एक नज़र में
इस पाठ में एक स्कूल शिक्षक की कहानी है, जिनकी संख्याओं की तरकीब प्रसिद्ध हो गई।
- उन्होंने 1929 से 1962 तक देवलाली के एक स्कूल में गणित पढ़ाया।
- उन्होंने कापरेकर, स्वयं (self), डेमलो (Demlo) और हर्षद संख्याओं का भी अध्ययन किया।
- उनके जीवनकाल में कई भारतीय गणितज्ञों ने उनके काम को अनदेखा किया।
चार अंकों की लगभग कोई भी संख्या चुनिए और एक स्कूल शिक्षक की तरकीब उसे 6174 तक पहुँचा देगी। ये शिक्षक कापरेकर थे। वे भारत के एक छोटे कस्बे में पढ़ाते थे और अधिकतर अपने दम पर काम करते थे। इस पाठ में उनके जीवन, उनकी सबसे प्रसिद्ध संख्या, उनके दूसरे विचारों और देर से मिली प्रसिद्धि के बारे में जानेंगे।
विषय-सूची
डी. आर. कापरेकर (D.R. Kaprekar) कौन थे और उन्होंने शुरुआत कैसे की?
दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर का जन्म 1905 में हुआ और निधन 1986 में हुआ। वे गणितज्ञ थे और संख्याओं की पहेलियों पर अधिकतर अकेले काम करते थे।
1. उनका जन्म कहाँ हुआ और संख्याओं के प्रति उनका लगाव कैसे बढ़ा?
कापरेकर का जन्म 17 जनवरी 1905 को दहानू में हुआ था। दहानू भारत के पश्चिमी तट पर, मुंबई से लगभग 100 km उत्तर में स्थित एक कस्बा है। जब वे आठ साल के थे, तब उनकी माँ का निधन हो गया। उनके पिता एक क्लर्क थे और उन्होंने ही उनका पालन-पोषण किया।
उनके पिता को ज्योतिष में बहुत रुचि थी। ज्योतिष के लिए गणित के गहरे ज्ञान की ज़रूरत नहीं होती, लेकिन संख्याओं के साथ काम करने का हुनर चाहिए। यह हुनर बेटे में भी आया। कापरेकर ने ठाणे के माध्यमिक स्कूल में पढ़ाई की और पहेलियाँ सुलझाने में खुशी-खुशी कई घंटे बिताए।
2. उन्होंने कहाँ पढ़ाई की और कौन-सा पुरस्कार जीता?
कापरेकर ने 1923 में पुणे के फर्ग्यूसन कॉलेज (Fergusson College) में कॉलेज की पढ़ाई शुरू की। 1927 में उन्होंने रैंगलर आर. पी. परांजपे गणित पुरस्कार (Wrangler R P Paranjpe Mathematical Prize) जीता। रैंगलर उस विद्यार्थी को कहते हैं जिसे गणित में सर्वोच्च सम्मान मिलता है। यह पुरस्कार किसी विद्यार्थी के गणित में सर्वश्रेष्ठ मौलिक काम के लिए दिया जाता था।
उन्होंने 1929 में बीएससी (BSc) की डिग्री पूरी की। मैकट्यूटर (MacTutor) के अनुसार, उन्होंने संख्या सिद्धांत का ज्ञान अधिकतर खुद पढ़कर हासिल किया था।
स्रोत: मैकट्यूटर (MacTutor), कापरेकर की जीवनी, बिंदु 2
स्रोत: दैट्समैथ्स (ThatsMaths), कापरेकर की संख्या (Kaprekar's number), बिंदु 2
3. उनका काम क्या था और वे कैसे शिक्षक थे?
1929 में कापरेकर (Kaprekar) देवलाली (Devlali) के एक स्कूल में गणित के शिक्षक बने। देवलाली, नाशिक (Nashik) के बहुत पास का एक कस्बा है। उन्होंने अपने पूरे सेवाकाल में वहीं पढ़ाया और 1962 में 58 वर्ष की उम्र में सेवानिवृत्त हुए।
सहकर्मी उन्हें एक अच्छा शिक्षक मानते थे। वे संख्याओं के प्रति अपने लगाव से विद्यार्थियों को प्रेरित करते थे। स्थानीय कॉलेज अक्सर उन्हें उनके अनोखे तरीकों पर बोलने के लिए बुलाते थे।
उन्होंने एक बार कहा था कि उन्हें संख्याओं की लत है। उनके शब्दों में, जैसे एक शराबी लगातार शराब पीना चाहता है, वैसे ही वे लगातार संख्याओं में लगे रहना चाहते हैं।
6174 क्या है और यह खास क्यों है?
6174 को कापरेकर स्थिरांक (Kaprekar’s constant) कहा जाता है। यह एक सरल प्रक्रिया से मिलता है, जिसे स्कूल का कोई भी विद्यार्थी आज़मा सकता है।
4. कापरेकर प्रक्रिया कैसे काम करती है?
चार अंकों की कोई भी ऐसी संख्या लें जिसके सभी अंक एक जैसे न हों। उसके अंकों को क्रम में लगाकर सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाएँ। बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ। मिले उत्तर के साथ यही चरण दोहराएँ।
1234 से शुरू करके देखें। पहले, 4321 में से 1234 घटाने पर 3087 मिलता है। फिर, 8730 में से 0378 घटाने पर 8352 मिलता है। इसके बाद, 8532 में से 2358 घटाने पर 6174 मिलता है।
3743 से भी शुरुआत कर सकते हैं। इसमें सात चरण लगते हैं और अंत में 6174 ही मिलता है। इस प्रक्रिया में अधिकतम इतने ही चरण लग सकते हैं।
5. यह प्रक्रिया 6174 पर क्यों रुक जाती है?
6174 लेकर यह प्रक्रिया करें। सबसे बड़ी संख्या 7641 और सबसे छोटी संख्या 1467 बनती है। उनका अंतर फिर से 6174 ही आता है। इसलिए प्रक्रिया इसी संख्या पर बनी रहती है। इस तरह अपरिवर्तित रहने वाली संख्या को स्थिर बिंदु (fixed point) कहते हैं।
लगभग किसी भी चार अंकों की संख्या पर यह प्रक्रिया करने से अधिकतम सात चरणों में 6174 मिल जाता है। अपवाद वे संख्याएँ हैं जिनके चारों अंक एक जैसे होते हैं, जैसे 1111। ऐसी संख्या को समान अंकों वाली संख्या (repdigit) कहते हैं। इससे पहले ही चरण में 0 मिलता है।
6. उन्होंने यह खोज कब की और इसे कब साझा किया?
कापरेकर ने पहली बार 1946 में यह गुण खोजा। उन्होंने 1949 में मद्रास गणित सम्मेलन (Madras Mathematical Conference) में इसकी घोषणा की। इसके बाद उन्होंने स्क्रिप्टा मैथमेटिका (Scripta Mathematica) पत्रिका में इसके बारे में लिखा।
MacTutor में उस शोधपत्र का वर्ष 1953 दिया गया है। कुछ अन्य सूचियों में अलग शीर्षक वाले 1955 के एक शोधपत्र का उल्लेख है। इसलिए प्रकाशन का वर्ष न रटें। खोज के लिए 1946 और पहली सार्वजनिक प्रस्तुति के लिए 1949 याद रखें।
7. क्या अलग संख्या में अंकों वाली संख्याओं पर भी यही प्रक्रिया काम करती है?
हाँ, लेकिन अंकों की संख्या के अनुसार परिणाम बदलता है। तीन अंकों की वे संख्याएँ जिनके सभी अंक एक जैसे नहीं हैं, स्थिर बिंदु 495 तक पहुँचती हैं। इसमें अधिकतम छह चरण लगते हैं।
अलग-अलग अंकों वाली दो अंकों की संख्याएँ इसके बजाय एक चक्र में घूमती रहती हैं। यह चक्र 09, 81, 63, 27, 45 है, और फिर यही क्रम दोहराता है। इसलिए केवल चार अंकों वाली संख्याओं के मामले में प्रसिद्ध एकल अंतिम बिंदु 6174 मिलता है।
उन्होंने संख्याओं से जुड़े और कौन-से विचार दिए?
कापरेकर ने कई तरह की संख्याओं को नाम दिए और उनका अध्ययन किया। इनमें से चार की चर्चा आज भी होती है।
8. कापरेकर संख्या क्या है?
कापरेकर संख्या वह संख्या है जिसके वर्ग को दो भागों में बाँटा जा सकता है। उन दोनों भागों का योग मूल संख्या के बराबर होता है।
703 को लें। इसका वर्ग 494209 है। इसे 494 और 209 में बाँटें, तो उनका योग 703 होता है। इन भागों की शुरुआत शून्य से भी हो सकती है। 9999 का वर्ग 99980001 है। इसके भागों 9998 और 0001 का योग 9999 होता है।
9, 99, 999 आदि सभी संख्याएँ इस नियम पर खरी उतरती हैं। इसलिए कापरेकर संख्याएँ अनंत हैं। शुरुआती कुछ संख्याएँ 1, 9, 45, 55, 99, 297 और 703 हैं।
9. स्वयंभू संख्या क्या है?
कापरेकर ने इन संख्याओं को स्वयंभू संख्याएँ (self numbers) कहा। किसी संख्या से शुरू करें और उसमें उसके अंकों का योग जोड़ें। यह प्रक्रिया बार-बार दोहराएँ। 23 से शुरू करने पर क्रम से 28, 38, 49, 62 और 70 मिलते हैं।
कुछ संख्याएँ इस तरह किसी छोटी संख्या से बनाई जा सकती हैं। 29 को लें। यह 19 से बनती है, 19 संख्या 14 से बनती है और 14 संख्या 7 से बनती है। लेकिन 7 किसी संख्या से नहीं बनती। इसलिए 7 एक स्वयंभू संख्या है। शुरुआती कुछ स्वयंभू संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9, 20 और 31।
10. डेमलो और हर्षद संख्याएँ क्या हैं?
डेमलो (Demlo) संख्याओं का नाम बॉम्बे से ठाणे जाने वाली रेल लाइन के एक स्टेशन पर रखा गया है। 1923 में कापरेकर वहाँ ट्रेन बदल रहे थे, तभी उन्हें यह विचार आया।
हर्षद संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो अपने अंकों के योग से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं। यह नाम संस्कृत के एक शब्द से आया है, जिसका अर्थ है बहुत खुशी। इसके उदाहरण हैं: 12, 18, 20 और 21। 12 के अंकों का योग 3 है और 12, 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाता है।
उन्हें प्रसिद्धि इतनी देर से क्यों मिली?
कापरेकर को अपने देश में बहुत कम सहयोग मिला। दुनिया ने उन पर कई वर्षों बाद ध्यान दिया।
11. दूसरे गणितज्ञों ने उनके काम को कैसे देखा?
कई भारतीय गणितज्ञ उनके विचारों पर हँसते थे। वे इन विचारों को मामूली और महत्वहीन मानते थे। फिर भी कापरेकर ने कम प्रतिष्ठित पत्रिकाओं में कुछ शोधपत्र प्रकाशित किए।
कुछ अन्य शोधपत्र उन्होंने खुद प्रकाशित किए। ये छोटी पुस्तिकाएँ थीं, जिन पर ‘निजी रूप से मुद्रित, देवलाली (Privately printed, Devlali)’ जैसी पंक्तियाँ लिखी होती थीं। फिर भी उनके कई शोधपत्रों की समीक्षा मैथमेटिकल रिव्यूज़ (Mathematical Reviews) में हुई। यह पत्रिका गणित के नए शोधपत्रों की जानकारी देती है।
12. उन्हें दुनिया भर में प्रसिद्धि कैसे मिली?
उन्हें अंतरराष्ट्रीय प्रसिद्धि 1975 में मिली। अमेरिकी लेखक मार्टिन गार्डनर (Martin Gardner) ने अपने मैथमेटिकल गेम्स (Mathematical Games) स्तंभ में कापरेकर और उनकी संख्याओं के बारे में लिखा। यह स्तंभ साइंटिफिक अमेरिकन (Scientific American) के मार्च अंक में छपा था।
तब तक कापरेकर 70 वर्ष के हो चुके थे और उन्हें सेवानिवृत्त हुए काफी समय हो गया था। गार्डनर के लेख ने 6174 की तरकीब को दुनिया भर के पाठकों तक पहुँचाया।
13. आखिरी वर्षों में उनका जीवन कैसा था?
उनकी पत्नी का निधन 1966 में हुआ। उसके बाद उनकी पेंशन गुजारा करने के लिए बहुत कम थी। वे जितने कम खर्च में रह सकते थे, रहते थे और जागते समय संख्याओं पर काम करते थे।
गुजारे के लिए वे गणित और विज्ञान की निजी ट्यूशन देते थे। 1986 में देवलाली में उनका निधन हुआ। इसी कस्बे में वे पढ़ाया करते थे।
परीक्षाओं में कापरेकर पर कैसे सवाल पूछे जाते हैं?
उनसे जुड़े सवालों में नाम, संख्याएँ और वर्ष पूछे जाते हैं। नीचे दिए गए जोड़े याद करें।
14. कौन-से जोड़े और भ्रमित करने वाले अंतर याद रखने चाहिए?
हर नाम को उसके विचार से जोड़ें। कापरेकर स्थिरांक 6174 है, जो अधिकतम सात चरणों में मिल जाता है। कापरेकर संख्या एक अलग विचार है: उसके वर्ग को ऐसे भागों में बाँटा जाता है, जिनका योग मूल संख्या के बराबर होता है।
चार विचारों का अंतर समझें: कापरेकर संख्याएँ, स्वयंभू संख्याएँ, डेमलो संख्याएँ और हर्षद संख्याएँ। हर एक का अपना नियम है।
खोज के लिए 1946, व्याख्यान के लिए 1949 और प्रसिद्धि के लिए 1975 याद रखें।
सोचकर समझने के लिए चार सवाल
यहाँ स्थिर बिंदु का क्या अर्थ है?
स्थिर बिंदु वह संख्या है जो इस प्रक्रिया के बाद भी नहीं बदलती। 6174 के अंकों से बनने वाली सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ 7641 और 1467 हैं। इनका अंतर फिर 6174 ही है। इसलिए इस प्रक्रिया में वही संख्या बार-बार मिलती है।
8730 में से 0378 घटाते समय शुरू में शून्य क्यों रखा जाता है?
इस प्रक्रिया में हर संख्या को चार अंकों में लिखा जाता है। इसलिए शुरू का शून्य बना रहता है। यह संख्या के चार अंकों वाले रूप का हिस्सा है। 8730 में से 0378 घटाने पर 8352 मिलता है।
उनकी पुस्तिकाएँ बाद में भी क्यों मिलती रहीं?
उन्होंने अपने कई शोधपत्र खुद छापे थे। उन पर ‘निजी तौर पर मुद्रित, देवलाली (Privately printed, Devlali)’ जैसी पंक्तियाँ लिखी होती थीं। उनके कई शोधपत्रों की समीक्षा मैथमैटिकल रिव्यूज़ (Mathematical Reviews) में भी होती रही। इसलिए दूसरे गणितज्ञ उन्हें खोज सकते थे।
हर्षद संख्या की जाँच कैसे करते हैं?
संख्या के अंकों को जोड़ें, फिर देखें कि संख्या उस योग से पूरी तरह विभाजित होती है या नहीं। 18 का उदाहरण लें। इसके अंकों का योग 9 है, और 18 को 9 से पूरी तरह भाग दिया जा सकता है। इसलिए 18 एक हर्षद संख्या है।
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