संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.): सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 3)

मान लीजिए 45, 32, 15 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(45, 32, 15) = 1440। 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 99999 को 1440 से भाग देने पर: 99999/1440 = 69 और शेषफल 639। यह शेषफल घटाने पर 1440 का सबसे बड़ा 5 अंकों वाला गुणज मिलता है: 99999 – 639 = 99360। जाँच: 99360/1440 = 69, जो एक पूर्ण संख्या है, और 99360 <= 99999.

मान लीजिए 24, 40, 32 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(24, 40, 32) = 480। 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 480 से भाग देने पर: 9999/480 = 20 और शेषफल 399। यह शेषफल घटाने पर 480 का सबसे बड़ा 4 अंकों वाला गुणज मिलता है: 9999 – 399 = 9600। जाँच: 9600/480 = 20, जो एक पूर्ण संख्या है, और 9600 <= 9999.

मान लीजिए अभीष्ट संख्या N है। N को 12, 20, 7, 6 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है, इसलिए N – 3 इन सभी से पूर्णतः विभाज्य है। इसका अर्थ है कि N – 3 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) का गुणज है। ल.स.प.(12, 20, 7, 6) = 420। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 420 + 3 = 423 है। जाँच: 423 – 3 = 420, जो 12, 20, 7, 6 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाज्य है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या N है। N को 8, 20, 7, 10 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है, इसलिए N – 4 इन सभी से पूर्णतः विभाज्य है। इसका अर्थ है कि N – 4 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) का गुणज है। ल.स.प.(8, 20, 7, 10) = 280। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 280 + 4 = 284 है। जाँच: 284 – 4 = 280, जो 8, 20, 7, 10 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाज्य है।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या N है। N को 18, 20, 15, 10 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 8 बचता है, इसलिए N – 8 इन सभी से पूरी तरह विभाजित होता है। इसका अर्थ है कि N – 8 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का गुणज है। L.C.M.(18, 20, 15, 10) = 180। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 180 + 8 = 188 है। जाँच: 188 – 8 = 180, जो 18, 20, 15, 10 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या N है। N को 15, 6, 18 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है, इसलिए N – 2 इन सभी से पूरी तरह विभाजित होता है। इसका अर्थ है कि N – 2 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का गुणज है। L.C.M.(15, 6, 18) = 90। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 90 + 2 = 92 है। जाँच: 92 – 2 = 90, जो 15, 6, 18 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या N है। N को 6, 12, 20, 7 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है, इसलिए N – 2 इन सभी से पूरी तरह विभाजित होता है। इसका अर्थ है कि N – 2 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का गुणज है। L.C.M.(6, 12, 20, 7) = 420। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 420 + 2 = 422 है। जाँच: 422 – 2 = 420, जो 6, 12, 20, 7 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या N है। N को 10, 9, 6 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है, इसलिए N – 2 इन सभी से पूरी तरह विभाजित होता है। इसका अर्थ है कि N – 2 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का गुणज है। L.C.M.(10, 9, 6) = 90। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 90 + 2 = 92 है। जाँच: 92 – 2 = 90, जो 10, 9, 6 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या N है। N को 9, 14, 20, 6 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है, इसलिए N – 2 इन सभी से पूरी तरह विभाजित होता है। इसका अर्थ है कि N – 2 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का गुणज है। L.C.M.(9, 14, 20, 6) = 1260। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 1260 + 2 = 1262 है। जाँच: 1262 – 2 = 1260, जो 9, 14, 20, 6 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या N है। N को 20, 7, 15, 18 में से प्रत्येक से भाग देने पर शेषफल 2 मिलता है, इसलिए N – 2 इन सभी से पूरी तरह विभाजित होता है। इसका अर्थ है कि N – 2 इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का एक गुणज है। L.C.M.(20, 7, 15, 18) = 1260। ऐसी सबसे छोटी संख्या N = 1260 + 2 = 1262 है। जाँच: 1262 – 2 = 1260, जो 20, 7, 15, 18 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 12, 9, 24, 15 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 12 = 2 x 2 x 3; 9 = 3 x 3; 24 = 2 x 2 x 2 x 3; 15 = 3 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 360 मिलता है। जाँच: 360/12 = 30, 360/9 = 40, 360/24 = 15, 360/15 = 24, इसलिए 360 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 30, 45, 25, 32 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 30 = 2 x 3 x 5; 45 = 3 x 3 x 5; 25 = 5 x 5; 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 7200 मिलता है। जाँच: 7200/30 = 240, 7200/45 = 160, 7200/25 = 288, 7200/32 = 225, इसलिए 7200 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 10, 8, 20, 36 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 10 = 2 x 5; 8 = 2 x 2 x 2; 20 = 2 x 2 x 5; 36 = 2 x 2 x 3 x 3। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 360 मिलता है। जाँच: 360/10 = 36, 360/8 = 45, 360/20 = 18, 360/36 = 10, इसलिए 360 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 16, 32, 18, 9 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 16 = 2 x 2 x 2 x 2; 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2; 18 = 2 x 3 x 3; 9 = 3 x 3। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 288 मिलता है। जाँच: 288/16 = 18, 288/32 = 9, 288/18 = 16, 288/9 = 32, इसलिए 288 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 20, 45, 25, 12 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 20 = 2 x 2 x 5; 45 = 3 x 3 x 5; 25 = 5 x 5; 12 = 2 x 2 x 3। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 900 मिलता है। जाँच: 900/20 = 45, 900/45 = 20, 900/25 = 36, 900/12 = 75, इसलिए 900 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 9, 20, 10 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 9 = 3 x 3; 20 = 2 x 2 x 5; 10 = 2 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 180 मिलता है। जाँच: 180/9 = 20, 180/20 = 9, 180/10 = 18, इसलिए 180 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या L है। L को 24, 45, 10, 15 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 24 = 2 x 2 x 2 x 3; 45 = 3 x 3 x 5; 10 = 2 x 5; 15 = 3 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 360 मिलता है। जाँच: 360/24 = 15, 360/45 = 8, 360/10 = 36, 360/15 = 24, इसलिए 360 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लें कि अभीष्ट संख्या L है। L को 9, 36, 45 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए L इनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) है। प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें: 9 = 3 x 3; 36 = 2 x 2 x 3 x 3; 45 = 3 x 3 x 5। प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात लेने पर L = 180 मिलता है। जाँच: 180/9 = 20, 180/36 = 5, 180/45 = 4, इसलिए 180 प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होता है।

मान लें कि अभीष्ट संख्या h है और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतर h से पूरी तरह विभाजित होंगे। 355 – 215 = 140 और 474 – 355 = 119। इसलिए h = H.C.F.(140, 119) = 7। जाँच: 140/7 = 20 और 119/7 = 17, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लें कि अभीष्ट संख्या h है और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतर h से पूरी तरह विभाजित होंगे। 215 – 100 = 115 और 300 – 215 = 85। इसलिए h = H.C.F.(115, 85) = 5। जाँच: 115/5 = 23 और 85/5 = 17, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लें कि अभीष्ट संख्या h है और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतर h से पूरी तरह विभाजित होंगे। 265 – 170 = 95 और 430 – 265 = 165। इसलिए h = H.C.F.(95, 165) = 5। जाँच: 95/5 = 19 और 165/5 = 33, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लें कि अभीष्ट संख्या h है और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतर h से पूरी तरह विभाजित होंगे। 223 – 139 = 84 और 277 – 223 = 54। इसलिए h = H.C.F.(84, 54) = 6। जाँच: 84/6 = 14 और 54/6 = 9, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतरों का h से पूरा-पूरा भाग जाएगा। 275 – 201 = 74 और 386 – 275 = 111। इसलिए h = H.C.F.(74, 111) = 37। जाँच: 74/37 = 2 और 111/37 = 3, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतरों का h से पूरा-पूरा भाग जाएगा। 305 – 153 = 152 और 369 – 305 = 64। इसलिए h = H.C.F.(152, 64) = 8। जाँच: 152/8 = 19 और 64/8 = 8, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतरों का h से पूरा-पूरा भाग जाएगा। 449 – 263 = 186 और 473 – 449 = 24। इसलिए h = H.C.F.(186, 24) = 6। जाँच: 186/6 = 31 और 24/6 = 4, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।