संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.): सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

दो या अधिक भिन्नों का ल.स.प. उनके अंशों के ल.स.प. को उनके हरों के म.स.प. से भाग देने पर मिलता है। उदाहरण के लिए, 2/3 और 4/9 के लिए: ल.स.प.(2,4)=4 और म.स.प.(3,9)=3, इसलिए भिन्नों का ल.स.प. 4/3 है।

दो या अधिक भिन्नों का म.स.प. उनके अंशों के म.स.प. को उनके हरों के ल.स.प. से भाग देने पर मिलता है। उदाहरण के लिए, 2/3 और 4/9 के लिए: म.स.प.(2,4)=2 और ल.स.प.(3,9)=9, इसलिए भिन्नों का म.स.प. 2/9 है।

यूक्लिड विधि में बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार भाग दिया जाता है। फिर छोटी संख्या की जगह उस शेषफल को लिया जाता है और यही प्रक्रिया दोहराई जाती है। यह तब तक चलता है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम गैर-शून्य शेषफल ही महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) होता है। उदाहरण के लिए, 18 और 12 के लिए: 18/12 में शेषफल 6 आता है, फिर 12/6 में शेषफल 0 आता है, इसलिए H.C.F.(18,12) = 6।

ल.स.प. दी गई प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए। इसलिए किसी भी संख्या में आने वाले प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात ल.स.प. में ली जाती है। उदाहरण के लिए, 2^2 x 3 और 2 x 3^3 का ल.स.प. 2^2 x 3^3 है, जिसमें प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की बड़ी घात ली गई है।

जब संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखा जाता है, तो H.C.F. में केवल वे अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं जो सभी संख्याओं में मौजूद हों। ऐसे प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात ली जाती है। उदाहरण के लिए, 2^3 x 3^2 और 2^2 x 3^4 का H.C.F. 2^2 x 3^2 है, जिसमें प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की छोटी घात ली गई है।

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए यह सर्वसमिका हमेशा सही होती है: म.स.प.(a, b) x ल.स.प.(a, b) = a x b। a=4 और b=6 लेकर जाँच कीजिए: म.स.प.(4,6)=2 और ल.स.प.(4,6)=12। 2 x 12 = 24, और 4 x 6 = 24, इसलिए सर्वसमिका सही है।

सह-अभाज्य संख्याओं, जिन्हें परस्पर अभाज्य संख्याएँ भी कहते हैं, में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता। उनका एकमात्र उभयनिष्ठ भाजक 1 होता है। इसलिए परिभाषा के अनुसार उनका H.C.F. 1 होता है। उदाहरण के लिए, 8 और 15 में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए H.C.F.(8, 15) = 1।

हर संख्या 0 को पूरा-पूरा विभाजित करती है, क्योंकि 0 को किसी भी संख्या से भाग देने पर कोई शेष नहीं बचता। n स्वयं को भी पूरा-पूरा विभाजित करता है। इसलिए 0 और n दोनों को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या स्वयं n है। अतः H.C.F.(0, n) = n।

L.C.M. का पूरा नाम Least Common Multiple यानी लघुत्तम समापवर्त्य है। यह वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या से पूरी तरह विभाजित होती है। उदाहरण के लिए, 4 और 6 का L.C.M. 12 है। 12 वह सबसे छोटी संख्या है जो 4 और 6 दोनों से पूरी तरह विभाजित होती है।

H.C.F. का पूरा नाम Highest Common Factor यानी महत्तम समापवर्तक है। यह वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या को पूरा-पूरा विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, 12 और 18 का H.C.F. 6 है। 6 वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को पूरा-पूरा विभाजित करती है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 152 + x को 18, 30 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूरी तरह विभाजित होगा। L.C.M.(18, 30) = 90। 152 को 90 से भाग देने पर: 152/90 = 1 और शेषफल 62। इसलिए x = 90 – 62 = 28। जाँच: 152 + 28 = 180, और 2 x 90 = 180, जो 90 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 5944 + x को 24, 36, 35 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूरी तरह विभाजित होगा। L.C.M.(24, 36, 35) = 2520। 5944 को 2520 से भाग देने पर: 5944/2520 = 2 और शेषफल 904। इसलिए x = 2520 – 904 = 1616। जाँच: 5944 + 1616 = 7560, और 3 x 2520 = 7560, जो 2520 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 389 + x को 20, 32 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूरी तरह विभाजित होगा। L.C.M.(20, 32) = 160। 389 को 160 से भाग देने पर: 389/160 = 2 और शेषफल 69। इसलिए x = 160 – 69 = 91। जाँच: 389 + 91 = 480, और 3 x 160 = 480, जो 160 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 295 + x को 24, 30, 20 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूरी तरह विभाजित होगा। L.C.M.(24, 30, 20) = 120। 295 को 120 से भाग देने पर: 295/120 = 2 और शेषफल 55। इसलिए x = 120 – 55 = 65। जाँच: 295 + 65 = 360, और 3 x 120 = 360, जो 120 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 340 + x को 28, 24, 12 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूर्णतः विभाजित होगा। L.C.M.(28, 24, 12) = 168। 340 को 168 से भाग देने पर: 340/168 = 2 और शेषफल 4। इसलिए x = 168 – 4 = 164। जाँच: 340 + 164 = 504, और 3 x 168 = 504, जो 168 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 114 + x को 24, 18, 12 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूर्णतः विभाजित होगा। L.C.M.(24, 18, 12) = 72। 114 को 72 से भाग देने पर: 114/72 = 1 और शेषफल 42। इसलिए x = 72 – 42 = 30। जाँच: 114 + 30 = 144, और 2 x 72 = 144, जो 72 का पूर्ण गुणज है।

मान लीजिए जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 190 + x को 20, 36 में से प्रत्येक से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य से भी पूरी तरह विभाजित होगा। ल.स.प.(20, 36) = 180। 190 को 180 से भाग देने पर: 190/180 = 1 और शेषफल 10। इसलिए x = 180 – 10 = 170। जाँच: 190 + 170 = 360, और 2 x 180 = 360, जो 180 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि जोड़ी जाने वाली संख्या x है। 1917 + x को 24, 28, 40 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह इनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) से भी पूर्णतः विभाजित होगा। L.C.M.(24, 28, 40) = 840। 1917 को 840 से भाग देने पर: 1917/840 = 2 और शेषफल 237। इसलिए x = 840 – 237 = 603। जाँच: 1917 + 603 = 2520, और 3 x 840 = 2520, जो 840 का पूर्ण गुणज है।

मान लें कि संख्याएँ 57 और 43 हैं तथा उनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 2451 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 57 x 43 = 2451। इसलिए H.C.F. = 2451 / 2451 = 1। जाँच: 1 x 2451 = 2451, जो 57 x 43 = 2451 के बराबर है।

मान लें कि संख्याएँ 69 और 42 हैं तथा उनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 966 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 69 x 42 = 2898। इसलिए H.C.F. = 2898 / 966 = 3। जाँच: 3 x 966 = 2898, जो 69 x 42 = 2898 के बराबर है।

मान लें कि संख्याएँ 30 और 17 हैं तथा उनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 510 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 30 x 17 = 510। इसलिए H.C.F. = 510 / 510 = 1। जाँच: 1 x 510 = 510, जो 30 x 17 = 510 के बराबर है।

मान लें कि संख्याएँ 23 और 26 हैं तथा उनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 23 x 26 = 598। इसलिए L.C.M. = 598 / 1 = 598। जाँच: 1 x 598 = 598, जो 23 x 26 = 598 के बराबर है।

मान लें कि संख्याएँ 18 और 50 हैं तथा उनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 2 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 18 x 50 = 900। इसलिए L.C.M. = 900 / 2 = 450। जाँच: 2 x 450 = 900, जो 18 x 50 = 900 के बराबर है।

मान लें कि संख्याएँ 59 और 54 हैं तथा उनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 3186 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 59 x 54 = 3186। इसलिए H.C.F. = 3186 / 3186 = 1। जाँच: 1 x 3186 = 3186, जो 59 x 54 = 3186 के बराबर है।

मान लें कि संख्याएँ 78 और 81 हैं तथा उनका लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 2106 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, H.C.F. x L.C.M. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 78 x 81 = 6318। इसलिए H.C.F. = 6318 / 2106 = 3। जाँच: 3 x 2106 = 6318, जो 78 x 81 = 6318 के बराबर है।