क्रमचय और संचय: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 2)

एक विशेष व्यक्ति को समिति में हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति की जगह पहले से तय है, इसलिए उसका चयन करने की जरूरत नहीं है। हमें केवल बाकी 9 लोगों में से शेष 2 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 9C2 = 36.

समिति में एक विशेष व्यक्ति को हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति की जगह पहले से तय है, इसलिए उसका चयन करने की जरूरत नहीं है। हमें केवल बाकी 11 लोगों में से शेष 2 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 11C2 = 55.

एक विशेष व्यक्ति को समिति से हमेशा बाहर रखना है। इसलिए कुल लोगों में से 1 व्यक्ति को हटाने पर चयन के लिए 12 लोग बचते हैं। समिति के सभी 5 सदस्य इन्हीं शेष 12 लोगों में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या = 12C5 = 792.

एक विशेष व्यक्ति को समिति में हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति की जगह पहले से तय है, इसलिए उसका चयन करने की जरूरत नहीं है। हमें केवल बाकी 7 लोगों में से शेष 5 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 7C5 = 21.

समिति में एक विशेष व्यक्ति को हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति का स्थान पहले से तय है, इसलिए उसे चुनने की आवश्यकता नहीं है। हमें केवल बाकी 9 लोगों में से शेष 6 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 9C6 = 84.

एक खास व्यक्ति को हमेशा समिति से बाहर रखना है। इसलिए चुनने के लिए उपलब्ध लोगों में से 1 व्यक्ति हट जाता है और 7 लोग बचते हैं। समिति के सभी 5 सदस्य इन्हीं बचे हुए 7 लोगों में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या = 7C5 = 21.

एक विशेष व्यक्ति को हमेशा समिति से बाहर रखना है। इसलिए कुल लोगों में से 1 व्यक्ति हट जाता है और चयन के लिए 16 लोग बचते हैं। समिति के सभी 5 सदस्यों को इन शेष 16 लोगों में से चुना जाएगा। तरीकों की संख्या = 16C5 = 4368.

एक विशेष व्यक्ति को समिति में हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति की जगह पहले से तय है, इसलिए हमें उसका चयन नहीं करना है। हमें केवल बाकी 19 लोगों में से शेष 4 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 19C4 = 3876.

हमें 15 लोगों में से 6 लोगों को चुनना है और चुनने का क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह है, इसलिए हम संचय (combinations) का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 15C6 = 15! / (6! x 9!) = 5005.

हम 8 लोगों में से 3 लोगों को चुन रहे हैं, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह होती है, कोई क्रमबद्ध सूची नहीं, इसलिए हम संचय का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 8C3 = 8! / (3! x 5!) = 56.

हमें 17 लोगों में से 3 लोगों को चुनना है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह होती है, कोई क्रमबद्ध सूची नहीं, इसलिए हम संचय का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 17C3 = 17! / (3! x 14!) = 680.

हमें 11 लोगों में से 5 लोगों को चुनना है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह होती है, कोई क्रम नहीं, इसलिए हम संचय का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 11C5 = 11! / (5! x 6!) = 462.

हमें 20 लोगों में से 5 लोगों को चुनना है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह है, कोई क्रमबद्ध सूची नहीं, इसलिए हम संचय (combinations) का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 20C5 = 20! / (5! x 15!) = 15504.

हमें 17 लोगों में से 6 लोगों को चुनना है और उन्हें चुनने का क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह होती है, कोई क्रमबद्ध सूची नहीं, इसलिए हम संचय का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 17C6 = 17! / (6! x 11!) = 12376.

हमें 20 लोगों में से 4 लोगों को चुनना है, और चयन का क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह होती है, कोई क्रमबद्ध सूची नहीं, इसलिए हम संचय (combinations) का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 20C4 = 20! / (4! x 16!) = 4845.

हमें 19 लोगों में से 3 लोगों को चुनना है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह है, कोई क्रमबद्ध सूची नहीं, इसलिए हम संचय (combinations) का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 19C3 = 19! / (3! x 16!) = 969.

हमें 10 लोगों में से 5 लोगों को चुनना है, जिसमें क्रम का कोई महत्व नहीं है। समिति एक समूह होती है, इसलिए हम संचय का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 10C5 = 10! / (5! x 5!) = 252.

हमें 11 लोगों में से 2 लोगों को चुनना है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। समिति एक समूह होती है, इसलिए हम संचय का उपयोग करते हैं। तरीकों की संख्या = 11C2 = 11! / (2! x 9!) = 55.

‘DIRECTOR’ के कुल विन्यास = 20160, जो दोहराए गए अक्षरों के लिए 8! में समायोजन करके मिलते हैं। जिन विन्यासों में स्वर एक साथ रहते हैं = 2160, जिन्हें खंड विधि से निकाला गया है। हर विन्यास में या तो स्वर एक साथ होते हैं या नहीं होते। कोई तीसरी संभावना नहीं है। इसलिए जिन विन्यासों में स्वर कभी एक साथ नहीं होते = कुल विन्यास में से स्वरों के एक साथ होने वाले विन्यास घटाएँ। 20160 – 2160 = 18000.

‘MEASURE’ के अक्षरों की कुल व्यवस्थाएँ = 2520, जो दोहराए गए अक्षरों को ध्यान में रखकर 7! से निकाली जाती हैं। जिन व्यवस्थाओं में स्वर एक साथ रहते हैं = 288, जिन्हें ब्लॉक विधि से निकाला जाता है। हर व्यवस्था में या तो स्वर एक साथ होते हैं या एक साथ नहीं होते। इसके अलावा कोई और संभावना नहीं है। इसलिए जिन व्यवस्थाओं में स्वर एक साथ नहीं होते = कुल व्यवस्थाएँ घटा वे व्यवस्थाएँ जिनमें स्वर एक साथ होते हैं। 2520 – 288 = 2232.

‘COUSIN’ की कुल व्यवस्थाएँ = 720, जो दोहराए गए अक्षरों के लिए समायोजन करके 6! से प्राप्त होती हैं। जिन व्यवस्थाओं में स्वर एक साथ रहते हैं = 144, जिन्हें खंड विधि से निकाला गया है। हर व्यवस्था में या तो स्वर एक साथ होते हैं या वे एक साथ नहीं होते। कोई तीसरी संभावना नहीं है। इसलिए जिन व्यवस्थाओं में स्वर कभी एक साथ नहीं होते = कुल व्यवस्थाएँ घटा एक साथ होने वाली व्यवस्थाएँ। 720 – 144 = 576.

‘DESIGN’ की कुल व्यवस्थाएँ = 720, जो दोहराए गए अक्षरों के लिए समायोजन करके 6! से प्राप्त होती हैं। जिन व्यवस्थाओं में स्वर एक साथ रहते हैं = 240, जिन्हें खंड विधि से निकाला गया है। हर व्यवस्था में स्वर या तो एक साथ होते हैं या एक साथ नहीं होते। इसके अलावा कोई और संभावना नहीं है। इसलिए जिन व्यवस्थाओं में स्वर कभी एक साथ नहीं होते = कुल व्यवस्थाएँ घटा स्वर एक साथ होने वाली व्यवस्थाएँ। 720 – 240 = 480.

‘GARDEN’ की कुल व्यवस्थाएँ = 720, जो दोहराए गए अक्षरों के लिए समायोजन करके 6! से प्राप्त होती हैं। जिन व्यवस्थाओं में स्वर एक साथ हों = 240, जिन्हें खंड विधि से गिना जाता है। हर व्यवस्था में स्वर या तो एक साथ होते हैं या एक साथ नहीं होते। कोई तीसरी संभावना नहीं है। इसलिए जिन व्यवस्थाओं में स्वर कभी एक साथ न हों = कुल व्यवस्थाएँ घटा वे व्यवस्थाएँ जिनमें स्वर एक साथ हों। 720 – 240 = 480.

‘DAUGHTER’ के अक्षरों की कुल व्यवस्थाएँ = 40320, जो दोहराए गए अक्षरों के लिए समायोजन करके 8! से प्राप्त होती हैं। जिन व्यवस्थाओं में सभी स्वर एक साथ रहते हैं = 4320, जिन्हें स्वरों को एक समूह मानकर निकाला गया है। हर व्यवस्था में या तो सभी स्वर एक साथ होते हैं या नहीं होते। कोई तीसरी संभावना नहीं है। इसलिए जिन व्यवस्थाओं में सभी स्वर एक साथ नहीं होते = कुल व्यवस्थाएँ घटा सभी स्वर एक साथ होने वाली व्यवस्थाएँ। 40320 – 4320 = 36000.

‘DIRECTOR’ के 3 स्वरों (IEO) को एक समूह मानें, क्योंकि उन्हें एक साथ रहना है। तब ‘DIRECTOR’ में व्यवस्थित करने के लिए 5 व्यंजन और स्वरों का 1 समूह, यानी कुल 6 इकाइयाँ हो जाती हैं। इन 6 इकाइयों को 360 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। समूह के भीतर 3 स्वरों को आपस में 6 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल व्यवस्थाएँ = 360 x 6 = 2160।