वर्गमूल और घनमूल: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 2)

मान लें N = 726। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^1 x 3^1 x 11^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 2 कम है। 3^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। 11^2 में घातांक पहले से सम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में 2 x 3 के अतिरिक्त गुणनखंड चाहिए। N को 6 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 726 x 6 = 4356, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 363। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 3^1 x 11^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 3^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। 11^2 में घातांक पहले से सम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 3 चाहिए। N को 3 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 363 x 3 = 1089, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 1352। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^3 x 13^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^3 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 2 कम है। 13^2 में घातांक पहले से सम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 2 चाहिए। N को 2 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 1352 x 2 = 2704, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 968। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^3 x 11^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^3 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 2 कम है। 11^2 में घातांक पहले से सम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 2 चाहिए। N को 2 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 968 x 2 = 1936, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 972। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 3^5 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^2 में घातांक पहले से सम है। 3^5 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 3 चाहिए। N को 3 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 972 x 3 = 2916, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 1183। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 7^1 x 13^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 7^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 7 कम है। 13^2 में घातांक पहले से सम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 7 चाहिए। N को 7 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 1183 x 7 = 8281, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 180। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 3^2 x 5^1 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^2 में घातांक पहले से सम है। 3^2 में घातांक पहले से सम है। 5^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 5 कम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 5 चाहिए। N को 5 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 180 x 5 = 900, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 288। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^5 x 3^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होनी चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को देखें: 2^5 में घात विषम है और जोड़ा पूरा करने के लिए एक और 2 चाहिए। 3^2 में घात पहले से सम है। इसलिए सभी जोड़े पूरे करने के लिए N में एक और गुणनखंड 2 चाहिए। N को 2 से गुणा करने पर यही होता है। जाँच: 288 x 2 = 576, और अब इसके अभाज्य गुणनखंडन में हर घात सम है।

मान लें x = 0.512। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.8 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए उसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँचें: 0.8 x 0.8 x 0.8 = 0.512। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.512 का घनमूल 0.8 है।

मान लें x = 0.216। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.6 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए उसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँचें: 0.6 x 0.6 x 0.6 = 0.216। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.216 का घनमूल 0.6 है।

मान लें x = 0.008। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.2 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए इसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.2 x 0.2 x 0.2 = 0.008। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.008 का घनमूल 0.2 है।

मान लें x = 0.343। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.7 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए इसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.7 x 0.7 x 0.7 = 0.343। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.343 का घनमूल 0.7 है।

मान लें x = 0.064। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.4 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए इसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.4 x 0.4 x 0.4 = 0.064। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.064 का घनमूल 0.4 है।

मान लें x = 0.125। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.5 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए इसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.125। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.125 का घनमूल 0.5 है।

मान लें x = 0.027। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.3 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए इसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.3 x 0.3 x 0.3 = 0.027। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.027 का घनमूल 0.3 है।

मान लें x = 0.729। हमें x का घनमूल निकालना है। चूँकि 0.9 में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए इसके घन में दशमलव के बाद अधिकतम 3 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.9 x 0.9 x 0.9 = 0.729। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.729 का घनमूल 0.9 है।

मान लें N = 27000। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए, जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 30 x 30 x 30 = 27000 है, इसलिए r = 30 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 27000 का घनमूल 30 है। इससे पुष्टि होती है कि 30 सही घनमूल है।

मान लें N = 1728। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए, जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 12 x 12 x 12 = 1728 है, इसलिए r = 12 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 1728 का घनमूल 12 है। इससे पुष्टि होती है कि 12 सही घनमूल है।

मान लें N = 39304। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए, जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 34 x 34 x 34 = 39304 है, इसलिए r = 34 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 39304 का घनमूल 34 है। इससे पुष्टि होती है कि 34 सही घनमूल है।

मान लें N = 79507। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए, जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 43 x 43 x 43 = 79507 है, इसलिए r = 43 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 79507 का घनमूल 43 है। इससे पुष्टि होती है कि 43 सही घनमूल है।

मान लें N = 2744। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए, जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 14 x 14 x 14 = 2744 है, इसलिए r = 14 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 2744 का घनमूल 14 है। इससे पुष्टि होती है कि 14 सही घनमूल है।

मान लें N = 13824। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए, जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 24 x 24 x 24 = 13824 है, इसलिए r = 24 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 13824 का घनमूल 24 है। इससे पुष्टि होती है कि 24 सही घनमूल है।

मान लें N = 10648। हमें ऐसी पूर्ण संख्या r चाहिए कि r x r x r = N हो। चूँकि 22 x 22 x 22 = 10648 है, इसलिए r = 22 इस शर्त को पूरी तरह संतुष्ट करता है। अतः 10648 का घनमूल 22 है। इससे पुष्टि होती है कि 22 सही घनमूल है।

मान लें N = 32768। हमें ऐसी पूर्ण संख्या r चाहिए कि r x r x r = N हो। चूँकि 32 x 32 x 32 = 32768 है, इसलिए r = 32 इस शर्त को पूरी तरह संतुष्ट करता है। अतः 32768 का घनमूल 32 है। इससे पुष्टि होती है कि 32 सही घनमूल है।

मान लें N = 5832। हमें ऐसी पूर्ण संख्या r चाहिए कि r x r x r = N हो। चूँकि 18 x 18 x 18 = 5832 है, इसलिए r = 18 इस शर्त को पूरी तरह संतुष्ट करता है। अतः 5832 का घनमूल 18 है। इससे पुष्टि होती है कि 18 सही घनमूल है।