लघुगणक: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 3)

यहाँ 4 आधार पर x का लघुगणक = 1 है। इसे घातीय रूप में बदलें: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। इसलिए x = 4^1। 4^1 का मान निकालने पर x = 4 मिलता है। जाँच: 4 आधार पर 4 का लघुगणक = 1 है, क्योंकि 4^1 = 4।

यहाँ 7 आधार पर x का लघुगणक = -4 है। इसे घातीय रूप में बदलें: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। चूँकि k ऋणात्मक है, इसलिए x = 7^-4 = 1/7^4। अब 7^4 = 2401। इसलिए x = 1/2401। जाँच: 7 आधार पर 1/2401 का लघुगणक = -4 है, क्योंकि 7^4 = 2401।

यहाँ 10 आधार पर x का लघुगणक = -4 है। इसे घातीय रूप में बदलें: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। चूँकि k ऋणात्मक है, इसलिए x = 10^-4 = 1/10^4। अब 10^4 = 10000। इसलिए x = 1/10000। जाँच: 10 आधार पर 1/10000 का लघुगणक = -4 है, क्योंकि 10^4 = 10000।

यहाँ हमें log₁₀(0.0001) का मान निकालना है। 0.0001 को 10 की घात के रूप में लिखें। इसमें दशमलव बिंदु के बाद 4 अंक हैं और अंतिम अंक 1 है। इसलिए 0.0001 = 10^-4। परिभाषा के अनुसार, यदि 10^n = x है, तो log₁₀(x) = n होता है। यहाँ n = -4 है, इसलिए log₁₀(0.0001) = -4। जाँच: 10^-4 = 1/10^4 = 0.0001।

यहाँ हमें log₁₀(0.000001) का मान निकालना है। 0.000001 को 10 की घात के रूप में लिखें। इसमें दशमलव बिंदु के बाद 6 अंक हैं और अंतिम अंक 1 है। इसलिए 0.000001 = 10^-6। परिभाषा के अनुसार, यदि 10^n = x है, तो log₁₀(x) = n होता है। यहाँ n = -6 है, इसलिए log₁₀(0.000001) = -6। जाँच: 10^-6 = 1/10^6 = 0.000001।

यहाँ हमें log₁₀(0.001) का मान निकालना है। 0.001 को 10 की घात के रूप में लिखें। इसमें दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक हैं और अंतिम अंक 1 है। इसलिए 0.001 = 10^-3। परिभाषा के अनुसार, यदि 10^n = x है, तो log₁₀(x) = n होता है। यहाँ n = -3 है, इसलिए log₁₀(0.001) = -3। जाँच: 10^-3 = 1/10^3 = 0.001।

यहाँ हमें log₁₀(0.00001) का मान निकालना है। 0.00001 को 10 की घात के रूप में लिखें। इसमें दशमलव बिंदु के बाद 5 अंक हैं और अंतिम अंक 1 है। इसलिए 0.00001 = 10^-5। परिभाषा के अनुसार, यदि 10^n = x है, तो log₁₀(x) = n होता है। यहाँ n = -5 है, इसलिए log₁₀(0.00001) = -5। जाँच: 10^-5 = 1/10^5 = 0.00001।

यहाँ हमें log₁₀(0.01) का मान निकालना है। 0.01 को 10 की घात के रूप में लिखें। इसमें दशमलव बिंदु के बाद 2 अंक हैं और अंतिम अंक 1 है। इसलिए 0.01 = 10^-2। परिभाषा के अनुसार, यदि 10^n = x है, तो log₁₀(x) = n होता है। यहाँ n = -2 है, इसलिए log₁₀(0.01) = -2। जाँच: 10^-2 = 1/10^2 = 0.01।

यहाँ हमें 2 आधार पर 1/32 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/32 को 2 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 2^5 = 32, इसलिए 2^-5 = 1/32। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -5 है, इसलिए 2 आधार पर 1/32 का लघुगणक = -5। जाँच: 2^-5 = 1/(2^5) = 1/32।

यहाँ हमें 2 आधार पर 1/64 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/64 को 2 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 2^6 = 64, इसलिए 2^-6 = 1/64। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -6 है, इसलिए 2 आधार पर 1/64 का लघुगणक = -6। जाँच: 2^-6 = 1/(2^6) = 1/64।

यहाँ हमें 8 आधार पर 1/64 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/64 को 8 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 8^2 = 64, इसलिए 8^-2 = 1/64। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -2 है, इसलिए 8 आधार पर 1/64 का लघुगणक = -2। जाँच: 8^-2 = 1/(8^2) = 1/64।

यहाँ हमें 8 आधार पर 1/32768 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/32768 को 8 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 8^5 = 32768, इसलिए 8^-5 = 1/32768। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -5 है, इसलिए 8 आधार पर 1/32768 का लघुगणक = -5। जाँच: 8^-5 = 1/(8^5) = 1/32768।

यहाँ हमें 5 आधार पर 1/625 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/625 को 5 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 5^4 = 625, इसलिए 5^-4 = 1/625। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -4 है, इसलिए 5 आधार पर 1/625 का लघुगणक = -4। जाँच: 5^-4 = 1/(5^4) = 1/625।

यहाँ हमें 2 आधार पर 1/4 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/4 को 2 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 2^2 = 4, इसलिए 2^-2 = 1/4। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -2 है, इसलिए 2 आधार पर 1/4 का लघुगणक = -2। जाँच: 2^-2 = 1/(2^2) = 1/4।

यहाँ हमें 4 आधार पर 1/1024 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/1024 को 4 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 4^5 = 1024, इसलिए 4^-5 = 1/1024। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -5 है, इसलिए 4 आधार पर 1/1024 का लघुगणक = -5। जाँच: 4^-5 = 1/(4^5) = 1/1024।

यहाँ हमें 6 आधार पर 1/36 का लघुगणक निकालना है। पहले 1/36 को 6 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 6^2 = 36, इसलिए 6^-2 = 1/36। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -2 है, इसलिए 6 आधार पर 1/36 का लघुगणक = -2। जाँच: 6^-2 = 1/(6^2) = 1/36।

यहाँ हमें 10 आधार पर 1/1000 का लघुगणक ज्ञात करना है। पहले 1/1000 को 10 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 10^3 = 1000 है, इसलिए 10^-3 = 1/1000 होगा। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -3 है, इसलिए 10 आधार पर 1/1000 का लघुगणक = -3 है। जाँच: 10^-3 = 1/(10^3) = 1/1000।

यहाँ हमें 4 आधार पर 1/4096 का लघुगणक ज्ञात करना है। पहले 1/4096 को 4 की घात के रूप में लिखें। चूँकि 4^6 = 4096 है, इसलिए 4^-6 = 1/4096 होगा। परिभाषा के अनुसार, यदि a^n = x है, तो log_a(x) = n होता है। यहाँ n = -6 है, इसलिए 4 आधार पर 1/4096 का लघुगणक = -6 है। जाँच: 4^-6 = 1/(4^6) = 1/4096।

यहाँ हमें 12 आधार पर 35831808 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 12 की कौन-सी घात का मान 35831808 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 12^7 की गणना करें: इसका मान 35831808 है। इसलिए 12 आधार पर 35831808 का लघुगणक = 7 है। जाँच: 12^7 = 35831808, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 3 आधार पर 27 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 3 की कौन-सी घात का मान 27 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 3^3 की गणना करें: इसका मान 27 है। इसलिए 3 आधार पर 27 का लघुगणक = 3 है। जाँच: 3^3 = 27, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 12 आधार पर 144 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 12 की कौन-सी घात का मान 144 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 12^2 की गणना करें: इसका मान 144 है। इसलिए 12 आधार पर 144 का लघुगणक = 2 है। जाँच: 12^2 = 144, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 5 आधार पर 15625 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 5 की कौन-सी घात का मान 15625 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 5^6 की गणना करें: इसका मान 15625 है। इसलिए 5 आधार पर 15625 का लघुगणक = 6 है। जाँच: 5^6 = 15625, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 5 आधार पर 3125 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 5 की कौन-सी घात का मान 3125 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 5^5 की गणना करें: इसका मान 3125 है। इसलिए 5 आधार पर 3125 का लघुगणक = 5 है। जाँच: 5^5 = 3125, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 5 आधार पर 625 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 5 की कौन-सी घात का मान 625 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 5^4 की गणना करें: इसका मान 625 है। इसलिए 5 आधार पर 625 का लघुगणक = 4 है। जाँच: 5^4 = 625, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 9 आधार पर 6561 का लघुगणक ज्ञात करना है। इसका अर्थ है: 9 की कौन-सी घात का मान 6561 होता है? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 9^4 की गणना करें: इसका मान 6561 है। इसलिए 9 आधार पर 6561 का लघुगणक = 4 है। जाँच: 9^4 = 6561, जो उत्तर की पुष्टि करता है।

यहाँ हमें 4 आधार पर 4096 का लघुगणक ज्ञात करना है। यानी 4 की कौन-सी घात का मान 4096 होगा? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 4^6 की गणना करें: इसका मान 4096 है। इसलिए 4 आधार पर 4096 का लघुगणक = 6 है। जाँच: 4^6 = 4096, जिससे उत्तर की पुष्टि होती है।

यहाँ हमें 4 आधार पर 16384 का लघुगणक ज्ञात करना है। यानी 4 की कौन-सी घात का मान 16384 होगा? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 4^7 की गणना करें: इसका मान 16384 है। इसलिए 4 आधार पर 16384 का लघुगणक = 7 है। जाँच: 4^7 = 16384, जिससे उत्तर की पुष्टि होती है।

यहाँ हमें 2 आधार पर 32 का लघुगणक ज्ञात करना है। यानी 2 की कौन-सी घात का मान 32 होगा? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 2^5 की गणना करें: इसका मान 32 है। इसलिए 2 आधार पर 32 का लघुगणक = 5 है। जाँच: 2^5 = 32, जिससे उत्तर की पुष्टि होती है।

यहाँ हमें 8 आधार पर 64 का लघुगणक ज्ञात करना है। यानी 8 की कौन-सी घात का मान 64 होगा? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 8^2 की गणना करें: इसका मान 64 है। इसलिए 8 आधार पर 64 का लघुगणक = 2 है। जाँच: 8^2 = 64, जिससे उत्तर की पुष्टि होती है।

यहाँ हमें 12 आधार पर 1728 का लघुगणक ज्ञात करना है। यानी 12 की कौन-सी घात का मान 1728 होगा? परिभाषा के अनुसार, यदि a^k = x है, तो log_a(x) = k होता है। 12^3 की गणना करें: इसका मान 1728 है। इसलिए 12 आधार पर 1728 का लघुगणक = 3 है। जाँच: 12^3 = 1728, जिससे उत्तर की पुष्टि होती है।