष में केवल तर्क दिए गए थे।

मनमोहन सिंह ने 2011 में इन नोटबुक का वर्णन किया। उन्होंने इन्हें रामानुजन के हाथ से लिखे अप्रकाशित काम की फोटोग्राफिक प्रतियाँ बताया। उन्होंने कहा कि मूल नोटबुक मद्रास विश्वविद्यालय में हैं।

अच्छी जीवनियों में भी छोटी बातों के विवरण अलग हो सकते हैं। नीचे दी गई तालिका में वे बातें हैं जिन पर हमारे पढ़े हुए स्रोत अलग विवरण देते हैं। इसमें हर अंतर शामिल नहीं है। जिन बातों के लिए स्रोतों ने केवल अलग शब्द इस्तेमाल किए हैं, उन्हें इसमें नहीं रखा गया है।

तालिका में स्रोतों के विवरण साथ-साथ दिए गए हैं। यह पाठ उनमें से किसी एक को सही नहीं ठहराता।

हमारा पाठ डी. आर. कापरेकर (D.R. Kaprekar) एक अन्य भारतीय गणितज्ञ के बारे में है। उनके जीवन के सफर की तुलना रामानुजन के सफर से करने के लिए इसे पढ़ें।

दिनांक 26 दिसंबर 2011को प्रधानमंत्री मनमोहन सिंह ने चेन्नई में भाषण दिया। यह कार्यक्रम रामानुजन के जन्म के 125 वर्ष पूरे होने पर आयोजित हुआ था।

प्रधानमंत्री ने कहा कि सरकार ने रामानुजन के जन्मदिन, 22 दिसंबर, को राष्ट्रीय गणित दिवस घोषित करने का निर्णय लिया है। उन्होंने यह भी कहा कि सरकार ने 2012 को राष्ट्रीय गणित वर्ष घोषित करने का निर्णय लिया है।

द हिंदू (The Hindu) ने 27 दिसंबर 2011 को बताया कि केंद्र सरकार हर साल उनके जन्मदिन को राष्ट्रीय गणित दिवस के रूप में मनाएगी।

उसी भाषण में प्रधानमंत्री ने रॉबर्ट कैनिगेल (Robert Kanigel) को सम्मानित किया। कैनिगेल ने रामानुजन की जीवनी लिखी थी। प्रधानमंत्री ने कहा कि रामानुजन को वह पहचान दिलाने में हार्डी की भूमिका थी, जिसके वे हकदार थे।

11.1 फिल्म से क्या संबंध है?

द मैन हू न्यू इनफिनिटी (The Man Who Knew Infinity) रामानुजन के जीवन पर बनी फिल्म है। इसमें देव पटेल (Dev Patel) ने रामानुजन और जेरेमी आयरन्स (Jeremy Irons) ने हार्डी की भूमिका निभाई है। IndieWire की रिपोर्ट 14 अक्टूबर 2015 की है। रिपोर्ट बताती है कि TIFF में फिल्म के हाल ही में हुए विश्व प्रीमियर के बाद IFC Films ने उत्तरी अमेरिका में इसके प्रदर्शन के अधिकार खरीद लिए थे।

UPSC सिविल सेवा (प्रारंभिक) परीक्षा 2016 के सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र-I, सीरीज़ A में इस फिल्म के बारे में पूछा गया था।

IndieWire की रिपोर्ट से उत्तर स्पष्ट होता है: यह फिल्म रामानुजन के जीवन पर आधारित है। बाकी तीन व्यक्तियों के जीवन पर यह फिल्म नहीं बनी है। प्रश्न में फिल्म को हाल ही में आई फिल्म कहा गया है। अक्टूबर 2015 में IndieWire ने TIFF में इसके विश्व प्रीमियर को हाल ही में हुआ बताया था।

यह प्रश्न 2016 के पूरे प्रश्नपत्र में देखें →

12.1 परीक्षा में किन तथ्यों से भ्रम हो सकता है?

• 8 फरवरी 1913 को लिखे अपने पहले उत्तर में हार्डी ने प्रमाण माँगे थे।
• रामानुजन ने पहला पत्र जनवरी 1913 में भेजा था, लेकिन वे 14 अप्रैल 1914 को लंदन पहुँचे।
• रॉयल सोसाइटी में उनके चुने जाने की पुष्टि 2 मई 1918 को हुई थी।
• राष्ट्रीय गणित दिवस 22 दिसंबर को, रामानुजन के जन्मदिन पर मनाया जाता है।
• 1729 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है।