मिश्रण नियम या मिश्रण: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

शुरुआत में बर्तन में x इकाई शुद्ध तरल है। हर बार मौजूदा मिश्रण में से y इकाई निकालकर उतना ही पानी भर दिया जाता है। हर बार निकाले गए तरल का अंश y/x है। इसलिए हर प्रक्रिया के बाद शुद्ध तरल का बचा हुआ अंश (1 – y/x) होता है। एक बार प्रक्रिया करने के बाद, शुद्ध तरल = x(1 – y/x)। ऐसी n प्रक्रियाओं के बाद, शुद्ध तरल = x(1 – y/x)^n।

पानी को खरीदने की कोई लागत नहीं है, इसलिए उसका अपना कोई क्रय मूल्य नहीं माना जाता। मिश्रण के नियम (Alligation) के प्रश्न में इसे सस्ता घटक माना जाता है, जिसका क्रय मूल्य Rs 0 प्रति इकाई है। इससे मिश्रण का सामान्य नियम, (महँगे घटक का मूल्य – औसत मूल्य) : (औसत मूल्य – सस्ते घटक का मूल्य), सीधे लागू किया जा सकता है। यहाँ सस्ते घटक का मूल्य 0 लिया जाता है।

मान लें कि सस्ते घटक का मूल्य c प्रति इकाई और महँगे घटक का मूल्य d प्रति इकाई है। मिश्रण का औसत मूल्य m प्रति इकाई है। मिश्रण के नियम (Alligation) के अनुसार, सस्ते घटक की मात्रा : महँगे घटक की मात्रा = (d – m) : (m – c)। यहाँ (d – m) बताता है कि महँगे घटक का मूल्य औसत मूल्य से कितना अधिक है। वहीं (m – c) बताता है कि औसत मूल्य सस्ते घटक के मूल्य से कितना अधिक है। किसी घटक के मूल्य और औसत मूल्य के बीच अंतर जितना अधिक होगा, उस घटक की उतनी ही कम मात्रा चाहिए होगी।

जब दो घटकों को मिलाया जाता है, तो बने हुए मिश्रण का भी एक क्रय मूल्य होता है। मिश्रण की एक इकाई के इस क्रय मूल्य को औसत मूल्य कहते हैं। औसत मूल्य हमेशा सस्ते घटक और महँगे घटक के मूल्यों के बीच होता है। यह कभी भी इस सीमा से बाहर नहीं हो सकता।

बर्तन A में दूध का अंश = 1/(1+4) = 0.2। बर्तन B में दूध का अंश = 1/(1+1) = 0.5। दूध का वांछित अंश = 2/(2+3) = 0.4। मिश्रण नियम (एलिगेशन) के अनुसार, A और B का अनुपात = (B में दूध का अंश – वांछित अंश) : (वांछित अंश – A में दूध का अंश) = (0.5-0.4) : (0.4-0.2) = 0.1 : 0.2। इन्हें समान हर वाली भिन्नों में लिखकर सरल करने पर पूर्णांक अनुपात 1 : 2 मिलता है। जाँच: A का 1 भाग और B के 2 भाग मिलाने पर दूध का अंश (1×0.2 + 2×0.5) / (1+2) = 0.4 होता है, जो वांछित अंश 0.4 के बराबर है।

बर्तन A में दूध का अंश 2/7 है। बर्तन B में दूध का अंश 4/5 है। दूध का वांछित अंश 3/5 है। मिश्रण नियम (एलिगेशन) के अनुसार, A और B की मात्राओं का अनुपात, B के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर तथा वांछित अंश और A के दूध के अंश के अंतर के अनुपात के बराबर होता है। ये अंतर 1/5 और 11/35 हैं। इनका अनुपात 7 : 11 है। जाँच: A के 7 भाग और B के 11 भाग मिलाने पर दूध का अंश (7 x 2/7 + 11 x 4/5) / 18 होता है। यह 3/5 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

बर्तन A में दूध का अंश 1/5 है। बर्तन B में दूध का अंश 4/9 है। दूध का वांछित अंश 2/5 है। मिश्रण नियम (एलिगेशन) के अनुसार, A और B की मात्राओं का अनुपात, B के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर तथा वांछित अंश और A के दूध के अंश के अंतर के अनुपात के बराबर होता है। ये अंतर 2/45 और 1/5 हैं। इनका अनुपात 2 : 9 है। जाँच: A के 2 भाग और B के 9 भाग मिलाने पर दूध का अंश (2 x 1/5 + 9 x 4/9) / 11 होता है। यह 2/5 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

बर्तन A में दूध का अंश 2/7 है। बर्तन B में दूध का अंश 5/7 है। दूध का वांछित अंश 3/5 है। मिश्रण नियम (एलिगेशन) के अनुसार, A और B की मात्राओं का अनुपात, B के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर तथा वांछित अंश और A के दूध के अंश के अंतर के अनुपात के बराबर होता है। ये अंतर 4/35 और 11/35 हैं। इनका अनुपात 4 : 11 है। जाँच: A के 4 भाग और B के 11 भाग मिलाने पर दूध का अंश (4 x 2/7 + 11 x 5/7) / 15 होता है। यह 3/5 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

बर्तन A में दूध का अंश 5/6 है। बर्तन B में दूध का अंश 5/9 है। दूध का वांछित अंश 3/5 है। मिश्रण नियम (एलिगेशन) के अनुसार, A और B की मात्राओं का अनुपात, वांछित अंश और B के दूध के अंश के अंतर तथा A के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर के अनुपात के बराबर होता है। ये अंतर 2/45 और 7/30 हैं। इनका अनुपात 4 : 21 है। जाँच: A के 4 भाग और B के 21 भाग मिलाने पर दूध का अंश (4 x 5/6 + 21 x 5/9) / 25 होता है। यह 3/5 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

बर्तन A में दूध का अंश 1/3 है। बर्तन B में दूध का अंश 5/8 है। दूध का वांछित अंश 1/2 है। मिश्रण नियम (एलिगेशन) के अनुसार, A और B की मात्राओं का अनुपात, B के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर तथा वांछित अंश और A के दूध के अंश के अंतर के अनुपात के बराबर होता है। ये अंतर 1/8 और 1/6 हैं। इनका अनुपात 3 : 4 है। जाँच: A के 3 भाग और B के 4 भाग मिलाने पर दूध का अंश (3 x 1/3 + 4 x 5/8) / 7 होता है। यह 1/2 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

पात्र A में दूध का अंश 5/9 है। पात्र B में दूध का अंश 2/7 है। वांछित मिश्रण में दूध का अंश 1/3 है। मिश्रण नियम (Alligation) के अनुसार, A और B की मात्राओं का अनुपात, वांछित अंश और B के अंश के अंतर तथा A के अंश और वांछित अंश के अंतर के अनुपात के बराबर होता है। ये अंतर 1/21 और 2/9 हैं। इनका अनुपात 3 : 14 है। जाँच: A के 3 भाग और B के 14 भाग मिलाने पर दूध का अंश (3 x 5/9 + 14 x 2/7) / 17 होता है। यह 1/3 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

पात्र A में दूध का अंश 3/8 है। पात्र B में दूध का अंश 5/7 है। वांछित मिश्रण में दूध का अंश 2/3 है। मिश्रण नियम से, A और B की मात्राओं का अनुपात निकालने के लिए B के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर का अनुपात वांछित अंश और A के दूध के अंश के अंतर से लेते हैं। ये अंतर 1/21 और 7/24 हैं। इनका अनुपात 8 : 49 है। जाँच: A के 8 भागों में B के 49 भाग मिलाने पर दूध का अंश (8 x 3/8 + 49 x 5/7) / 57 होता है। यह 2/3 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

पात्र A में दूध का अंश 5/7 है। पात्र B में दूध का अंश 1/5 है। वांछित मिश्रण में दूध का अंश 1/3 है। मिश्रण नियम से, A और B की मात्राओं का अनुपात निकालने के लिए वांछित अंश और B के दूध के अंश के अंतर का अनुपात A के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर से लेते हैं। ये अंतर 2/15 और 8/21 हैं। इनका अनुपात 7 : 20 है। जाँच: A के 7 भागों में B के 20 भाग मिलाने पर दूध का अंश (7 x 5/7 + 20 x 1/5) / 27 होता है। यह 1/3 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

पात्र A में दूध का अंश 1/5 है। पात्र B में दूध का अंश 2/5 है। वांछित मिश्रण में दूध का अंश 1/3 है। मिश्रण नियम से, A और B की मात्राओं का अनुपात निकालने के लिए B के दूध के अंश और वांछित अंश के अंतर का अनुपात वांछित अंश और A के दूध के अंश के अंतर से लेते हैं। ये अंतर 1/15 और 2/15 हैं। इनका अनुपात 1 : 2 है। जाँच: A के 1 भाग में B के 2 भाग मिलाने पर दूध का अंश (1 x 1/5 + 2 x 2/5) / 3 होता है। यह 1/3 के बराबर है, जो वांछित अंश है।

शुरुआत में 72 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 24 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भर दिया जाता है। हर बार निकाला गया अंश 24/72 यानी 1/3 है। इसलिए हर चरण के बाद दूध का बचा हुआ अंश 2/3 है। यह प्रक्रिया 2 बार दोहराई जाती है। प्रक्रिया 1 के बाद शुद्ध दूध 48 लीटर है। प्रक्रिया 2 के बाद शुद्ध दूध 32 लीटर है। बार-बार तनुकरण के सूत्र से, बचा हुआ दूध 72 x (2/3)^2 यानी 32 लीटर है।

मान लें कि शुरुआत में पात्र में x = 375 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 300 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भर दिया जाता है। हर बार निकाला गया अंश = 300/375 = 0.8। इसलिए हर प्रक्रिया के बाद बचने वाले शुद्ध दूध का अंश = 1 – 0.8 = 0.2। यह प्रक्रिया 2 बार दोहराई जाती है। प्रक्रिया 1 के बाद शुद्ध दूध = 375 x 0.2 = 75 लीटर। प्रक्रिया 2 के बाद शुद्ध दूध = 75 x 0.2 = 15 लीटर। बार-बार तनुकरण के सूत्र से, बचा हुआ शुद्ध दूध = 375 x (0.2)^2 = 15 लीटर।

मान लें कि शुरुआत में बर्तन में x = 150 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 120 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश = 120/150 = 0.8। इसलिए हर बार प्रक्रिया के बाद बचे शुद्ध दूध का अंश = 1 – 0.8 = 0.2। यह प्रक्रिया 2 बार की जाती है। पहली बार के बाद शुद्ध दूध = 150 x 0.2 = 30 लीटर। दूसरी बार के बाद शुद्ध दूध = 30 x 0.2 = 6 लीटर। बार-बार पानी मिलाने के सूत्र से, बचा हुआ शुद्ध दूध = 150 x (0.2)^2 = 6 लीटर।

शुरुआत में 144 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 24 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश 24/144 यानी 1/6 है। इसलिए हर चरण के बाद बचे दूध का अंश 5/6 है। यह प्रक्रिया 2 बार की जाती है। पहली बार के बाद शुद्ध दूध 120 लीटर है। दूसरी बार के बाद शुद्ध दूध 100 लीटर है। बार-बार पानी मिलाने के सूत्र से, बचा हुआ दूध 144 x (5/6)^2 यानी 100 लीटर है।

मान लें कि शुरुआत में बर्तन में x = 100 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 20 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश = 20/100 = 0.2। इसलिए हर बार प्रक्रिया के बाद बचे शुद्ध दूध का अंश = 1 – 0.2 = 0.8। यह प्रक्रिया 2 बार की जाती है। पहली बार के बाद शुद्ध दूध = 100 x 0.8 = 80 लीटर। दूसरी बार के बाद शुद्ध दूध = 80 x 0.8 = 64 लीटर। बार-बार पानी मिलाने के सूत्र से, बचा हुआ शुद्ध दूध = 100 x (0.8)^2 = 64 लीटर।

मान लें कि शुरुआत में बर्तन में x = 144 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 72 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश = 72/144 = 0.5। इसलिए हर बार प्रक्रिया के बाद बचे शुद्ध दूध का अंश = 1 – 0.5 = 0.5। यह प्रक्रिया 2 बार की जाती है। पहली बार के बाद शुद्ध दूध = 144 x 0.5 = 72 लीटर। दूसरी बार के बाद शुद्ध दूध = 72 x 0.5 = 36 लीटर। बार-बार पानी मिलाने के सूत्र से, बचा हुआ शुद्ध दूध = 144 x (0.5)^2 = 36 लीटर।

मान लें कि शुरुआत में बर्तन में x = 250 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार मिश्रण में से 200 लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश = 200/250 = 0.8। इसलिए हर बार प्रक्रिया के बाद बचे शुद्ध दूध का अंश = 1 – 0.8 = 0.2। यह प्रक्रिया 3 बार की जाती है। पहली बार के बाद शुद्ध दूध = 250 x 0.2 = 50 लीटर। दूसरी बार के बाद शुद्ध दूध = 50 x 0.2 = 10 लीटर। तीसरी बार के बाद शुद्ध दूध = 10 x 0.2 = 2 लीटर। बार-बार पानी मिलाने के सूत्र से, बचा हुआ शुद्ध दूध = 250 x (0.2)^3 = 2 लीटर।

शुरू में 405 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार 135 लीटर मिश्रण निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाले गए मिश्रण का अंश 135/405 यानी 1/3 है। इसलिए हर चरण के बाद दूध का 2/3 भाग बचता है। यह प्रक्रिया 3 बार दोहराई जाती है। प्रक्रिया 1 के बाद शुद्ध दूध 270 लीटर है। प्रक्रिया 2 के बाद शुद्ध दूध 180 लीटर है। प्रक्रिया 3 के बाद शुद्ध दूध 120 लीटर है। बार-बार मिश्रण निकालकर पानी भरने के सूत्र के अनुसार, बचा हुआ दूध 405 x (2/3)^3 यानी 120 लीटर है।

शुरू में 81 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार 27 लीटर मिश्रण निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है। हर बार निकाले गए मिश्रण का अंश 27/81 यानी 1/3 है। इसलिए हर चरण के बाद दूध का 2/3 भाग बचता है। यह प्रक्रिया 3 बार दोहराई जाती है। प्रक्रिया 1 के बाद शुद्ध दूध 54 लीटर है। प्रक्रिया 2 के बाद शुद्ध दूध 36 लीटर है। प्रक्रिया 3 के बाद शुद्ध दूध 24 लीटर है। बार-बार मिश्रण निकालकर पानी भरने के सूत्र के अनुसार, बचा हुआ दूध 81 x (2/3)^3 यानी 24 लीटर है।

मान लें कि शुरुआत में बर्तन में x = 120 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार 60 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश = 60/120 = 0.5। इसलिए हर प्रक्रिया के बाद बचे शुद्ध दूध का अंश = 1 – 0.5 = 0.5। यह प्रक्रिया 3 बार की जाती है। पहली प्रक्रिया के बाद शुद्ध दूध = 120 x 0.5 = 60 लीटर। दूसरी प्रक्रिया के बाद शुद्ध दूध = 60 x 0.5 = 30 लीटर। तीसरी प्रक्रिया के बाद शुद्ध दूध = 30 x 0.5 = 15 लीटर। बार-बार तनुकरण के सूत्र से, बचा शुद्ध दूध = 120 x (0.5)^3 = 15 लीटर।

शुरुआत में 216 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार 36 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी भरा जाता है। हर बार निकाला गया अंश 36/216 यानी 1/6 है। इसलिए हर चरण के बाद बचे दूध का अंश 5/6 है। यह प्रक्रिया 3 बार की जाती है। पहली प्रक्रिया के बाद 180 लीटर शुद्ध दूध बचता है। दूसरी प्रक्रिया के बाद 150 लीटर शुद्ध दूध बचता है। तीसरी प्रक्रिया के बाद 125 लीटर शुद्ध दूध बचता है। बार-बार तनुकरण के सूत्र से, बचा दूध 216 x (5/6)^3 यानी 125 लीटर है।