लघुगणक: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 2)

यहाँ हमें आधार 2 पर (4)^3 का लघुगणक निकालना है। यहाँ घात का नियम log_a(x^p) = p x log_a(x) लागू होता है। पहले आधार 2 पर 4 का लघुगणक निकालें। चूँकि 4 = 2^2 है, इसलिए आधार 2 पर 4 का लघुगणक = 2 है। अब घात का नियम लगाएँ: 3 x 2 = 6। इसलिए आधार 2 पर (4)^3 का लघुगणक = 6 है। जाँच: 2^6 = (2^2)^3 = 4^3 = 64।

यहाँ हमें आधार 3 पर (81)^4 का लघुगणक निकालना है। यहाँ घात का नियम log_a(x^p) = p x log_a(x) लागू होता है। पहले आधार 3 पर 81 का लघुगणक निकालें। चूँकि 81 = 3^4 है, इसलिए आधार 3 पर 81 का लघुगणक = 4 है। अब घात का नियम लगाएँ: 4 x 4 = 16। इसलिए आधार 3 पर (81)^4 का लघुगणक = 16 है। जाँच: 3^16 = (3^4)^4 = 81^4 = 43046721।

यहाँ हमें (आधार 7 पर 16807 का लघुगणक) + (आधार 7 पर 16807 का लघुगणक) निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए यह योग आधार 7 पर (16807 x 16807) के लघुगणक के बराबर है। अब 16807 x 16807 = 282475249 है। चूँकि 16807 = 7^5 और 16807 = 7^5 हैं, इसलिए 282475249 = 7^(5+5) = 7^10 मिलता है। परिभाषा के अनुसार, आधार 7 पर 7^10 का लघुगणक = 10 है। इसलिए उत्तर 10 है।

यहाँ हमें (आधार 5 पर 15625 का लघुगणक) + (आधार 5 पर 25 का लघुगणक) निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए यह योग आधार 5 पर (15625 x 25) के लघुगणक के बराबर है। अब 15625 x 25 = 390625 है। चूँकि 15625 = 5^6 और 25 = 5^2 हैं, इसलिए 390625 = 5^(6+2) = 5^8 मिलता है। परिभाषा के अनुसार, आधार 5 पर 5^8 का लघुगणक = 8 है। इसलिए उत्तर 8 है।

यहाँ हमें (log_5(3125)) + (log_5(15625)) का मान निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए योग log_5(3125 x 15625) के बराबर है। अब 3125 x 15625 = 48828125। चूँकि 3125 = 5^5 और 15625 = 5^6, इसलिए 48828125 = 5^(5+6) = 5^11। परिभाषा के अनुसार, log_5(5^11) = 11। इसलिए उत्तर 11 है।

यहाँ हमें (log_4(4096)) + (log_4(4096)) का मान निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए योग log_4(4096 x 4096) के बराबर है। अब 4096 x 4096 = 16777216। चूँकि 4096 = 4^6 और 4096 = 4^6, इसलिए 16777216 = 4^(6+6) = 4^12। परिभाषा के अनुसार, log_4(4^12) = 12। इसलिए उत्तर 12 है।

यहाँ हमें (log_5(25)) + (log_5(25)) का मान निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए योग log_5(25 x 25) के बराबर है। अब 25 x 25 = 625। चूँकि 25 = 5^2 और 25 = 5^2, इसलिए 625 = 5^(2+2) = 5^4। परिभाषा के अनुसार, log_5(5^4) = 4। इसलिए उत्तर 4 है।

यहाँ हमें (log_4(64)) + (log_4(16)) का मान निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए योग log_4(64 x 16) के बराबर है। अब 64 x 16 = 1024। चूँकि 64 = 4^3 और 16 = 4^2, इसलिए 1024 = 4^(3+2) = 4^5। परिभाषा के अनुसार, log_4(4^5) = 5। इसलिए उत्तर 5 है।

यहाँ हमें (log_8(64)) + (log_8(512)) का मान निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए योग log_8(64 x 512) के बराबर है। अब 64 x 512 = 32768। चूँकि 64 = 8^2 और 512 = 8^3, इसलिए 32768 = 8^(2+3) = 8^5। परिभाषा के अनुसार, log_8(8^5) = 5। इसलिए उत्तर 5 है।

यहाँ हमें (log_5(15625)) + (log_5(15625)) का मान निकालना है। यहाँ log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy) का नियम लागू होता है। इसलिए योग log_5(15625 x 15625) के बराबर है। अब 15625 x 15625 = 244140625। चूँकि 15625 = 5^6 और 15625 = 5^6, इसलिए 244140625 = 5^(6+6) = 5^12। परिभाषा के अनुसार, log_5(5^12) = 12। इसलिए उत्तर 12 है।

यहाँ log_x(161051) = 5 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^5 = a। इसलिए x^5 = 161051। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का पाँचवाँ मूल लें। इसलिए x = 161051^(1/5) = 11। जाँच: 11^5 = 161051।

यहाँ log_x(256) = 4 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^4 = a। इसलिए x^4 = 256। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का चौथा मूल लें। इसलिए x = 256^(1/4) = 4। जाँच: 4^4 = 256।

यहाँ x आधार पर 16807 का लघुगणक = 5 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^5 = a। इसलिए x^5 = 16807। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का 5वाँ मूल लें। इसलिए x = 16807^(1/5) = 7। जाँच: 7^5 = 16807।

यहाँ x आधार पर 100 का लघुगणक = 2 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^2 = a। इसलिए x^2 = 100। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इसलिए x = 100^(1/2) = 10। जाँच: 10^2 = 100।

यहाँ x आधार पर 81 का लघुगणक = 2 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^2 = a। इसलिए x^2 = 81। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इसलिए x = 81^(1/2) = 9। जाँच: 9^2 = 81।

यहाँ x आधार पर 64 का लघुगणक = 2 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^2 = a। इसलिए x^2 = 64। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इसलिए x = 64^(1/2) = 8। जाँच: 8^2 = 64।

यहाँ x आधार पर 537824 का लघुगणक = 5 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^5 = a। इसलिए x^5 = 537824। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का 5वाँ मूल लें। इसलिए x = 537824^(1/5) = 14। जाँच: 14^5 = 537824।

यहाँ आधार x पर 100000 का लघुगणक = 5 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_x(a) = k का अर्थ है x^5 = a। इसलिए x^5 = 100000। x का मान निकालने के लिए दोनों पक्षों का 5वाँ मूल लें। इसलिए x = 100000^(1/5) = 10। जाँच: 10^5 = 100000।

यहाँ आधार 4 पर x का लघुगणक = 3 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। इसलिए x = 4^3। 4^3 का मान निकालने पर x = 64 मिलता है। जाँच: आधार 4 पर 64 का लघुगणक = 3 है, क्योंकि 4^3 = 64।

यहाँ आधार 6 पर x का लघुगणक = -2 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। चूँकि k ऋणात्मक है, इसलिए x = 6^-2 = 1/6^2। अब 6^2 = 36। इसलिए x = 1/36। जाँच: आधार 6 पर 1/36 का लघुगणक = -2 है, क्योंकि 6^2 = 36।

यहाँ आधार 3 पर x का लघुगणक = 2 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। इसलिए x = 3^2। 3^2 का मान निकालने पर x = 9 मिलता है। जाँच: आधार 3 पर 9 का लघुगणक = 2 है, क्योंकि 3^2 = 9।

यहाँ आधार 10 पर x का लघुगणक = 1 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। इसलिए x = 10^1। 10^1 का मान निकालने पर x = 10 मिलता है। जाँच: आधार 10 पर 10 का लघुगणक = 1 है, क्योंकि 10^1 = 10।

यहाँ आधार 11 पर x का लघुगणक = -4 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। चूँकि k ऋणात्मक है, इसलिए x = 11^-4 = 1/11^4। अब 11^4 = 14641। इसलिए x = 1/14641। जाँच: आधार 11 पर 1/14641 का लघुगणक = -4 है, क्योंकि 11^4 = 14641।

यहाँ आधार 3 पर x का लघुगणक = -3 है। घातीय रूप में बदलने पर: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। चूँकि k ऋणात्मक है, इसलिए x = 3^-3 = 1/3^3। अब 3^3 = 27। इसलिए x = 1/27। जाँच: आधार 3 पर 1/27 का लघुगणक = -3 है, क्योंकि 3^3 = 27।

यहाँ 3 आधार पर x का लघुगणक = -4 है। इसे घातीय रूप में बदलें: log_a(x) = k का अर्थ है x = a^k। चूँकि k ऋणात्मक है, इसलिए x = 3^-4 = 1/3^4। अब 3^4 = 81। इसलिए x = 1/81। जाँच: 3 आधार पर 1/81 का लघुगणक = -4 है, क्योंकि 3^4 = 81।