संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.): सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 4)

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h और समान शेषफल r है। चूँकि तीनों संख्याओं को भाग देने पर समान शेषफल r बचता है, इसलिए उनके जोड़ों के अंतरों का h से पूरा-पूरा भाग जाएगा। 283 – 235 = 48 और 319 – 283 = 36। इसलिए h = H.C.F.(48, 36) = 12। जाँच: 48/12 = 4 और 36/12 = 3, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 724 – 12 = 712 और 770 – 18 = 752। h से दोनों अंतरों का पूरा-पूरा भाग जाना चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(712, 752)। यह महत्तम समापवर्तक 8 है। जाँच: 712/8 = 89 और 752/8 = 94, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 703 – 8 = 695 और 752 – 17 = 735। h से दोनों अंतरों का पूरा-पूरा भाग जाना चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(695, 735)। यह महत्तम समापवर्तक 5 है। जाँच: 695/5 = 139 और 735/5 = 147, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए कि अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 872 – 7 = 865 और 920 – 15 = 905। h से दोनों अंतरों का पूरा-पूरा भाग जाना चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(865, 905)। यह महत्तम समापवर्तक 5 है। जाँच: 865/5 = 173 और 905/5 = 181, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 473 – 18 = 455 और 499 – 4 = 495। h से दोनों अंतर पूरी तरह विभाजित होने चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(455, 495)। यह महत्तम समापवर्तक 5 है। जाँच: 455/5 = 91 और 495/5 = 99, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 287 – 17 = 270 और 326 – 16 = 310। h से दोनों अंतर पूरी तरह विभाजित होने चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(270, 310)। यह महत्तम समापवर्तक 10 है। जाँच: 270/10 = 27 और 310/10 = 31, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 818 – 8 = 810 और 855 – 5 = 850। h से दोनों अंतर पूरी तरह विभाजित होने चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(810, 850)। यह महत्तम समापवर्तक 10 है। जाँच: 810/10 = 81 और 850/10 = 85, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 807 – 17 = 790 और 839 – 9 = 830। h से दोनों अंतर पूरी तरह विभाजित होने चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(790, 830)। यह महत्तम समापवर्तक 10 है। जाँच: 790/10 = 79 और 830/10 = 83, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

मान लीजिए अभीष्ट संख्या h है। पहले प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाएँ: 443 – 11 = 432 और 487 – 15 = 472। h से दोनों अंतर पूरी तरह विभाजित होने चाहिए, इसलिए h = H.C.F.(432, 472)। यह महत्तम समापवर्तक 8 है। जाँच: 432/8 = 54 और 472/8 = 59, दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं।

दिए गए प्रत्येक युग्म का H.C.F. जाँचिए। (13, 49) के लिए: H.C.F.(13, 49) = 1। चूँकि इनका H.C.F. 1 है, इसलिए (13, 49) सह-अभाज्य हैं। अन्य युग्मों में 1 से बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है: (11,55) का H.C.F. 11 है; (56,24) का H.C.F. 8 है; (38,54) का H.C.F. 2 है। इसलिए केवल (13, 49) सह-अभाज्य युग्म है।

मान लीजिए भिन्न 285/437 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(285, 437) = 19। अंश और हर दोनों को 19 से भाग दीजिए: 285/19 = 15 और 437/19 = 23। इसलिए 285/437 का सरलतम रूप 15/23 है। जाँच: H.C.F.(15, 23) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लीजिए भिन्न 434/837 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(434, 837) = 31। अंश और हर दोनों को 31 से भाग दीजिए: 434/31 = 14 और 837/31 = 27। इसलिए 434/837 का सरलतम रूप 14/27 है। जाँच: H.C.F.(14, 27) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लीजिए भिन्न 242/660 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(242, 660) = 22। अंश और हर दोनों को 22 से भाग दीजिए: 242/22 = 11 और 660/22 = 30। इसलिए 242/660 का सरलतम रूप 11/30 है। जाँच: H.C.F.(11, 30) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लीजिए भिन्न 234/975 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(234, 975) = 39। अंश और हर दोनों को 39 से भाग दीजिए: 234/39 = 6 और 975/39 = 25। इसलिए 234/975 का सरलतम रूप 6/25 है। जाँच: H.C.F.(6, 25) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लीजिए भिन्न 114/126 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(114, 126) = 6। अंश और हर दोनों को 6 से भाग दीजिए: 114/6 = 19 और 126/6 = 21। इसलिए 114/126 का सरलतम रूप 19/21 है। जाँच: H.C.F.(19, 21) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लीजिए भिन्न 36/42 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(36, 42) = 6। अंश और हर दोनों को 6 से भाग दीजिए: 36/6 = 6 और 42/6 = 7। इसलिए 36/42 का सरलतम रूप 6/7 है। जाँच: H.C.F.(6, 7) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लीजिए भिन्न 42/156 है। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात कीजिए: H.C.F.(42, 156) = 6। अंश और हर दोनों को 6 से भाग दीजिए: 42/6 = 7 और 156/6 = 26। इसलिए 42/156 का सरलतम रूप 7/26 है। जाँच: H.C.F.(7, 26) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लें कि भिन्न 360/660 है। अंश और हर का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें: H.C.F.(360, 660) = 60। दोनों को 60 से भाग दें: 360/60 = 6 और 660/60 = 11। इसलिए 360/660 का सरलतम रूप 6/11 है। जाँच: H.C.F.(6, 11) = 1, जिससे पुष्टि होती है कि भिन्न सरलतम रूप में है।

मान लें कि भिन्न 17/21 और 14/5 हैं। भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य = अंशों का लघुत्तम समापवर्त्य / हरों का महत्तम समापवर्तक। अंशों का लघुत्तम समापवर्त्य: L.C.M.(17, 14) = 238। हरों का महत्तम समापवर्तक: H.C.F.(21, 5) = 1। इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 238/1 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से भाग देने पर 238/1 मिलता है। जाँच: 238 x 1 = 238 और 1 x 1 = 1, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें कि भिन्न 27/28 और 11/22 हैं। भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = अंशों का महत्तम समापवर्तक / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य। अंशों का महत्तम समापवर्तक: H.C.F.(27, 11) = 1। हरों का लघुत्तम समापवर्त्य: L.C.M.(28, 22) = 308। इसलिए महत्तम समापवर्तक 1/308 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से भाग देने पर 1/308 मिलता है। जाँच: 1 x 1 = 1 और 308 x 1 = 308, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें कि भिन्न 9/11 और 19/21 हैं। भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = अंशों का महत्तम समापवर्तक / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य। अंशों का महत्तम समापवर्तक: H.C.F.(9, 19) = 1। हरों का लघुत्तम समापवर्त्य: L.C.M.(11, 21) = 231। इसलिए महत्तम समापवर्तक 1/231 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से भाग देने पर 1/231 मिलता है। जाँच: 1 x 1 = 1 और 231 x 1 = 231, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें कि भिन्न 17/19 और 11/8 हैं। भिन्नों का महत्तम समापवर्तक = अंशों का महत्तम समापवर्तक / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य। अंशों का महत्तम समापवर्तक: H.C.F.(17, 11) = 1। हरों का लघुत्तम समापवर्त्य: L.C.M.(19, 8) = 152। इसलिए महत्तम समापवर्तक 1/152 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से भाग देने पर 1/152 मिलता है। जाँच: 1 x 1 = 1 और 152 x 1 = 152, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें कि भिन्न 6/11 और 20/28 हैं। भिन्नों के लिए, H.C.F. = अंशों का H.C.F. / हरों का L.C.M.। अंशों का H.C.F.: H.C.F.(6, 20) = 2। हरों का L.C.M.: L.C.M.(11, 28) = 308। इसलिए H.C.F. 2/308 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से भाग देने पर 1/154 मिलता है। जाँच: 1 x 2 = 2 और 154 x 2 = 308, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें कि भिन्न 3/22 और 8/24 हैं। भिन्नों के लिए, L.C.M. = अंशों का L.C.M. / हरों का H.C.F.। अंशों का L.C.M.: L.C.M.(3, 8) = 24। हरों का H.C.F.: H.C.F.(22, 24) = 2। इसलिए L.C.M. 24/2 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से भाग देने पर 12/1 मिलता है। जाँच: 12 x 2 = 24 और 1 x 2 = 2, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें कि भिन्न 5/19 और 3/13 हैं। भिन्नों के लिए, H.C.F. = अंशों का H.C.F. / हरों का L.C.M.। अंशों का H.C.F.: H.C.F.(5, 3) = 1। हरों का L.C.M.: L.C.M.(19, 13) = 247। इसलिए H.C.F. 1/247 है। अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से भाग देने पर 1/247 मिलता है। जाँच: 1 x 1 = 1 और 247 x 1 = 247, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।