इस पाठ में हर नियम, उसके काम करने का कारण और सात हल किए गए उदाहरण दिए गए हैं। इसमें उन आम गलतियों की सूची भी है जिनसे अंक कटते हैं।
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प्र1. ‘DAUGHTER’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि स्वर हमेशा एक साथ रहें?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
‘DAUGHTER’ के 3 स्वरों (AUE) को एक समूह मानें, क्योंकि उन्हें एक साथ रहना है। इस तरह ‘DAUGHTER’ में व्यवस्थित करने के लिए 5 व्यंजन और स्वरों का 1 समूह, यानी कुल 6 इकाइयाँ होंगी। इन 6 इकाइयों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। समूह के भीतर 3 स्वरों को आपस में 6 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 720 x 6 = 4320।
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प्र2. ‘MEASURE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि स्वर हमेशा एक साथ रहें?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
‘MEASURE’ के 4 स्वरों (EAUE) को एक समूह मानें, क्योंकि उन्हें एक साथ रहना है। इस तरह ‘MEASURE’ में 3 व्यंजन और स्वरों का 1 समूह, यानी व्यवस्थित करने के लिए कुल 4 इकाइयाँ होंगी। इन 4 इकाइयों को 24 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। समूह के भीतर 4 स्वरों को आपस में 12 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 24 x 12 = 288।
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प्र3. ‘COUSIN’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, ताकि स्वर हमेशा एक साथ रहें?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
‘COUSIN’ के 3 स्वरों (OUI) को एक समूह मानें, क्योंकि उन्हें एक साथ रहना है। इस तरह ‘COUSIN’ में व्यवस्थित करने के लिए 3 व्यंजन और स्वरों का 1 समूह, यानी कुल 4 इकाइयाँ होंगी। इन 4 इकाइयों को 24 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। समूह के भीतर 3 स्वरों को आपस में 6 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 24 x 6 = 144।
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प्र4. ‘COUNTRY’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि स्वर हमेशा एक साथ रहें?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
‘COUNTRY’ के 2 स्वरों (OU) को एक इकाई मानें, क्योंकि उन्हें एक साथ रहना है। इस तरह ‘COUNTRY’ में 5 व्यंजन और स्वरों की 1 इकाई, यानी व्यवस्थित करने के लिए कुल 6 इकाइयाँ हो जाती हैं। इन 6 इकाइयों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। स्वरों की इकाई के भीतर, 2 स्वरों को आपस में 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 720 x 2 = 1440।
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प्र5. ‘PLANET’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दोनों सिरों पर स्वर हों?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
‘PLANET’ शब्द में 6 अक्षर हैं: 2 स्वर और 4 व्यंजन। हमें दोनों स्वरों को दोनों सिरों पर रखना है। इन दो स्थानों पर 2 स्वरों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। बाकी 4 व्यंजनों को बीच के स्थानों पर 4! तरीकों से रखा जा सकता है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 2 x 24 = 48।
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प्र6. ‘SILVER’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दोनों सिरों पर स्वर हों?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
‘SILVER’ शब्द में 6 अक्षर हैं: 2 स्वर और 4 व्यंजन। हमें दोनों स्वरों को दोनों सिरों पर रखना है। इन दो स्थानों पर 2 स्वरों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। बचे हुए 4 व्यंजनों को बीच के स्थानों पर 4! तरीकों से रखा जा सकता है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 2 x 24 = 48।
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प्र7. ‘WINTER’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, ताकि स्वर दोनों सिरों पर हों?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
‘WINTER’ शब्द में 6 अक्षर हैं: 2 स्वर और 4 व्यंजन। हमें दोनों स्वरों को दोनों सिरों पर रखना है। इन दोनों स्थानों पर 2 स्वरों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। बचे हुए 4 व्यंजनों को बीच के स्थानों पर 4! तरीकों से रखा जा सकता है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। गिनती के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 2 x 24 = 48।
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प्र8. ‘GARDEN’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दोनों सिरों पर स्वर हों?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
‘GARDEN’ शब्द में 6 अक्षर हैं: 2 स्वर और 4 व्यंजन। हमें दोनों स्वरों को दोनों सिरों पर रखना है। इन 2 स्वरों को दोनों सिरों पर 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। बाकी 4 व्यंजनों को बीच के स्थानों पर 4! तरीकों से रखा जा सकता है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 2 x 24 = 48।
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प्र9. ‘DESIGN’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दोनों सिरों पर स्वर हों?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
‘DESIGN’ शब्द में 6 अक्षर हैं: 2 स्वर और 4 व्यंजन। हमें दोनों स्वरों को दोनों सिरों पर रखना है। इन दोनों स्थानों पर 2 स्वरों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। बाकी 4 व्यंजनों को बीच के स्थानों पर 4! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 2 x 24 = 48।
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प्र10. ‘MARKET’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दोनों सिरों पर स्वर हों?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
‘MARKET’ शब्द में 6 अक्षर हैं: 2 स्वर और 4 व्यंजन। हमें दोनों स्वरों को दोनों सिरों पर रखना है। इन दोनों स्थानों पर 2 स्वरों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। बाकी 4 व्यंजनों को बीच के स्थानों पर 4! तरीकों से रखा जा सकता है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 2 x 24 = 48।
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प्र11. ‘COMMITTEE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
‘COMMITTEE’ शब्द में कुल 9 अक्षर हैं। लेकिन E, M और T प्रत्येक 2 बार आते हैं। किसी भी अक्षर की दोनों प्रतियाँ एक जैसी होती हैं। एक जैसे अक्षरों की जगह आपस में बदलने से व्यवस्था नहीं बदलती, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 9! / (2! x 2! x 2!) = 45360। इसलिए ‘COMMITTEE’ के अक्षरों को 45360 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र12. ‘SUCCESS’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
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उत्तर: D
‘SUCCESS’ शब्द में कुल 7 अक्षर हैं। लेकिन C 2 बार और S 3 बार आता है। बार-बार आने वाले ये अक्षर आपस में एक जैसे हैं। एक जैसे अक्षरों की जगह आपस में बदलने पर व्यवस्था वही रहती है, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 7! / (2! x 3!) = 420। इसलिए ‘SUCCESS’ के अक्षरों को 420 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र13. ‘COFFEE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
‘COFFEE’ शब्द में कुल 6 अक्षर हैं। लेकिन E 2 बार और F 2 बार आता है। ये दोहराए गए अक्षर एक जैसे हैं। एक जैसे अक्षरों को आपस में बदलने पर व्यवस्था वही रहती है, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! / (2! x 2!) = 180। इसलिए ‘COFFEE’ के अक्षरों को 180 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र14. ‘MISSISSIPPI’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
‘MISSISSIPPI’ शब्द में कुल 11 अक्षर हैं। इसमें I 4 बार, P 2 बार और S 4 बार आता है। एक ही अक्षर की सभी प्रतियाँ समान होती हैं। समान अक्षरों की जगह आपस में बदलने पर व्यवस्था नहीं बदलती, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 11! / (4! x 2! x 4!) = 34650। इसलिए ‘MISSISSIPPI’ के अक्षरों को 34650 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र15. ‘BALLOON’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
‘BALLOON’ शब्द में कुल 7 अक्षर हैं। लेकिन L 2 बार और O 2 बार आता है। एक ही अक्षर की दोनों प्रतियाँ एक जैसी होती हैं। इन्हें आपस में बदलने पर भी व्यवस्था वही रहती है, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 7! / (2! x 2!) = 1260। इसलिए ‘BALLOON’ के अक्षरों को 1260 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र16. ‘APPLE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
‘APPLE’ शब्द में कुल 5 अक्षर हैं। लेकिन P 2 बार आता है, इसलिए ये दोहराए गए अक्षर एक जैसे हैं। एक जैसे अक्षरों की जगह आपस में बदलने से व्यवस्था नहीं बदलती, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 5! / (2!) = 60। इसलिए ‘APPLE’ के अक्षरों को 60 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र17. ‘LETTER’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
‘LETTER’ शब्द में कुल 6 अक्षर हैं। लेकिन E और T, दोनों 2-2 बार आते हैं। एक जैसे अक्षरों को आपस में बदलने से कोई नई व्यवस्था नहीं बनती, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! / (2! x 2!) = 180। इसलिए ‘LETTER’ के अक्षरों को 180 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र18. ‘BANANA’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
‘BANANA’ शब्द में कुल 6 अक्षर हैं। लेकिन A 3 बार और N 2 बार आता है। ये दोहराए गए अक्षर आपस में एक जैसे हैं। एक जैसे अक्षरों की जगह आपस में बदलने पर व्यवस्था वही रहती है, इसलिए हमें भाग देना होगा। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! / (3! x 2!) = 60। इसलिए ‘BANANA’ के अक्षरों को 60 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र19. ‘PLANET’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
‘PLANET’ शब्द में 6 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। चूँकि हर अक्षर अलग है, इसलिए क्रम तय करने में हर स्थान मायने रखता है। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720। इसलिए ‘PLANET’ के अक्षरों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र20. ‘FIGHT’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
‘FIGHT’ शब्द में 5 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। चूँकि हर अक्षर अलग है, इसलिए क्रम में हर स्थान का महत्व है। व्यवस्थाओं की संख्या = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120। इसलिए ‘FIGHT’ के अक्षरों को 120 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र21. ‘BRIDGE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
‘BRIDGE’ शब्द में 6 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। हर अक्षर अलग है, इसलिए क्रम तय करने में हर स्थान का महत्व है। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720। इसलिए ‘BRIDGE’ के अक्षरों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र22. ‘WINTER’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
‘WINTER’ शब्द में 6 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। चूँकि हर अक्षर अलग है, इसलिए क्रम तय करने में हर स्थान महत्वपूर्ण है। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720। इसलिए ‘WINTER’ के अक्षरों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र23. ‘TABLE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
‘TABLE’ शब्द में 5 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। हर अक्षर अलग है, इसलिए क्रम तय करने में हर स्थान का महत्व है। व्यवस्थाओं की संख्या = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120। इसलिए ‘TABLE’ के अक्षरों को 120 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र24. ‘PENCIL’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
‘PENCIL’ शब्द में 6 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। हर अक्षर अलग होने के कारण, क्रम में उसका स्थान मायने रखता है। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720। इसलिए ‘PENCIL’ के अक्षरों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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प्र25. ‘MOBILE’ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
‘MOBILE’ शब्द में 6 अक्षर हैं और सभी अलग-अलग हैं। चूँकि हर अक्षर अलग है, इसलिए क्रम में हर स्थान का महत्व है। व्यवस्थाओं की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720। इसलिए ‘MOBILE’ के अक्षरों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
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