न्यूटन के नियम, बल और संवेग

परिणामी बल वेग बदलता है। वेग में चाल और दिशा दोनों शामिल हैं। इसलिए किसी वस्तु की चाल बढ़ने, चाल घटने या दिशा बदलने पर उसमें त्वरण हो सकता है।

• बल: धक्का या खिंचाव, जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• परिणामी बल: चुनी गई वस्तु पर लगने वाले बलों का सदिश योग।
• त्वरण: वेग बदलने की दर।
• जड़त्व: गति की अवस्था में बदलाव का विरोध।

खरीदारी की ट्रॉली को धक्का देने पर उसकी गति बदलती है। लेकिन धक्का देने वाला बल हमेशा ट्रॉली पर लगने वाला परिणामी बल नहीं होता। गणना में घर्षण और अन्य बलों को भी शामिल करना पड़ता है।

न्यूटन (Newton) के नियम चिरसम्मत गति का वर्णन ऐसे संदर्भ तंत्र में करते हैं जिसे कहते हैं: जड़त्वीय संदर्भ तंत्र। इस संदर्भ तंत्र में जिस वस्तु पर कोई बल नहीं लगता, उसका वेग स्थिर रहता है। यहाँ सामान्य उदाहरणों के लिए हम धरातल को लगभग जड़त्वीय मानते हैं।

नहीं। स्थिर वेग के लिए परिणामी बल शून्य होना चाहिए। न्यूटन (Newton) के प्रथम नियम में विराम और सीधी रेखा में एकसमान गति, दोनों शामिल हैं। दोनों में से किसी भी अवस्था को बनाए रखने के लिए अशून्य परिणामी बल की आवश्यकता नहीं होती।

2.1 लुढ़कती हुई गेंद आमतौर पर क्यों रुक जाती है?

घर्षण और वायु प्रतिरोध गेंद की चाल घटा सकते हैं। गेंद इसलिए नहीं रुकती कि गति अपने-आप खत्म हो जाती है। परिणामी बल शून्य होने पर उसका वेग स्थिर रहता।

कई बल लगने पर भी उनका सदिश योग शून्य हो सकता है। क्षैतिज मेज पर रखी किताब पर नीचे की ओर भार और ऊपर की ओर मेज का सहारा बल लगता है। किताब पर ये दोनों बल एक-दूसरे को संतुलित करते हैं।

2.2 कार में ब्रेक लगने पर यात्री आगे की ओर क्यों झुकते हैं?

ब्रेक लगने से पहले यात्री और कार साथ चलते हैं। ब्रेक लगाने से कार की चाल घटती है। यात्री का शरीर शुरू में अपना पहले वाला वेग बनाए रखने की प्रवृत्ति रखता है। फिर सीट बेल्ट सहित अन्य संपर्क बल यात्री की चाल घटाते हैं।

जड़त्व एक गुण है, आगे की ओर लगने वाला कोई अतिरिक्त बल नहीं। द्रव्यमान स्थानांतरीय जड़त्व का माप है। स्थिर क्रिकेट गेंद में भी जड़त्व होता है। चाल बदलने से संवेग बदलता है, लेकिन इन उदाहरणों में द्रव्यमान पर निर्भर जड़त्व नहीं बदलता।

द्रव्यमान स्थिर होने पर उपयोग करें: F_net = ma. त्वरण की दिशा परिणामी बल की दिशा में होती है। समीकरण में वस्तु पर लगने वाला कुल बल लिया जाता है, केवल कोई एक चुना हुआ धक्का नहीं।

एक न्यूटन बराबर होता है 1 kg·m/s²। बलों को जोड़ते समय दिशाओं के चिह्न एक जैसे रखें। सीधी रेखा वाले उदाहरणों में एक दिशा को धनात्मक मानें।

3.1 हल किया गया उदाहरण: घर्षण के विरुद्ध धक्का देना

मान लें कि 5 kg की एक ट्रॉली को दाईं ओर 20 N का धक्का दिया जाता है। घर्षण बल बाईं ओर लगता है और उसका परिमाण 5 N है। मान लें कि ऊर्ध्वाधर बल संतुलित हैं और द्रव्यमान स्थिर रहता है।

1. दाईं दिशा को धनात्मक मानें।
2. कुल क्षैतिज बल की गणना करें: F_net = 20 − 5 = 15 N.
3. त्वरण की गणना करें: a = F_net/m = 15/5 = 3 m/s², दाईं ओर।

केवल धक्के के बल का उपयोग करने पर 4 m/s² मिलेगा। उस उत्तर में बलों की गणना से घर्षण छूट जाता है। समान कुल बल अधिक द्रव्यमान वाली वस्तु में कम त्वरण पैदा करता है।

3.2 क्या बल की दिशा वेग की दिशा में होती है?

बल की दिशा त्वरण की दिशा में होती है। यह आवश्यक नहीं कि बल वेग की दिशा में भी हो। दाईं ओर चलती कार पर ब्रेक लगाने से कुल बल बाईं ओर लग सकता है। मुड़ती हुई वस्तु में चाल बढ़े बिना भी त्वरण हो सकता है।

तीसरे नियम के क्रिया और प्रतिक्रिया बल अलग-अलग वस्तुओं पर लगते हैं। उनके परिमाण बराबर होते हैं और दिशाएँ विपरीत होती हैं। दोनों पारस्परिक बल एक ही समय पर लगते हैं।

4.1 चलते समय लगने वाले बलों को समझें

आपका पैर जमीन को पीछे की ओर धकेलता है। जमीन आपके पैर पर आगे की ओर घर्षण बल लगाती है। पीछे की ओर लगने वाला बल जमीन पर लगता है। आगे की ओर लगने वाला बल आप पर लगता है।

अपना त्वरण निकालने के लिए आप पर लगने वाले बलों को जोड़ें। जमीन पर आपके द्वारा पीछे की ओर लगाए गए बल को इस जोड़ में शामिल न करें।

4.2 क्या भार और सहारा देने वाला बल तीसरे नियम की जोड़ी हैं?

नहीं। मेज पर रखी पुस्तक के उदाहरण में दोनों बल पुस्तक पर लगते हैं। पृथ्वी के पुस्तक पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल का प्रतिक्रिया बल पुस्तक द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है। मेज के सहारा देने वाले बल का प्रतिक्रिया बल पुस्तक द्वारा मेज पर नीचे की ओर लगाया गया बल है।

बराबर पारस्परिक बलों से बराबर त्वरण पैदा होना भी आवश्यक नहीं है। एक-दूसरे पर बल लगाने वाली वस्तुओं के द्रव्यमान अलग हो सकते हैं।

रेखीय संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है: p = mv. संवेग की दिशा होती है। धनात्मक द्रव्यमान के लिए संवेग की दिशा वेग की दिशा में होती है।

p की इकाई है kg·m/s, जो इसके बराबर है: N·s। द्रव्यमान kg में और वेग m/s में मापा जाता है। संवेगों की तुलना करते समय या उन्हें जोड़ते समय एक ही संदर्भ तंत्र चुनें।

एक निश्चित निकाय के लिए दूसरे नियम का संवेग वाला रूप है F_net = dp/dt। व्यंजक dp/dt का अर्थ संवेग के परिवर्तन की दर है। बल संवेग में परिवर्तन पर निर्भर करता है, केवल संवेग पर नहीं।

किसी वस्तु का संवेग बहुत अधिक हो सकता है, जबकि उस पर कुल बल शून्य हो। यदि उसका वेग स्थिर रहता है, तो उसका संवेग भी स्थिर रहता है। स्थिर द्रव्यमान के लिए संवेग का समीकरण बन जाता है F_net = ma.

5.1 हल किया गया उदाहरण: संवेग और गतिज ऊर्जा

10 kg की एक वस्तु लें, जो 10 m/s के वेग से चल रही है।

• संवेग का परिमाण: p = 10 × 10 = 100 kg·m/s.
• गतिज ऊर्जा: K = ½mv² = ½ × 10 × 10² = 500 J.

K गतिज ऊर्जा है, जिसे जूल में मापा जाता है। यह एक अदिश राशि है, इसलिए इसकी कोई दिशा नहीं होती। संवेग एक सदिश राशि है, इसलिए संवेगों को जोड़ते समय विपरीत दिशाओं का ध्यान रखना पड़ता है।

आवेग, संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है। स्थिर बल के लिए, आवेग बल और समय का गुणनफल होता है। बदलते बल के लिए, औसत परिणामी बल या बल-समय समाकल का उपयोग करें।

J_imp = Δp = F_avg Δt

• J_imp आवेग है, जिसे N·s में मापा जाता है।
• Δp अंतिम संवेग में से प्रारंभिक संवेग घटाने पर मिलने वाला परिवर्तन है।
• F_avg समय अंतराल के दौरान औसत परिणामी बल है, जिसे N में मापा जाता है।
• Δt सेकंड में समय अंतराल है।

6.1 हल किया गया उदाहरण: गेंद पकड़ना

मान लें कि 0.20 kg की गेंद 10 m/s की चाल से आती है और बिना उछले रुक जाती है। उसके प्रारंभिक संवेग का परिमाण है 0.20 × 10 = 2 N·s। उसका अंतिम संवेग शून्य है।

यदि रुकने में 0.02 s लगते हैं, तो औसत परिणामी बल का परिमाण है 2/0.02 = 100 N। यदि रुकने में 0.10 s लगते हैं, तो परिमाण हो जाता है 2/0.10 = 20 N.

गेंद पकड़ने की दोनों काल्पनिक स्थितियों में संवेग का परिवर्तन समान है। रुकने का समय अधिक होने पर औसत परिणामी बल कम होता है। इस परिणामी बल को हाथ का बल मानते समय अन्य बलों को नगण्य मानें।

क्षेत्ररक्षक रुकने का समय बढ़ाने के लिए हाथ पीछे खींचता है। संवेग में लगभग समान परिवर्तन के लिए नरम रेत और रेलगाड़ी के बफर भी रुकने का समय बढ़ा सकते हैं। यह तुलना औसत बल की है; अधिकतम बल इस बात पर निर्भर करता है कि समय के साथ बल कैसे बदलता है।

6.2 बल-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल क्या बताता है?

किसी परिणामी बल–समय ग्राफ के नीचे का चिह्न सहित क्षेत्रफल आवेग देता है। ऋणात्मक क्षेत्रफल चुनी गई ऋणात्मक दिशा में आवेग को दर्शाता है। अंत में बल शून्य हो जाने से उसका पहले दिया गया आवेग समाप्त नहीं होता।

परिणामी बाहरी बल शून्य होने पर कुल संवेग स्थिर रहता है। इस नियम को लागू करने से पहले निकाय चुनें। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार लगने वाले आंतरिक बल निकाय के कुल संवेग की गणना में एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

टक्कर के दौरान संपर्क की छोटी अवधि में बाहरी आवेग नगण्य हो सकता है। इस स्थिति में टक्कर के दौरान संवेग को लगभग संरक्षित माना जा सकता है। संवेग संरक्षण पूरे निकाय पर लागू होता है; यह आवश्यक नहीं कि प्रत्येक वस्तु का संवेग भी संरक्षित रहे।

7.1 बंदूक पीछे की ओर अपनी गोली से कम चाल से क्यों चलती है?

ऐसी बंदूक और गोली पर विचार करें जो शुरू में स्थिर हैं। इस सरल मॉडल में बाहरी आवेग और बाहर निकलने वाले अन्य पदार्थों को नगण्य मानें। गोली चलने के बाद उनका कुल संवेग शून्य रहता है।

M V + m v = 0

M और m क्रमशः बंदूक और गोली के द्रव्यमान हैं, जिनकी इकाई kg है। V और v उनके चिह्न सहित वेग हैं, जिनकी इकाई m/s है। बंदूक और गोली के संवेगों के परिमाण बराबर और दिशाएँ विपरीत होती हैं। बंदूक का द्रव्यमान बहुत अधिक होने के कारण उसके पीछे हटने की चाल कम होती है।

7.2 रॉकेट अंतरिक्ष में कैसे चल सकता है?

रॉकेट अपने सापेक्ष निकास गैसों को पीछे की ओर निकालता है। निकास गैसें रॉकेट पर आगे की ओर बल लगाती हैं। इस परस्पर क्रिया के लिए आसपास हवा की आवश्यकता नहीं होती।

संवेग संरक्षण लागू करने के लिए रॉकेट और उससे बाहर निकले पदार्थ को निकाय में शामिल करें। बाहरी बलों का प्रभाव महत्वपूर्ण हो, तो उन्हें भी गणना में लें। पदार्थ बाहर निकालने पर अकेले रॉकेट का द्रव्यमान घटता है। इस बदलते निकाय पर स्थिर द्रव्यमान वाली संवेग की गणना बिना सोचे-समझे लागू न करें।

7.3 लंबी कूद से पहले दौड़ने से क्या बदलता है?

कूदने से पहले दौड़ने से खिलाड़ी की चाल और संवेग बढ़ते हैं। जमीन से उछलते समय जमीन भी बाहरी आवेग देती है। पूरी कूद के दौरान अकेला खिलाड़ी एक पृथक निकाय नहीं होता।

चिरसम्मत मॉडल में द्रव्यमान स्थिर रहने पर ऐसा होता है। शुरुआत करें p = mv, प्रतिस्थापित करें v = p/m में K = ½mv²। परिणाम है K = p²/(2m), संवेग का परिमाण लेकर p.

दोगुना करने पर p बढ़ता है p² चार गुना। इसलिए, उसी वस्तु की गतिज ऊर्जा चार गुनी हो जाती है। हमारे 10 kg वाले उदाहरण में चाल दोगुनी होने पर गतिज ऊर्जा 500 J से बढ़कर 2000 J हो जाती है।

यदि द्रव्यमान भी बदलता है, तो दोनों की तुलना करें: p² और m। द्रव्यमान स्थिर होने की शर्त पूरी हुए बिना चार गुने वाला परिणाम लागू न करें।

संवेग संरक्षण से गतिज ऊर्जा का संरक्षण भी सुनिश्चित नहीं होता। अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा का कुछ भाग आकार में बदलाव, ऊष्मा या ध्वनि में बदल सकता है। कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

9.1 संपर्क बल या गुरुत्वाकर्षण?

सामान्य यांत्रिक उदाहरणों में धक्का, घर्षण और तनाव संपर्क बल हैं। तनाव वह खींचने वाला बल है जो तनी हुई रस्सी या डोरी के माध्यम से संचारित होता है। गुरुत्वाकर्षण दो वस्तुओं के बीच भौतिक संपर्क के बिना कार्य करता है।

दो बिंदु द्रव्यमानों के लिए गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण है F = Gm1m2/r²। यहाँ, m1 और m2 kg में द्रव्यमान हैं। उनके बीच की दूरी r मीटर में मापी जाती है। G सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है। बल दोनों द्रव्यमानों और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है G = Fr²/(m1m2)। इसलिए, इसका SI मात्रक G है N·m²/kg²। हर जोड़ी वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल समान नहीं होता।

9.2 क्या स्थिर चाल से नीचे गिरते स्काइडाइवर का भार शून्य होता है?

नहीं। सीधी रेखा में स्थिर चाल से नीचे जाते समय त्वरण शून्य होता है। केवल दो बलों वाले सरल मॉडल में ऊपर की ओर लगने वाला वायु प्रतिरोध नीचे की ओर लगने वाले भार को संतुलित करता है।

के लिए m = 60 kg और g = 9.8 m/s², भार है mg = 588 N। इसलिए, ऊपर की ओर लगने वाला वायु प्रतिरोध भी 588 N है। संतुलित बलों का अर्थ है कि कुल बल शून्य है, यह नहीं कि कोई बल लग ही नहीं रहा।

9.3 समलंबाकार बल-समय ग्राफ से आवेग कैसे निकालते हैं?

मान लें कि पहले 5 s में कुल बल 0 से बढ़कर 20 N हो जाता है। फिर अगले 15 s तक वह 20 N पर स्थिर रहता है। अंत में, अगले 5 s में वह घटकर शून्य हो जाता है।

1. पहला त्रिभुज: ½ × 5 × 20 = 50 N·s.
2. आयत: 15 × 20 = 300 N·s.
3. अंतिम त्रिभुज: ½ × 5 × 20 = 50 N·s.
4. कुल आवेग: 50 + 300 + 50 = 400 N·s.

स्थिर 10 kg द्रव्यमान के लिए वेग में परिवर्तन है Δv = 400/10 = 40 m/s। अंतिम वेग है v_initial + 40 m/s चुनी गई दिशा में। यदि वस्तु शुरू में विराम अवस्था में है, तो अंतिम चाल 40 m/s है।

9.4 क्या बल और संवेग की दिशाएँ अलग हो सकती हैं?

स्थिति फलन पर विचार करें r(t) = √3 t² i + √2 t j + √5 k. चिह्न i, j और k तीन परस्पर लंबवत अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। गुणांकों की इकाइयाँ दिए गए स्थिति फलन के अनुसार लें।

स्थिति का अवकलन करके प्राप्त करें v(t) = 2√3 t i + √2 j. वेग का अवकलन करके प्राप्त करें a(t) = 2√3 i. स्थिर धनात्मक द्रव्यमान के लिए, संवेग का एक अशून्य j घटक है। परिणामी बल का केवल एक i घटक है।

इसलिए, इस मॉडल में बल और संवेग कभी समानांतर नहीं होते। जब t = 0, तब वे एक-दूसरे के लंबवत होते हैं। वे हर समय एक-दूसरे के लंबवत नहीं होते।