करणी और घातांक: सूत्र, आसान तरीके और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

यहाँ आधार 2 है और घातांक 5, 4 और 7 हैं। गुणा करते समय आधार वही रहता है और घातांक जुड़ जाते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगले घातांक को घटाया जाता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 5 + 4 – 7 = 2 है। व्यंजक का मान 2^2 है, जो 4 के बराबर है। जाँच: 2^2 = 4।

यहाँ आधार 2 है और घातांक 2, 3 और 4 हैं। गुणा करते समय आधार वही रहता है और घातांक जुड़ जाते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगले घातांक को घटाया जाता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 2 + 3 – 4 = 1 है। व्यंजक का मान 2^1 है, जो 2 के बराबर है। जाँच: 2^1 = 2।

यहाँ करणी 33 का 5वाँ मूल है, जिसे 5√33 लिखा गया है। परिभाषा के अनुसार, करणी की कोटि मूल चिह्न पर लिखा सूचकांक होती है। इस मामले में सूचकांक 5 है। इसलिए करणी की कोटि 5 है।

Here the base is 14, with exponents 11 and 4. The law a^m ÷ a^n = a^(m-n) applies for any base a. So the exponents subtract: 11 – 4 = 7. The expression simplifies to (14)^7.

यहाँ आधार 3 है और घातांक 7, 4 और 10 हैं। गुणा करते समय आधार समान रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगला घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 7 + 4 – 10 = 1 है। व्यंजक 3^1 के बराबर है, जिसका मान 3 है। जाँच: 3^1 = 3।

यहाँ आधार 2 है और घातांक 9, 4 और 7 हैं। गुणा करते समय आधार समान रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगला घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 9 + 4 – 7 = 6 है। व्यंजक 2^6 के बराबर है, जिसका मान 64 है। जाँच: 2^6 = 64।

यहाँ आधार 2 है और घातांक 7, 10 और 13 हैं। गुणा करते समय आधार समान रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगला घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 7 + 10 – 13 = 4 है। व्यंजक 2^4 के बराबर है, जिसका मान 16 है। जाँच: 2^4 = 16।

यहाँ आधार 2 है और घातांक 3, 6 और 2 हैं। गुणा करते समय आधार समान रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगला घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 3 + 6 – 2 = 7 है। व्यंजक 2^7 के बराबर है, जिसका मान 128 है। जाँच: 2^7 = 128।

यहाँ आधार 3 है और घातांक 2, 3 और 3 हैं। गुणा करते समय आधार समान रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगला घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 2 + 3 – 3 = 2 है। व्यंजक 3^2 के बराबर है, जिसका मान 9 है। जाँच: 3^2 = 9।

यहाँ आधार 2 है और घातांक 7, 4 और 5 हैं। गुणा करते समय आधार समान रहता है और घातांक जुड़ते हैं: a^m x a^n = a^(m+n)। फिर भाग देने पर अगला घातांक घटता है: a^(m+n) ÷ a^p = a^(m+n-p)। इसलिए घातांक 7 + 4 – 5 = 6 है। व्यंजक 2^6 के बराबर है, जिसका मान 64 है। जाँच: 2^6 = 64।

नियम (a/b)^n = a^n / b^n किसी भी आधार a, b (जहाँ b शून्येतर है) और घातांक n के लिए लागू होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भागफल की घात निकालने का अर्थ उस भागफल को स्वयं से n बार गुणा करना है। अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ रखने पर a^n / b^n मिलता है। संख्याओं से जाँचें: (6/2)^2 = 3^2 = 9, और 6^2 / 2^2 = 36/4 = 9। दोनों परिणाम समान हैं।

नियम (ab)^n = a^n x b^n किसी भी आधार a, b और घातांक n के लिए लागू होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी गुणनफल की घात निकालने का अर्थ उस गुणनफल को स्वयं से n बार गुणा करना है। सभी a को एक साथ और सभी b को एक साथ रखने पर a^n x b^n मिलता है। संख्याओं से जाँचें: (2×3)^2 = 6^2 = 36, और 2^2 x 3^2 = 4 x 9 = 36। दोनों परिणाम समान हैं।

करणी (Surd) एक विशेष प्रकार की अपरिमेय संख्या है। यह किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल या घनमूल जैसा मूल निकालने से बनती है। इस मूल को सरल करने पर परिमेय संख्या नहीं मिलनी चाहिए। उदाहरण के लिए, √2 एक करणी है, क्योंकि 2 परिमेय है लेकिन √2 अपरिमेय है। वहीं, √4 = 2 करणी नहीं है, क्योंकि इसे सरल करने पर परिमेय संख्या मिलती है।

हर व्यंजक का मान अलग-अलग निकालें। 4¹ = 4, क्योंकि किसी भी संख्या की घात 1 का मान वही संख्या होता है। 1⁴ = 1 x 1 x 1 x 1 = 1। 4⁰ = 1, क्योंकि किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 का मान 1 होता है। 0⁴ = 0 x 0 x 0 x 0 = 0। चारों परिणामों की तुलना करने पर केवल 1⁴ और 4⁰ का मान समान, अर्थात 1 है।

नियम a^0 = 1 किसी भी शून्येतर आधार a के लिए लागू होता है। इसका कारण इस तरह समझ सकते हैं: घातांकों के घटाव के नियम से a^n ÷ a^n = a^(n-n) = a^0। लेकिन a^n ÷ a^n का मान 1 भी होता है, क्योंकि किसी भी शून्येतर संख्या को उसी से भाग देने पर 1 मिलता है। इसलिए a^0 का मान 1 होना चाहिए।

Here √3 x √3 needs simplifying, and 3 and 3 are equal here. The law √a x √b = √(ab) applies for non-negative a and b. So √3 x √3 = √9. Since 9 = 3 x 3 is a perfect square, √9 = 3. Check: 3 x 3 = 9, which equals 9.

Here √2 x √2 needs simplifying, and 2 and 2 are equal here. The law √a x √b = √(ab) applies for non-negative a and b. So √2 x √2 = √4. Since 4 = 2 x 2 is a perfect square, √4 = 2. Check: 2 x 2 = 4, which equals 4.

Here √32 x √32 needs simplifying, and 32 and 32 are equal here. The law √a x √b = √(ab) applies for non-negative a and b. So √32 x √32 = √1024. Since 1024 = 32 x 32 is a perfect square, √1024 = 32. Check: 32 x 32 = 1024, which equals 1024.

Here √18 x √18 needs simplifying, and 18 and 18 are equal here. The law √a x √b = √(ab) applies for non-negative a and b. So √18 x √18 = √324. Since 324 = 18 x 18 is a perfect square, √324 = 18. Check: 18 x 18 = 324, which equals 324.

यहाँ √5 x √5 को सरल करना है, और यहाँ 5 और 5 बराबर हैं। गैर-ऋणात्मक a और b के लिए √a x √b = √(ab) का नियम लागू होता है। इसलिए √5 x √5 = √25। चूँकि 25 = 5 x 5 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए √25 = 5। जाँच: 5 x 5 = 25, जो 25 के बराबर है।

Here √7 x √7 needs simplifying, and 7 and 7 are equal here. The law √a x √b = √(ab) applies for non-negative a and b. So √7 x √7 = √49. Since 49 = 7 x 7 is a perfect square, √49 = 7. Check: 7 x 7 = 49, which equals 49.

यहाँ करणी 40 का 5वाँ मूल है, जिसे 5√40 लिखा गया है। परिभाषा के अनुसार, करणी की कोटि मूल चिह्न पर लिखा सूचकांक होती है। इस मामले में सूचकांक 5 है। इसलिए करणी की कोटि 5 है।

यहाँ करणी 24 का 5वाँ मूल है, जिसे 5√24 लिखा गया है। परिभाषा के अनुसार, करणी की कोटि मूल चिह्न पर लिखा सूचकांक होती है। इस मामले में सूचकांक 5 है। इसलिए करणी की कोटि 5 है।

यहाँ करणी 45 का 4वाँ मूल है, जिसे 4√45 लिखा गया है। परिभाषा के अनुसार, करणी की कोटि मूल चिह्न पर लिखा सूचकांक होती है। इस मामले में सूचकांक 4 है। इसलिए करणी की कोटि 4 है।

यहाँ करणी 19 का 6वाँ मूल है, जिसे 6√19 लिखा गया है। परिभाषा के अनुसार, करणी की कोटि मूल चिह्न पर लिखा सूचकांक होती है। इस मामले में सूचकांक 6 है। इसलिए करणी की कोटि 6 है।