वर्गमूल और घनमूल: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

किसी पूर्ण घन के अभाज्य गुणनखंडन में घातांक हमेशा 3 के गुणज होते हैं। उदाहरण के लिए, 216 = 2^3 x 3^3, और दोनों घातांक 3 के गुणज हैं। यदि कोई भी घातांक 3 का गुणज न हो, तो वह संख्या पूर्ण घन नहीं हो सकती। इसलिए पूर्ण घन होने की शर्त है कि प्रत्येक घातांक 3 का गुणज हो।

किसी पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडन में घातांक हमेशा सम होते हैं। उदाहरण के लिए, 36 = 2^2 x 3^2, और दोनों घातांक सम हैं। यदि कोई भी घातांक विषम हो, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। इसलिए पूर्ण वर्ग होने की शर्त है कि प्रत्येक घातांक सम हो।

जब आप किसी संख्या का घन करते हैं, तो प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक तीन गुना हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि N = 2^3 x 3^3 है, तो N, 6 का घन है। घनमूल निकालने पर इस क्रिया का उलटा होता है। इसलिए नियम है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के घातांक को 3 से भाग दिया जाए।

जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक दोगुना हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि N = 2^2 x 3^2 है, तो N, 6 का वर्ग है। वर्गमूल निकालने पर इस क्रिया का उलटा होता है। इसलिए नियम है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के घातांक को आधा किया जाए।

0 से 9 तक की संख्याओं के वर्गों के अंतिम अंक केवल कुछ निश्चित अंक होते हैं। जाँच करें: 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25। आगे: 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 0^2=0। इसलिए किसी पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक हमेशा 0, 1, 4, 5, 6 या 9 होता है। दिए गए विकल्पों में केवल 8 कभी इकाई अंक नहीं हो सकता।

किसी पूर्ण संख्या का घन करने पर पूर्ण घन प्राप्त होता है। यदि m एक पूर्ण संख्या है, तो m x m x m एक पूर्ण घन है। उदाहरण के लिए, 4 x 4 x 4 = 64, इसलिए 64 एक पूर्ण घन है। इसे ठीक 4 को तीन बार गुणा करने के रूप में लिखा जा सकता है।

किसी पूर्ण संख्या का वर्ग करने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है। यदि m एक पूर्ण संख्या है, तो m x m एक पूर्ण वर्ग है। उदाहरण के लिए, 6 x 6 = 36, इसलिए 36 एक पूर्ण वर्ग है। इसे ठीक 6 और स्वयं 6 के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें कोई शेष नहीं बचता।

x का घनमूल एक ऐसी संख्या r है जिसके लिए r x r x r = x होता है। r की तीसरी घात निकालने पर ठीक x प्राप्त होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 3 x 3 x 3 = 27, इसलिए 27 का घनमूल 3 है। इसी कारण 27 का घनमूल 3 के बराबर है।

x का वर्गमूल एक ऐसी संख्या r है जिसके लिए r x r = x होता है। r को स्वयं से एक बार गुणा करने पर ठीक x प्राप्त होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 5 x 5 = 25, इसलिए 25 का वर्गमूल 5 है। इसी कारण √25 = 5 है और इसका कोई अन्य मान नहीं है।

मान लें N = 1536। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^9 x 3^1 है। पूर्ण घन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की जाँच करें: 2^9 का घातांक पहले से ही 3 का गुणज है। 3^1 में घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 2 और चाहिए। इसलिए सभी घातांकों को उपयुक्त बनाने के लिए N को 3^2 = 9 से गुणा करना होगा। N को 9 से गुणा करने पर यही होता है। जाँच: 1536 x 9 = 13824, और अब इसके गुणनखंडन में प्रत्येक घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 500। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 5^3 है। पूर्ण घन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की जाँच करें: 2^2 में घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 1 और चाहिए। 5^3 का घातांक पहले से ही 3 का गुणज है। इसलिए सभी घातांकों को उपयुक्त बनाने के लिए N को 2^1 = 2 से गुणा करना होगा। N को 2 से गुणा करने पर यही होता है। जाँच: 500 x 2 = 1000, और अब इसके गुणनखंडन में प्रत्येक घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 375। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 3^1 x 5^3 है। पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 3^1 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 2 और बढ़ाना होगा। 5^3 में घातांक पहले से 3 का गुणज है। इसलिए हर घातांक को उपयुक्त बनाने के लिए N को 3^2 = 9 से गुणा करना होगा। N को 9 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 375 x 9 = 3375, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 1372। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 7^3 है। पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^2 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 1 और बढ़ाना होगा। 7^3 में घातांक पहले से 3 का गुणज है। इसलिए हर घातांक को उपयुक्त बनाने के लिए N को 2^1 = 2 से गुणा करना होगा। N को 2 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 1372 x 2 = 2744, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 4320। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^5 x 3^3 x 5^1 है। पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^5 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 1 और बढ़ाना होगा। 3^3 में घातांक पहले से 3 का गुणज है। 5^1 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 2 और बढ़ाना होगा। इसलिए हर घातांक को उपयुक्त बनाने के लिए N को 2^1 x 5^2 = 50 से गुणा करना होगा। N को 50 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 4320 x 50 = 216000, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 72। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^3 x 3^2 है। पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^3 में घातांक पहले से 3 का गुणज है। 3^2 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 1 और बढ़ाना होगा। इसलिए हर घातांक को उपयुक्त बनाने के लिए N को 3^1 = 3 से गुणा करना होगा। N को 3 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 72 x 3 = 216, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 2916। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 3^6 है। पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^2 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 1 और बढ़ाना होगा। 3^6 में घातांक पहले से 3 का गुणज है। इसलिए हर घातांक को उपयुक्त बनाने के लिए N को 2^1 = 2 से गुणा करना होगा। N को 2 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 2916 x 2 = 5832, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 250। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^1 x 5^3 है। पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^1 के घातांक को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, इसलिए उसे 3 का गुणज बनाने के लिए 2 और बढ़ाना होगा। 5^3 में घातांक पहले से 3 का गुणज है। इसलिए हर घातांक को उपयुक्त बनाने के लिए N को 2^2 = 4 से गुणा करना होगा। N को 4 से गुणा करने पर यही होता है। जाँचें: 250 x 4 = 1000, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक 3 का गुणज है।

मान लें N = 675। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 3^3 x 5^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 3^3 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। 5^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 3 है। N को 3 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 675 / 3 = 225, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 1183। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 7^1 x 13^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 7^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 7 कम है। 13^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 7 है। N को 7 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 1183 / 7 = 169, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 1352। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^3 x 13^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^3 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 2 कम है। 13^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 2 है। N को 2 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 1352 / 2 = 676, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 1445। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 5^1 x 17^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 5^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 5 कम है। 17^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 5 है। N को 5 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 1445 / 5 = 289, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 507। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 3^1 x 13^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 3^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। 13^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 3 है। N को 3 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 507 / 3 = 169, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 968। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^3 x 11^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^3 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 2 कम है। 11^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 2 है। N को 2 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 968 / 2 = 484, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 588। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 3^1 x 7^2 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^2 में घातांक पहले से सम है। 3^1 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। 7^2 में घातांक पहले से सम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 3 है। N को 3 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 588 / 3 = 196, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।

मान लें N = 972। इसका अभाज्य गुणनखंडन N = 2^2 x 3^5 है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। हर अभाज्य गुणनखंड को जाँचें: 2^2 में घातांक पहले से सम है। 3^5 में घातांक विषम है और जोड़ा बनाने के लिए एक गुणनखंड 3 कम है। विषम घातांक के कारण बिना जोड़े वाला गुणनखंड 3 है। N को 3 से भाग देने पर यही बिना जोड़े वाला गुणनखंड हट जाता है। जाँचें: 972 / 3 = 324, और अब इसके गुणनखंडन में हर घातांक सम है।