वर्गमूल और घनमूल: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 3)

मान लें N = 85184। हमें एक पूर्ण संख्या r चाहिए जिसके लिए r x r x r = N हो। चूँकि 44 x 44 x 44 = 85184 है, इसलिए r = 44 इस शर्त को ठीक-ठीक पूरा करता है। अतः 85184 का घनमूल 44 है। इससे पुष्टि होती है कि 44 सही घनमूल है।

दिया गया है कि √1369 = 37। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से विभाजित हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √13.69 = 37/10 = 3.7। इसी प्रकार √0.1369 = 37/100 = 0.37। और √0.001369 = 37/1000 = 0.037। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 3.7 + 0.37 + 0.037 = 4.107।

दिया गया है कि √6889 = 83। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से विभाजित हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √68.89 = 83/10 = 8.3। इसी प्रकार √0.6889 = 83/100 = 0.83। और √0.006889 = 83/1000 = 0.083। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 8.3 + 0.83 + 0.083 = 9.213।

हमें दिया गया है कि √9604 = 98। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से भाग हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √96.04 = 98/10 = 9.8। इसी तरह √0.9604 = 98/100 = 0.98। और √0.009604 = 98/1000 = 0.098। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 9.8 + 0.98 + 0.098 = 10.878।

हमें दिया गया है कि √529 = 23। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से भाग हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √5.29 = 23/10 = 2.3। इसी तरह √0.0529 = 23/100 = 0.23। और √0.000529 = 23/1000 = 0.023। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 2.3 + 0.23 + 0.023 = 2.553।

हमें दिया गया है कि √3136 = 56। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से भाग हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √31.36 = 56/10 = 5.6। इसी तरह √0.3136 = 56/100 = 0.56। और √0.003136 = 56/1000 = 0.056। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 5.6 + 0.56 + 0.056 = 6.216।

हमें दिया गया है कि √2304 = 48। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से भाग हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √23.04 = 48/10 = 4.8। इसी तरह √0.2304 = 48/100 = 0.48। और √0.002304 = 48/1000 = 0.048। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 4.8 + 0.48 + 0.048 = 5.328।

हमें दिया गया है कि √7569 = 87। वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से भाग हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √75.69 = 87/10 = 8.7। इसी तरह √0.7569 = 87/100 = 0.87। और √0.007569 = 87/1000 = 0.087। इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 8.7 + 0.87 + 0.087 = 9.657।

हमें दिया गया है कि √625 = 25. वर्गमूल के अंदर की संख्या को 100 से भाग देने पर उसका वर्गमूल 10 से विभाजित हो जाता है। यह √(N/100) = √N / √100 = √N / 10 से स्पष्ट होता है। इसलिए √6.25 = 25/10 = 2.5. इसी तरह √0.0625 = 25/100 = 0.25. और √0.000625 = 25/1000 = 0.025. इन तीनों मानों को जोड़ने पर: 2.5 + 0.25 + 0.025 = 2.775.

हमें 500 और 800 के बीच के पूर्ण वर्ग चाहिए, जिनमें 500 और 800 शामिल नहीं हैं। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 उपयुक्त होगा जब 500 < i^2 < 800. The qualifying squares are 529, 576, 625, 676, 729, 784. Counting this list gives 6 perfect squares.

हमें 500 और 900 के बीच के पूर्ण वर्ग चाहिए, जिनमें 500 और 900 शामिल नहीं हैं। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 उपयुक्त होगा जब 500 < i^2 < 900. The qualifying squares are 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841. Counting this list gives 7 perfect squares.

हमें ऐसे पूर्ण वर्ग चाहिए जो 200 से बड़े और 500 से छोटे हों। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 तभी उपयुक्त होगा जब 200 < i^2 < 500. The qualifying squares are 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484. Counting this list gives 8 perfect squares.

हमें ऐसे पूर्ण वर्ग चाहिए जो 50 से बड़े और 250 से छोटे हों। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 तभी उपयुक्त होगा जब 50 < i^2 < 250. The qualifying squares are 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Counting this list gives 8 perfect squares.

हमें ऐसे पूर्ण वर्ग चाहिए जो 300 से बड़े और 450 से छोटे हों। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 तभी उपयुक्त होगा जब 300 < i^2 < 450. The qualifying squares are 324, 361, 400, 441. Counting this list gives 4 perfect squares.

हमें ऐसे पूर्ण वर्ग चाहिए जो 50 से बड़े और 450 से छोटे हों। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 तभी उपयुक्त होगा जब 50 < i^2 < 450. The qualifying squares are 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441. Counting this list gives 14 perfect squares.

हमें ऐसे पूर्ण वर्ग चाहिए जो 200 से बड़े और 350 से छोटे हों। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 तभी उपयुक्त होगा जब 200 < i^2 < 350. The qualifying squares are 225, 256, 289, 324. Counting this list gives 4 perfect squares.

हमें ऐसे पूर्ण वर्ग चाहिए जो 80 से बड़े और 280 से छोटे हों। 1 से शुरू करके प्रत्येक पूर्णांक i की जाँच करने पर, i^2 तभी उपयुक्त होगा जब 80 < i^2 < 280 हो। इस शर्त को पूरा करने वाले वर्ग हैं: 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256. इन्हें गिनने पर 8 पूर्ण वर्ग मिलते हैं।

मान लें x = 0.1369। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.37 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.37 x 0.37 = 0.1369। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.1369 का वर्गमूल 0.37 है।

मान लें x = 0.0144। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.12 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.12 x 0.12 = 0.0144। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.0144 का वर्गमूल 0.12 है।

मान लें x = 0.9216। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.96 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.96 x 0.96 = 0.9216। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.9216 का वर्गमूल 0.96 है।

मान लें x = 0.5625। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.75 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.75 x 0.75 = 0.5625। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.5625 का वर्गमूल 0.75 है।

मान लें x = 0.2704। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.52 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.52 x 0.52 = 0.2704। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.2704 का वर्गमूल 0.52 है।

मान लें x = 0.2401। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.49 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.49 x 0.49 = 0.2401। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.2401 का वर्गमूल 0.49 है।

मान लें x = 0.1681। हमें x का वर्गमूल निकालना है। चूँकि 0.41 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए इसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जो x के रूप से मेल खाता है। जाँच करें: 0.41 x 0.41 = 0.1681। यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.1681 का वर्गमूल 0.41 है।

मान लें x = 0.2304. हमें x का वर्गमूल ज्ञात करना है। चूँकि 0.48 में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए उसके वर्ग में दशमलव के बाद अधिकतम 4 अंक होंगे, जैसा कि x में है। जाँच करें: 0.48 x 0.48 = 0.2304. यह ठीक x के बराबर है, इसलिए 0.2304 का वर्गमूल 0.48 है।