कैलेंडर: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

विषम-दिन विधि में 0 से 6 तक के हर शेषफल को सप्ताह के एक दिन से जोड़ा जाता है। मानक पद्धति में गिनती रविवार से शुरू होती है। इसलिए शेषफल 0 का अर्थ रविवार, 1 का सोमवार, 2 का मंगलवार और इसी तरह आगे होता है। गिनती शेषफल 6 तक जाती है, जिसका अर्थ शनिवार है। जाँच: इस तरह सप्ताह के 7 दिनों के लिए ठीक 7 शेषफल (0 से 6 तक) मिलते हैं।

जो वर्ष 100 का गुणज होता है, उसे शताब्दी वर्ष कहते हैं। जो वर्ष 100 का गुणज नहीं होता, उसे गैर-शताब्दी वर्ष कहते हैं। गैर-शताब्दी वर्ष पर /400 की जाँच लागू नहीं होती। ऐसा वर्ष तभी अधिवर्ष होता है जब वह 4 से विभाज्य हो। उदाहरण से जाँचें: 2024, 100 का गुणज नहीं है और 2024 ÷ 4 = 506 पूरी तरह विभाजित होता है, इसलिए 2024 एक अधिवर्ष है।

जो वर्ष 100 से विभाजित नहीं होता, वह 4 से विभाजित होने पर लीप वर्ष होता है। शताब्दी वर्ष (जो 100 से विभाजित होता है) तभी लीप वर्ष होता है, जब वह 400 से भी विभाजित हो। यहाँ चारों विकल्प — 2000, 1900, 2100, 1800 — शताब्दी वर्ष हैं, इसलिए हर विकल्प का निर्णय 400 से विभाज्यता की जाँच से होगा। 2000 ÷ 400 = 5 आता है, इसलिए 2000, 400 से पूरी तरह विभाजित होता है और लीप वर्ष है। 1800 ÷ 400 = 4.5, 1900 ÷ 400 = 4.75 और 2100 ÷ 400 = 5.25 — इनमें से कोई भी पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए 1800, 1900 और 2100, 400 से पूरी तरह विभाजित नहीं होते और इनमें से कोई भी लीप वर्ष नहीं है।

एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं, इसलिए पूरे सप्ताह के बाद सप्ताह का दिन नहीं बदलता है। एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं, यानी 29 फरवरी के कारण साधारण वर्ष से एक दिन अधिक। 366 ÷ 7 = 52 और शेष 2, इसलिए 366 दिन = 52 पूरे सप्ताह (364 दिन) और 2 अतिरिक्त दिन। इसलिए एक लीप वर्ष में ठीक 2 विषम दिन होते हैं। जाँच: 52×7 + 2 = 366, जो सही है।

एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं, इसलिए पूरे सप्ताह के बाद सप्ताह का दिन नहीं बदलता है। एक साधारण वर्ष में 365 दिन होते हैं। 365 ÷ 7 = 52 और शेष 1, इसलिए 365 दिन = 52 पूरे सप्ताह (364 दिन) और 1 अतिरिक्त दिन। इस बचे हुए 1 दिन को विषम दिन कहते हैं। इसलिए एक साधारण वर्ष में ठीक 1 विषम दिन होता है। जाँच: 52×7 + 1 = 365, जो सही है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन पड़े। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी की तारीखें भी समान दिनों पर पड़ें। 1 जनवरी 1955 को शनिवार था और 1955 एक सामान्य वर्ष है। 1955 से 1966 के बीच 8 सामान्य वर्ष और 3 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। कुल बदलाव (8×1 + 3×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का मतलब है कि 1 जनवरी 1966 भी उसी दिन, यानी शनिवार को पड़ेगा। इससे पहली शर्त पूरी होती है। 1966 भी 1955 की तरह सामान्य वर्ष है, इसलिए दूसरी शर्त भी पूरी होती है। 1966 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 1955 का कैलेंडर 1966 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन पड़े। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी की तारीखें भी समान दिनों पर पड़ें। 1 जनवरी 1971 को शुक्रवार था और 1971 एक सामान्य वर्ष है। 1971 से 1982 के बीच 8 सामान्य वर्ष और 3 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। कुल बदलाव (8×1 + 3×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का मतलब है कि 1 जनवरी 1982 भी उसी दिन, यानी शुक्रवार को पड़ेगा। इससे पहली शर्त पूरी होती है। 1982 भी 1971 की तरह सामान्य वर्ष है, इसलिए दूसरी शर्त भी पूरी होती है। 1982 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 1971 का कैलेंडर 1982 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन हो। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी भी समान रहे। 1 जनवरी 2040 को रविवार है और 2040 एक लीप वर्ष है। 2040 से 2068 के बीच 21 सामान्य वर्ष और 7 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। सप्ताह के दिन में कुल बदलाव (21×1 + 7×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का अर्थ है कि 1 जनवरी 2068 भी रविवार को होगी, जिससे पहली शर्त पूरी होती है। 2068 एक लीप वर्ष है और 2040 के समान प्रकार का है, जिससे दूसरी शर्त पूरी होती है। 2068 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 2040 का कैलेंडर 2068 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन हो। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी भी समान रहे। 1 जनवरी 1972 को शनिवार है और 1972 एक लीप वर्ष है। 1972 से 2000 के बीच 21 सामान्य वर्ष और 7 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। सप्ताह के दिन में कुल बदलाव (21×1 + 7×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का अर्थ है कि 1 जनवरी 2000 भी शनिवार को होगी, जिससे पहली शर्त पूरी होती है। 2000 एक लीप वर्ष है और 1972 के समान प्रकार का है, जिससे दूसरी शर्त पूरी होती है। 2000 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 1972 का कैलेंडर 2000 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन हो। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी भी समान रहे। 1 जनवरी 2054 को गुरुवार है और 2054 एक सामान्य वर्ष है। 2054 से 2065 के बीच 8 सामान्य वर्ष और 3 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। सप्ताह के दिन में कुल बदलाव (8×1 + 3×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का अर्थ है कि 1 जनवरी 2065 भी गुरुवार को होगी, जिससे पहली शर्त पूरी होती है। 2065 एक सामान्य वर्ष है और 2054 के समान प्रकार का है, जिससे दूसरी शर्त पूरी होती है। 2065 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 2054 का कैलेंडर 2065 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन हो। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी भी समान रहे। 1 जनवरी 1967 को रविवार है और 1967 एक सामान्य वर्ष है। 1967 से 1978 के बीच 8 सामान्य वर्ष और 3 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। सप्ताह के दिन में कुल बदलाव (8×1 + 3×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का अर्थ है कि 1 जनवरी 1978 भी रविवार को होगी, जिससे पहली शर्त पूरी होती है। 1978 एक सामान्य वर्ष है और 1967 के समान प्रकार का है, जिससे दूसरी शर्त पूरी होती है। 1978 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 1967 का कैलेंडर 1978 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर समान होने के लिए दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी सप्ताह के एक ही दिन हो। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों सामान्य वर्ष — ताकि फरवरी भी समान रहे। 1 जनवरी 2015 को गुरुवार है और 2015 एक सामान्य वर्ष है। 2015 से 2026 के बीच 8 सामान्य वर्ष और 3 लीप वर्ष हैं। एक सामान्य वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। सप्ताह के दिन में कुल बदलाव (8×1 + 3×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का अर्थ है कि 1 जनवरी 2026 भी गुरुवार को होगी, जिससे पहली शर्त पूरी होती है। 2065 की तरह नहीं, 2026 एक सामान्य वर्ष है और 2015 के समान प्रकार का है, जिससे दूसरी शर्त पूरी होती है। 2026 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 2015 का कैलेंडर 2026 में दोहराता है।

दो वर्षों का कैलेंडर तभी समान होता है, जब दोनों शर्तें पूरी हों। पहली, दोनों वर्षों में 1 जनवरी को सप्ताह का एक ही दिन हो। दूसरी, दोनों वर्ष एक ही प्रकार के हों — दोनों लीप वर्ष हों या दोनों साधारण वर्ष हों — ताकि फरवरी की तारीखें भी समान दिनों पर पड़ें। 1 जनवरी 1975 को बुधवार था और 1975 एक साधारण वर्ष है। 1975 से 1986 के बीच 8 साधारण वर्ष और 3 लीप वर्ष हैं। एक साधारण वर्ष से 1 विषम दिन और एक लीप वर्ष से 2 विषम दिन मिलते हैं। दिनों का कुल बदलाव (8×1 + 3×2) mod 7 = 0 दिन है। 0 दिन के बदलाव का मतलब है कि 1 जनवरी 1986 को भी वही दिन, बुधवार, होगा। इससे पहली शर्त पूरी होती है। 1986 एक साधारण वर्ष है, जो 1975 के समान प्रकार का है। इससे दूसरी शर्त भी पूरी होती है। 1986 इसके बाद का पहला वर्ष है जो दोनों शर्तें पूरी करता है, इसलिए 1975 का कैलेंडर इस वर्ष दोहराता है।

अधिवर्ष का नियम: 4 से विभाज्य वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से विभाज्य) है जो 400 से विभाज्य नहीं होता। 1757, 100 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1757 ÷ 4 = 439.25, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 1757, 4 से विभाज्य नहीं है। अतः 1757 एक सामान्य वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 1757 में 365 दिन हैं और 29 फरवरी नहीं है।

अधिवर्ष का नियम: 4 से विभाज्य वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से विभाज्य) है जो 400 से विभाज्य नहीं होता। 2054, 100 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 2054 ÷ 4 = 513.5, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 2054, 4 से विभाज्य नहीं है। अतः 2054 एक सामान्य वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 2054 में 365 दिन हैं और 29 फरवरी नहीं है।

अधिवर्ष का नियम: 4 से विभाज्य वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से विभाज्य) है जो 400 से विभाज्य नहीं होता। 2019, 100 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 2019 ÷ 4 = 504.75, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 2019, 4 से विभाज्य नहीं है। अतः 2019 एक सामान्य वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 2019 में 365 दिन हैं और 29 फरवरी नहीं है।

अधिवर्ष का नियम: 4 से विभाज्य वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से विभाज्य) है जो 400 से विभाज्य नहीं होता। 1731, 100 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1731 ÷ 4 = 432.75, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 1731, 4 से विभाज्य नहीं है। अतः 1731 एक सामान्य वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 1731 में 365 दिन हैं और 29 फरवरी नहीं है।

अधिवर्ष का नियम: 4 से विभाज्य वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से विभाज्य) है जो 400 से विभाज्य नहीं होता। 1928, 100 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1928 ÷ 4 = 482 बिल्कुल पूरा आता है, इसलिए 1928, 4 से विभाज्य है। अतः 1928 एक अधिवर्ष है। जाँच: 1928 में 29 फरवरी सहित 366 दिन हैं।

अधिवर्ष का नियम: 4 से विभाज्य वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से विभाज्य) है जो 400 से विभाज्य नहीं होता। 1858, 100 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1858 ÷ 4 = 464.5, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 1858, 4 से विभाज्य नहीं है। अतः 1858 एक सामान्य वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 1858 में 365 दिन हैं और 29 फरवरी नहीं है।

अधिवर्ष का नियम: 4 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष) है, जो 400 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। 1825, 100 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1825 ÷ 4 = 456.25, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 1825, 4 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। इसलिए 1825 एक साधारण वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 1825 में 365 दिन होते हैं और 29 फरवरी नहीं होती।

अधिवर्ष का नियम: 4 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष) है, जो 400 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। 1942, 100 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1942 ÷ 4 = 485.5, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 1942, 4 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। इसलिए 1942 एक साधारण वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 1942 में 365 दिन होते हैं और 29 फरवरी नहीं होती।

अधिवर्ष का नियम: 4 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष) है, जो 400 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। 1826, 100 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 1826 ÷ 4 = 456.5, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 1826, 4 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। इसलिए 1826 एक साधारण वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 1826 में 365 दिन होते हैं और 29 फरवरी नहीं होती।

अधिवर्ष का नियम: 4 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष अधिवर्ष होता है। इसका अपवाद वह शताब्दी वर्ष (100 से पूर्णतः विभाजित होने वाला वर्ष) है, जो 400 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। 2095, 100 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता, इसलिए यह शताब्दी वर्ष नहीं है और केवल 4 से विभाज्यता की जाँच लागू होती है। 2095 ÷ 4 = 523.75, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 2095, 4 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता। इसलिए 2095 एक साधारण वर्ष है, अधिवर्ष नहीं। जाँच: 2095 में 365 दिन होते हैं और 29 फरवरी नहीं होती।

1 जनवरी 1972 को शनिवार है। सप्ताह में बुधवार, शनिवार के 4 दिन बाद आता है, इसलिए महीने का पहला बुधवार 5 तारीख को है। एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं, इसलिए हर अगला बुधवार ठीक 7 दिन बाद आता है। 31 दिनों के इस महीने में बार-बार 7 जोड़ने पर 5, 12, 19, 26 तारीखें मिलती हैं। जाँच: 5, 12, 19, 26 में हर अगली तारीख का अंतर 7 दिन है और सभी तारीखें इसी महीने में हैं।

1 अक्टूबर 1956 को सोमवार है। सप्ताह में शनिवार, सोमवार के 5 दिन बाद आता है, इसलिए महीने का पहला शनिवार 6 तारीख को है। एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं, इसलिए हर अगला शनिवार ठीक 7 दिन बाद आता है। 31 दिन के इस महीने में बार-बार 7 जोड़ने पर 6, 13, 20, 27 तारीखें मिलती हैं। जाँच: 6, 13, 20, 27 में हर अगली तारीख का अंतर 7 दिन है और सभी तारीखें इसी महीने में हैं।