समय और कार्य: सूत्र, आसान तरीके और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

मान लें कि सचिन की काम करने की दर प्रतिदिन पूरे काम का 1/10 हिस्सा है। प्रिया, सचिन से 100% अधिक कार्यकुशल है। इसलिए प्रिया की काम करने की दर सचिन की दर की (100+100)/100 गुनी है। प्रिया की दर = (100+100)/100 x 1/10 काम प्रतिदिन। प्रिया को लगने वाला समय इस दर का व्युत्क्रम है। प्रिया का समय = 10 x 100/(100+100) = 5 दिन। जाँच: 5 दिन, 10 दिनों से कम हैं, जो प्रिया की अधिक काम करने की गति के अनुरूप है।

मान लें कि सचिन की काम करने की दर प्रतिदिन पूरे काम का 1/8 हिस्सा है। प्रिया, सचिन से 100% अधिक कार्यकुशल है। इसलिए प्रिया की काम करने की दर सचिन की दर की (100+100)/100 गुनी है। प्रिया की दर = (100+100)/100 x 1/8 काम प्रतिदिन। प्रिया को लगने वाला समय इस दर का व्युत्क्रम है। प्रिया का समय = 8 x 100/(100+100) = 4 दिन। जाँच: 4 दिन, 8 दिनों से कम हैं, जो प्रिया की अधिक काम करने की गति के अनुरूप है।

मान लें कि सचिन की काम करने की दर प्रतिदिन पूरे काम का 1/12 हिस्सा है। प्रिया, सचिन से 50% अधिक कार्यकुशल है। इसलिए प्रिया की काम करने की दर सचिन की दर की (100+50)/100 गुनी है। प्रिया की दर = (100+50)/100 x 1/12 काम प्रतिदिन। प्रिया को लगने वाला समय इस दर का व्युत्क्रम है। प्रिया का समय = 12 x 100/(100+50) = 8 दिन। जाँच: 8 दिन, 12 दिनों से कम हैं, जो प्रिया की अधिक काम करने की गति के अनुरूप है।

मिलकर किए गए काम की मजदूरी प्रत्येक व्यक्ति के किए गए काम के अनुसार मिलनी चाहिए। जो व्यक्ति काम का अधिक हिस्सा पूरा करता है, उसे मजदूरी का बड़ा हिस्सा मिलना चाहिए। इसलिए मजदूरी कुल काम में प्रत्येक व्यक्ति के योगदान के अनुपात में बाँटी जाती है। केवल लगाए गए समय से बँटवारा तय नहीं होता — वास्तव में किए गए काम से होता है।

मान लें कि B को अकेले काम पूरा करने में b दिन लगते हैं। A, B से 3 गुना तेज काम करता है, इसलिए A की कार्य-दर प्रतिदिन 3/b है। A को अकेले काम पूरा करने में लगने वाला समय इस दर का व्युत्क्रम, यानी b/3 दिन होगा। इसलिए A और B के समय का अनुपात (b/3) : b है, जो सरल करने पर 1:3 होता है।

दी गई जानकारी के अनुसार, A प्रतिदिन कार्य का 1/n भाग पूरा करता है। पूरा कार्य करने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए प्रतिदिन किए जाने वाले कार्य का व्युत्क्रम लें। लगा समय = 1 को (1/n) से भाग देने पर n दिन। जाँच: n दिन x प्रतिदिन 1/n कार्य = 1 पूरा कार्य।

प्रश्न के अनुसार पूरा काम करने में n दिन लगते हैं। मान लें कि हर दिन काम करने की दर समान रहती है। इसलिए हर दिन काम का बराबर हिस्सा पूरा होता है। यह दैनिक हिस्सा पूरे काम को n दिनों से भाग देने पर मिलता है, यानी 1/n।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन कार्य का 1/12 भाग और सचिन 1/8 भाग पूरा करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे कार्य का 1/12 + 1/8 = 5/24 भाग पूरा करते हैं। 4 पूरे चक्रों के बाद 8 दिन बीत जाते हैं और कार्य का 4 x 5/24 = 5/6 भाग पूरा हो जाता है। शेष कार्य 1 – 5/6 = 1/6 है। 9वें दिन राहुल फिर काम करके कार्य का 1/12 भाग पूरा करता है। अब कार्य का 1/6 – 1/12 = 1/12 भाग बचता है। सचिन प्रतिदिन कार्य का 1/8 भाग पूरा करता है, इसलिए उसे 1/12 को 1/8 से भाग देने पर दिन का 2/3 भाग लगेगा। कुल समय = 8 + 1 + 2/3 = 9.67 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन कार्य का 1/14 भाग और सचिन 1/4 भाग पूरा करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे कार्य का 1/14 + 1/4 = 9/28 भाग पूरा करते हैं। 3 पूरे चक्रों के बाद 6 दिन बीत जाते हैं और कार्य का 3 x 9/28 = 27/28 भाग पूरा हो जाता है। शेष कार्य 1 – 27/28 = 1/28 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन कार्य का 1/14 भाग पूरा करता है। चूँकि शेष 1/28 कार्य, उसके एक दिन के 1/14 कार्य से कम है, इसलिए राहुल दिन पूरा होने से पहले ही कार्य समाप्त कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/28 को 1/14 से भाग देने पर दिन का 1/2 भाग। कुल समय = 6 + 1/2 = 6.5 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन कार्य का 1/8 भाग और सचिन 1/16 भाग पूरा करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे कार्य का 1/8 + 1/16 = 3/16 भाग पूरा करते हैं। 5 पूरे चक्रों के बाद 10 दिन बीत जाते हैं और कार्य का 5 x 3/16 = 15/16 भाग पूरा हो जाता है। शेष कार्य 1 – 15/16 = 1/16 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन कार्य का 1/8 भाग पूरा करता है। चूँकि शेष 1/16 कार्य, उसके एक दिन के 1/8 कार्य से कम है, इसलिए राहुल दिन पूरा होने से पहले ही कार्य समाप्त कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/16 को 1/8 से भाग देने पर दिन का 1/2 भाग। कुल समय = 10 + 1/2 = 10.5 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन कार्य का 1/6 भाग और सचिन 1/18 भाग पूरा करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे कार्य का 1/6 + 1/18 = 2/9 भाग पूरा करते हैं। 4 पूरे चक्रों के बाद 8 दिन बीत जाते हैं और कार्य का 4 x 2/9 = 8/9 भाग पूरा हो जाता है। शेष कार्य 1 – 8/9 = 1/9 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन कार्य का 1/6 भाग पूरा करता है। चूँकि शेष 1/9 कार्य, उसके एक दिन के 1/6 कार्य से कम है, इसलिए राहुल दिन पूरा होने से पहले ही कार्य समाप्त कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/9 को 1/6 से भाग देने पर दिन का 2/3 भाग। कुल समय = 8 + 2/3 = 8.67 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन कार्य का 1/9 भाग और सचिन 1/6 भाग पूरा करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे कार्य का 1/9 + 1/6 = 5/18 भाग पूरा करते हैं। 3 पूरे चक्रों के बाद 6 दिन बीत जाते हैं और कार्य का 3 x 5/18 = 5/6 भाग पूरा हो जाता है। शेष कार्य 1 – 5/6 = 1/6 है। 7वें दिन राहुल फिर काम करके कार्य का 1/9 भाग पूरा करता है। अब कार्य का 1/6 – 1/9 = 1/18 भाग बचता है। सचिन प्रतिदिन कार्य का 1/6 भाग पूरा करता है, इसलिए उसे 1/18 को 1/6 से भाग देने पर दिन का 1/3 भाग लगेगा। कुल समय = 6 + 1 + 1/3 = 7.33 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/14 भाग और सचिन 1/6 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/14 + 1/6 = 5/21 भाग पूरा करते हैं। 4 पूरे चक्रों के बाद 8 दिन बीत जाते हैं और काम का 4 x 5/21 = 20/21 भाग पूरा हो जाता है। बचा हुआ काम 1 – 20/21 = 1/21 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/14 भाग करता है। चूँकि बचा हुआ 1/21 भाग उसके एक दिन के काम 1/14 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल इसे दिन पूरा होने से पहले ही समाप्त कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/21 को 1/14 से भाग देने पर दिन का 2/3 भाग। कुल समय = 8 + 2/3 = 8.67 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/20 भाग और सचिन 1/6 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/20 + 1/6 = 13/60 भाग पूरा करते हैं। 4 पूरे चक्रों के बाद 8 दिन बीत जाते हैं और काम का 4 x 13/60 = 13/15 भाग पूरा हो जाता है। बचा हुआ काम 1 – 13/15 = 2/15 है। 9वें दिन राहुल फिर काम करता है और काम का 1/20 भाग पूरा करता है। अब काम का 2/15 – 1/20 = 1/12 भाग बचता है। इसके बाद सचिन प्रतिदिन 1/6 भाग की दर से काम करता है, इसलिए उसे 1/12 को 1/6 से भाग देने पर दिन का 1/2 भाग लगता है। कुल समय = 8 + 1 + 1/2 = 9.5 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/20 भाग और सचिन 1/15 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/20 + 1/15 = 7/60 भाग पूरा करते हैं। 8 पूरे चक्रों के बाद 16 दिन बीत जाते हैं और काम का 8 x 7/60 = 14/15 भाग पूरा हो जाता है। शेष काम 1 – 14/15 = 1/15 है। 17वें दिन राहुल फिर काम करता है और काम का 1/20 भाग पूरा करता है। अब 1/15 – 1/20 = 1/60 भाग बचता है। सचिन प्रतिदिन 1/15 भाग काम करता है, इसलिए उसे 1/60 को 1/15 से भाग देने पर दिन का 1/4 भाग लगेगा। कुल समय = 16 + 1 + 1/4 = 17.25 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/10 भाग और सचिन 1/20 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/10 + 1/20 = 3/20 भाग पूरा करते हैं। 6 पूरे चक्रों के बाद 12 दिन बीत जाते हैं और काम का 6 x 3/20 = 9/10 भाग पूरा हो जाता है। शेष काम 1 – 9/10 = 1/10 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/10 भाग करता है। चूँकि बचा हुआ 1/10 भाग उसकी एक दिन की क्षमता 1/10 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल उसी दिन काम पूरा कर देता है। आवश्यक अतिरिक्त समय = 1/10 को 1/10 से भाग देने पर 1 दिन। कुल समय = 12 + 1 = 13 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/12 भाग और सचिन 1/18 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/12 + 1/18 = 5/36 भाग पूरा करते हैं। 7 पूरे चक्रों के बाद 14 दिन बीत जाते हैं और काम का 7 x 5/36 = 35/36 भाग पूरा हो जाता है। शेष काम 1 – 35/36 = 1/36 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/12 भाग करता है। चूँकि बचा हुआ 1/36 भाग उसकी एक दिन की क्षमता 1/12 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल दिन के कुछ हिस्से में ही काम पूरा कर देता है। आवश्यक अतिरिक्त समय = 1/36 को 1/12 से भाग देने पर दिन का 1/3 भाग। कुल समय = 14 + 1/3 = 14.33 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/16 भाग और सचिन 1/14 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/16 + 1/14 = 15/112 भाग पूरा करते हैं। 7 पूरे चक्रों के बाद 14 दिन बीत जाते हैं और काम का 7 x 15/112 = 15/16 भाग पूरा हो जाता है। शेष काम 1 – 15/16 = 1/16 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/16 भाग करता है। चूँकि बचा हुआ 1/16 भाग उसकी एक दिन की क्षमता 1/16 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल उसी दिन काम पूरा कर देता है। आवश्यक अतिरिक्त समय = 1/16 को 1/16 से भाग देने पर 1 दिन। कुल समय = 14 + 1 = 15 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/18 भाग और सचिन 1/8 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/18 + 1/8 = 13/72 भाग पूरा करते हैं। 5 पूरे चक्रों के बाद 10 दिन बीत जाते हैं और काम का 5 x 13/72 = 65/72 भाग पूरा हो जाता है। शेष काम 1 – 65/72 = 7/72 है। 11वें दिन राहुल फिर काम करता है और काम का 1/18 भाग पूरा करता है। अब 7/72 – 1/18 = 1/24 भाग बचता है। सचिन प्रतिदिन 1/8 भाग काम करता है, इसलिए उसे 1/24 को 1/8 से भाग देने पर दिन का 1/3 भाग लगेगा। कुल समय = 10 + 1 + 1/3 = 11.33 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/16 भाग और सचिन 1/15 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/16 + 1/15 = 31/240 भाग पूरा करते हैं। 7 पूरे चक्रों के बाद 14 दिन बीतते हैं और काम का 7 x 31/240 = 217/240 भाग पूरा होता है। शेष काम 1 – 217/240 = 23/240 है। 15वें दिन राहुल फिर काम करता है और काम का 1/16 भाग पूरा करता है। अब काम का 23/240 – 1/16 = 1/30 भाग बचता है। इसके बाद सचिन प्रतिदिन 1/15 भाग की दर से काम करता है। उसे 1/30 को 1/15 से भाग देने पर = 1/2 दिन का समय चाहिए। कुल समय = 14 + 1 + 1/2 = 15.5 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/15 भाग और सचिन 1/18 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/15 + 1/18 = 11/90 भाग पूरा करते हैं। 8 पूरे चक्रों के बाद 16 दिन बीतते हैं और काम का 8 x 11/90 = 44/45 भाग पूरा होता है। शेष काम 1 – 44/45 = 1/45 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/15 भाग करता है। चूँकि शेष 1/45 काम उस दिन की उसकी क्षमता 1/15 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल दिन के कुछ हिस्से में ही काम पूरा कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/45 को 1/15 से भाग देने पर = 1/3 दिन। कुल समय = 16 + 1/3 = 16.33 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/8 भाग और सचिन 1/20 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/8 + 1/20 = 7/40 भाग पूरा करते हैं। 5 पूरे चक्रों के बाद 10 दिन बीतते हैं और काम का 5 x 7/40 = 7/8 भाग पूरा होता है। शेष काम 1 – 7/8 = 1/8 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/8 भाग करता है। चूँकि शेष 1/8 काम उस दिन की उसकी क्षमता 1/8 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल उसी दिन काम पूरा कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/8 को 1/8 से भाग देने पर = 1 दिन। कुल समय = 10 + 1 = 11 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/16 भाग और सचिन 1/12 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/16 + 1/12 = 7/48 भाग पूरा करते हैं। 6 पूरे चक्रों के बाद 12 दिन बीतते हैं और काम का 6 x 7/48 = 7/8 भाग पूरा होता है। शेष काम 1 – 7/8 = 1/8 है। 13वें दिन राहुल फिर काम करता है और काम का 1/16 भाग पूरा करता है। अब काम का 1/8 – 1/16 = 1/16 भाग बचता है। इसके बाद सचिन प्रतिदिन 1/12 भाग की दर से काम करता है। उसे 1/16 को 1/12 से भाग देने पर = 3/4 दिन का समय चाहिए। कुल समय = 12 + 1 + 3/4 = 13.75 दिन।

मान लें कि राहुल (Rahul) की कार्य-दर प्रतिदिन 1/6 और सचिन (Sachin) की कार्य-दर प्रतिदिन 1/9 है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/6 + 1/9 = 5/18 भाग पूरा करते हैं। 3 पूरे चक्रों के बाद, 6 दिन बीत जाते हैं और काम का 3 x 5/18 = 5/6 भाग पूरा हो जाता है। बचा हुआ काम 1 – 5/6 = 1/6 है। अब फिर राहुल की बारी है, जिसकी कार्य-दर प्रतिदिन 1/6 है। चूँकि बचा हुआ 1/6 काम उस दिन की कार्य-क्षमता 1/6 से अधिक नहीं है, राहुल उसे उसी दिन पूरा कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/6 को 1/6 से भाग देने पर = 1 दिन। कुल समय = 6 + 1 = 7 दिन।

मान लें कि राहुल प्रतिदिन काम का 1/15 भाग और सचिन 1/6 भाग करता है। 2 दिनों के एक चक्र में (पहले राहुल, फिर सचिन) वे काम का 1/15 + 1/6 = 7/30 भाग पूरा करते हैं। 4 पूरे चक्रों के बाद 8 दिन बीतते हैं और काम का 4 x 7/30 = 14/15 भाग पूरा होता है। शेष काम 1 – 14/15 = 1/15 है। अब फिर राहुल की बारी है, जो प्रतिदिन काम का 1/15 भाग करता है। चूँकि शेष 1/15 काम उस दिन की उसकी क्षमता 1/15 से अधिक नहीं है, इसलिए राहुल उसी दिन काम पूरा कर देता है। अतिरिक्त समय = 1/15 को 1/15 से भाग देने पर = 1 दिन। कुल समय = 8 + 1 = 9 दिन।