संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.): सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 2)

मान लीजिए संख्याएँ 48 और 82 हैं और उनका महत्तम समापवर्तक 2 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, म.स.प. x ल.स.प. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 48 x 82 = 3936। इसलिए ल.स.प. = 3936 / 2 = 1968। जाँच: 2 x 1968 = 3936, जो 48 x 82 = 3936 के बराबर है।

मान लीजिए संख्याएँ 67 और 33 हैं, जिनका म.स.प. 1 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, म.स.प. x ल.स.प. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 67 x 33 = 2211। इसलिए ल.स.प. = 2211 / 1 = 2211। जाँच: 1 x 2211 = 2211, जो 67 x 33 = 2211 के बराबर है।

मान लीजिए संख्याएँ 66 और 26 हैं, जिनका ल.स.प. 858 है। किन्हीं दो संख्याओं के लिए, म.स.प. x ल.स.प. = संख्याओं का गुणनफल। गुणनफल: 66 x 26 = 1716। इसलिए म.स.प. = 1716 / 858 = 2। जाँच: 2 x 858 = 1716, जो 66 x 26 = 1716 के बराबर है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 36, 72, 90 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 36 = 2 x 2 x 3 x 3; 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3; 90 = 2 x 3 x 3 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 360 सेकंड मिलता है। जाँच: 360/36 = 10, 360/72 = 5, 360/90 = 4, इसलिए 360 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 60, 15, 20 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 60 = 2 x 2 x 3 x 5; 15 = 3 x 5; 20 = 2 x 2 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 60 सेकंड मिलता है। जाँच: 60/60 = 1, 60/15 = 4, 60/20 = 3, इसलिए 60 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

वे सभी शून्य समय पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक लाइट क्रमशः हर 15, 30, 45 सेकंड बाद बदलती है। वे अगली बार इन समयांतरालों के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर समय बाद एक साथ बदलेंगी। प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड कीजिए: 15 = 3 x 5; 30 = 2 x 3 x 5; 45 = 3 x 3 x 5। प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 90 सेकंड मिलता है। जाँच: 90/15 = 6, 90/30 = 3, 90/45 = 2, इसलिए 90 सेकंड प्रत्येक समयांतराल से पूरी तरह विभाजित होता है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 72, 48, 24, 45 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3; 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3; 24 = 2 x 2 x 2 x 3; 45 = 3 x 3 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 720 सेकंड मिलता है। जाँच: 720/72 = 10, 720/48 = 15, 720/24 = 30, 720/45 = 16, इसलिए 720 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 20, 30, 15, 54 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 20 = 2 x 2 x 5; 30 = 2 x 3 x 5; 15 = 3 x 5; 54 = 2 x 3 x 3 x 3। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 540 सेकंड मिलता है। जाँच: 540/20 = 27, 540/30 = 18, 540/15 = 36, 540/54 = 10, इसलिए 540 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 72, 48, 15, 40 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3; 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3; 15 = 3 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 720 सेकंड मिलता है। जाँच: 720/72 = 10, 720/48 = 15, 720/15 = 48, 720/40 = 18, इसलिए 720 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 60, 24, 20, 72 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 60 = 2 x 2 x 3 x 5; 24 = 2 x 2 x 2 x 3; 20 = 2 x 2 x 5; 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 360 सेकंड मिलता है। जाँच: 360/60 = 6, 360/24 = 15, 360/20 = 18, 360/72 = 5, इसलिए 360 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

वे सभी समय शून्य पर एक साथ शुरू होती हैं। प्रत्येक क्रमशः 54, 20, 15, 48 सेकंड बाद दोहराती है। वे अगली बार इन अंतरालों के ल.स.प. के बराबर समय बाद एक साथ होंगी। प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 54 = 2 x 3 x 3 x 3; 20 = 2 x 2 x 5; 15 = 3 x 5; 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3। प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेने पर ल.स.प. = 2160 सेकंड मिलता है। जाँच: 2160/54 = 40, 2160/20 = 108, 2160/15 = 144, 2160/48 = 45, इसलिए 2160 सेकंड प्रत्येक अंतराल से पूर्णतः विभाज्य है।

मान लीजिए 21, 24, 15 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(21, 24, 15) = 840। 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 है। 1000 को 840 से भाग देने पर शेषफल 160 बचता है। 840 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 680 और जोड़ने होंगे: 1000 + 680 = 1680। जाँच: 1680/840 = 2, जो एक पूर्ण संख्या है, और 1680 >= 1000।

मान लीजिए 32, 35, 28 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(32, 35, 28) = 1120। 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है। 10000 को 1120 से भाग देने पर शेषफल 1040 बचता है। 1120 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 80 और जोड़ने होंगे: 10000 + 80 = 10080। जाँच: 10080/1120 = 9, जो एक पूर्ण संख्या है, और 10080 >= 10000।

मान लीजिए 40, 21 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(40, 21) = 840। 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 है। 1000 को 840 से भाग देने पर शेषफल 160 बचता है। 840 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 680 और जोड़ने होंगे: 1000 + 680 = 1680। जाँच: 1680/840 = 2, जो एक पूर्ण संख्या है, और 1680 >= 1000।

मान लीजिए 24, 32, 36 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(24, 32, 36) = 288। 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 है। 1000 को 288 से भाग देने पर शेषफल 136 बचता है। 288 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 152 और जोड़ने होंगे: 1000 + 152 = 1152। जाँच: 1152/288 = 4, जो एक पूर्ण संख्या है, और 1152 >= 1000।

मान लीजिए 28, 45, 15 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(28, 45, 15) = 1260। 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है। 10000 को 1260 से भाग देने पर शेषफल 1180 बचता है। 1260 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 80 और जोड़ने होंगे: 10000 + 80 = 10080। जाँच: 10080/1260 = 8, जो एक पूर्ण संख्या है, और 10080 >= 10000।

मान लीजिए L, 24, 36, 12 का लघुत्तम समापवर्त्य है। ल.स.प.(24, 36, 12) = 72। 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 है। 1000 को 72 से भाग देने पर शेषफल 64 मिलता है। 72 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 8 और जोड़ना होगा: 1000 + 8 = 1008। जाँच: 1008/72 = 14, जो एक पूर्ण संख्या है, और 1008 >= 1000।

मान लीजिए 35, 45 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(35, 45) = 315। 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है। 10000 को 315 से भाग देने पर शेषफल 235 बचता है। 315 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 80 और जोड़ने होंगे: 10000 + 80 = 10080। जाँच: 10080/315 = 32, जो एक पूर्ण संख्या है, और 10080 >= 10000।

मान लीजिए 32, 15, 12 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(32, 15, 12) = 480। 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है। 10000 को 480 से भाग देने पर शेषफल 400 बचता है। 480 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 80 और जोड़ने होंगे: 10000 + 80 = 10080। जाँच: 10080/480 = 21, जो एक पूर्ण संख्या है, और 10080 >= 10000।

मान लीजिए 15, 28 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(15, 28) = 420। 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 420 से भाग देने पर: 9999/420 = 23 और शेषफल 339। यह शेषफल घटाने पर 420 का सबसे बड़ा 4 अंकों वाला गुणज मिलता है: 9999 – 339 = 9660। जाँच: 9660/420 = 23, जो एक पूर्ण संख्या है, और 9660 <= 9999.

मान लीजिए 45, 35, 24 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(45, 35, 24) = 2520। 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 2520 से भाग देने पर: 9999/2520 = 3 और शेषफल 2439। यह शेषफल घटाने पर 2520 का सबसे बड़ा 4 अंकों वाला गुणज मिलता है: 9999 – 2439 = 7560। जाँच: 7560/2520 = 3, जो एक पूर्ण संख्या है, और 7560 <= 9999.

मान लीजिए 24, 32 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(24, 32) = 96। 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 99999 को 96 से भाग देने पर: 99999/96 = 1041 और शेषफल 63। यह शेषफल घटाने पर 96 का सबसे बड़ा 5 अंकों वाला गुणज मिलता है: 99999 – 63 = 99936। जाँच: 99936/96 = 1041, जो एक पूर्ण संख्या है, और 99936 <= 99999.

मान लीजिए 28, 45 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(28, 45) = 1260। 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 1260 से भाग देने पर: 9999/1260 = 7 और शेषफल 1179। यह शेषफल घटाने पर 1260 का सबसे बड़ा 4 अंकों वाला गुणज मिलता है: 9999 – 1179 = 8820। जाँच: 8820/1260 = 7, जो एक पूर्ण संख्या है, और 8820 <= 9999.

मान लीजिए L, 24, 21 का लघुत्तम समापवर्त्य है। ल.स.प.(24, 21) = 168। 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 168 से भाग देने पर: 9999/168 = 59 और शेषफल 87। यह शेषफल घटाने पर 168 का सबसे बड़ा 4 अंकों वाला गुणज मिलता है: 9999 – 87 = 9912। जाँच: 9912/168 = 59, जो एक पूर्ण संख्या है, और 9912 <= 9999।

मान लीजिए 12, 15 का ल.स.प. L है। ल.स.प.(12, 15) = 60। 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 99999 को 60 से भाग देने पर: 99999/60 = 1666 और शेषफल 39। यह शेषफल घटाने पर 60 का सबसे बड़ा 5 अंकों वाला गुणज मिलता है: 99999 – 39 = 99960। जाँच: 99960/60 = 1666, जो एक पूर्ण संख्या है, और 99960 <= 99999.