करणी और घातांक: सूत्र, आसान तरीके और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 2)

यहाँ करणी 34 का 5वाँ मूल है, जिसे 5√34 लिखा गया है। परिभाषा के अनुसार, करणी की कोटि मूल चिह्न पर लिखा सूचकांक होती है। इस मामले में सूचकांक 5 है। इसलिए करणी की कोटि 5 है।

यहाँ समीकरण (4)^y = 16 है। 4 और 16 दोनों का अभाज्य आधार समान है: 4 = 2^2 और 16 = 2^4। मान रखने पर (2^2)^y = 2^4 मिलता है। नियम (a^m)^n = a^(mn) के अनुसार, बायाँ पक्ष 2^(2y) बन जाता है। समान आधारों के घातांक बराबर रखने पर: 2y = 4। इसलिए y = 4 ÷ 2 = 2। जाँच: (4)^2 = 16।

यहाँ समीकरण (16)^y = 16 है। दोनों पक्षों में 16 को एक ही अभाज्य आधार के रूप में लिख सकते हैं: 16 = 2^4 और 16 = 2^4। मान रखने पर मिलता है: (2^4)^y = 2^4। नियम (a^m)^n = a^(mn) के अनुसार बायाँ पक्ष 2^(4y) हो जाता है। समान आधारों के घातांक बराबर करने पर: 4y = 4। इसलिए y = 4 ÷ 4 = 1। जाँच: (16)^1 = 16।

यहाँ समीकरण (625)^y = 625 है। दोनों पक्षों में 625 को एक ही अभाज्य आधार के रूप में लिख सकते हैं: 625 = 5^4 और 625 = 5^4। मान रखने पर मिलता है: (5^4)^y = 5^4। नियम (a^m)^n = a^(mn) के अनुसार बायाँ पक्ष 5^(4y) हो जाता है। समान आधारों के घातांक बराबर करने पर: 4y = 4। इसलिए y = 4 ÷ 4 = 1। जाँच: (625)^1 = 625।

यहाँ समीकरण (81)^y = 81 है। दोनों पक्षों में 81 को एक ही अभाज्य आधार के रूप में लिख सकते हैं: 81 = 3^4 और 81 = 3^4। मान रखने पर मिलता है: (3^4)^y = 3^4। नियम (a^m)^n = a^(mn) के अनुसार बायाँ पक्ष 3^(4y) हो जाता है। समान आधारों के घातांक बराबर करने पर: 4y = 4। इसलिए y = 4 ÷ 4 = 1। जाँच: (81)^1 = 81।

यहाँ समीकरण (9)^y = 9 है। दोनों पक्षों में 9 को एक ही अभाज्य आधार के रूप में लिख सकते हैं: 9 = 3^2 और 9 = 3^2। मान रखने पर मिलता है: (3^2)^y = 3^2। नियम (a^m)^n = a^(mn) के अनुसार बायाँ पक्ष 3^(2y) हो जाता है। समान आधारों के घातांक बराबर करने पर: 2y = 2। इसलिए y = 2 ÷ 2 = 1। जाँच: (9)^1 = 9।

यहाँ (4)^x = 16 है और हमें x ज्ञात करना है। 16 को 4 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 16 = 4^2। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 2। जाँच: 4^2 = 16, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (3)^x = 729 है और हमें x ज्ञात करना है। 729 को 3 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 729 = 3^6। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 6। जाँच: 3^6 = 729, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (4)^x = 262144 है और हमें x ज्ञात करना है। 262144 को 4 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 262144 = 4^9। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 9। जाँच: 4^9 = 262144, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (8)^x = 512 है और हमें x ज्ञात करना है। 512 को 8 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 512 = 8^3। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 3। जाँच: 8^3 = 512, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (3)^x = 243 है और हमें x ज्ञात करना है। 243 को 3 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 243 = 3^5। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 5। जाँच: 3^5 = 243, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (7)^x = 2401 है और हमें x ज्ञात करना है। 7 को बार-बार स्वयं से गुणा करके 2401 लिखने पर मिलता है: 2401 = 7^4। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 4। जाँच: 7^4 = 2401, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (8)^x = 64 है और हमें x ज्ञात करना है। 64 को 8 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 64 = 8^2। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 2। जाँच: 8^2 = 64, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (6)^x = 7776 है और हमें x ज्ञात करना है। 7776 को 6 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 7776 = 6^5। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 5। जाँच: 6^5 = 7776, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (3)^x = 2187 है और हमें x ज्ञात करना है। 2187 को 3 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 2187 = 3^7। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 7। जाँच: 3^7 = 2187, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

यहाँ (10)^x = 1000000 है और हमें x ज्ञात करना है। 1000000 को 10 के बार-बार गुणा के रूप में लिखने पर मिलता है: 1000000 = 10^6। अब दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। अतः x = 6। जाँच: 10^6 = 1000000, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है।

Here the base is 16, with exponents 17, 16, and 13. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 17 + 16 – 13 = 20. The expression simplifies to (16)^20.

यहाँ आधार 10 है और घातांक 10, 12 तथा 20 हैं। गुणा करते समय आधार वही रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगले पद का घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 10 + 12 – 20 = 2 है। व्यंजक का सरल रूप (10)^2 है।

Here the base is 10, with exponents 13, 12, and 24. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 13 + 12 – 24 = 1. The expression simplifies to (10)^1.

Here the base is 14, with exponents 18, 19, and 16. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 18 + 19 – 16 = 21. The expression simplifies to (14)^21.

Here the base is 16, with exponents 19, 20, and 22. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 19 + 20 – 22 = 17. The expression simplifies to (16)^17.

Here the base is 19, with exponents 12, 12, and 15. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 12 + 12 – 15 = 9. The expression simplifies to (19)^9.

Here the base is 20, with exponents 11, 11, and 18. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 11 + 11 – 18 = 4. The expression simplifies to (20)^4.

Here the base is 14, with exponents 12, 5, and 15. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 12 + 5 – 15 = 2. The expression simplifies to (14)^2.

Here the base is 3, with exponents 5, 12, and 14. Multiplying keeps the same base and adds exponents: a^m x a^n = a^(m+n). Dividing then subtracts the next exponent: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p). So the exponent is 5 + 12 – 14 = 3. The expression simplifies to (3)^3.