औसत: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

मान लें कि दो संख्याएँ x और y हैं, जिनके व्युत्क्रम 1/x और 1/y हैं। व्युत्क्रमों का औसत = (1/x + 1/y) / 2। कोष्ठक के भीतर के भिन्नों को जोड़ें: 1/x + 1/y = (y+x) / (xy)। इसलिए औसत = [(x+y)/(xy)] / 2 = (x+y) / (2xy)। जाँच: x=2 और y=4 के लिए व्युत्क्रम 1/2 और 1/4 हैं, जिनका औसत 3/8 है। सूत्र से (2+4) / (2x2x4) = 6/16 = 3/8 मिलता है, जो सही है।

मान लें कि एक समूह में n संख्याएँ हैं और उनका औसत X है, इसलिए उनका कुल योग = n x X है। इनमें से एक संख्या ठीक X के बराबर है। उसे हटाने पर n-1 संख्याएँ बचती हैं, जिनका कुल योग = nX – X = (n-1)X है। बची हुई संख्याओं का औसत = (n-1)X / (n-1) = X है। इसलिए बची हुई संख्याओं का औसत अब भी X ही है, यानी अपरिवर्तित है। ध्यान दें: ऐसा केवल इसलिए होता है क्योंकि हटाई गई संख्या मूल औसत के ठीक बराबर है; कोई अन्य संख्या हटाने पर औसत बढ़ेगा या घटेगा।

मान लें कि 20 संख्याओं का औसत 0 है, इसलिए उनका कुल योग = 20 x 0 = 0। मान लें कि इनमें से 19 संख्याएँ धनात्मक हैं, जैसे प्रत्येक का मान 1 हो। तब इनका कुल योग +19 होगा। ऐसे में 20वीं संख्या -19 हो सकती है, जिससे कुल योग 19 + (-19) = 0 हो जाएगा। इसलिए कुल योग शून्य रखते हुए 19 संख्याएँ धनात्मक हो सकती हैं। सभी 20 संख्याएँ धनात्मक नहीं हो सकतीं, क्योंकि तब कुल योग शून्य के बजाय धनात्मक होगा। जाँच: धनात्मक संख्याओं की अधिकतम संख्या 20 – 1 = 19 है। बची हुई एक संख्या कुल योग को शून्य बनाती है।

औसत या अंकगणितीय माध्य संख्याओं के समूह को एक प्रतिनिधि मान के रूप में दर्शाता है। इसे दो चरणों में निकाला जाता है। पहले, सभी प्रेक्षणों को जोड़कर कुल योग निकालें। फिर, उस योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग दें। यह बहुलक और माध्यिका से अलग है। बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है, जबकि माध्यिका मानों को क्रम में लगाने पर बीच का मान है।

कथन I के अनुसार P + Q = 50। कथन II के अनुसार R = 30। P, Q और R की औसत आयु निकालने के लिए केवल उनकी आयु का कुल योग चाहिए, अलग-अलग आयु नहीं। P, Q और R की आयु का कुल योग = 50 + 30 = 80। औसत = कुल योग / 3 = 80/3 वर्ष। केवल कथन I से R की आयु नहीं मिलती और केवल कथन II से P+Q का मान नहीं मिलता, इसलिए कोई भी कथन अकेले पर्याप्त नहीं है। जाँच: P और Q की अलग-अलग आयु कुछ भी हो, यदि उनका योग 50 है, तो औसत 80/3 ही रहेगा, क्योंकि औसत के लिए केवल योग मायने रखता है।

कथन I के अनुसार A + B + C = 60। कथन II के अनुसार A और C की औसत आयु 22 है। A और C की औसत आयु = 22 का अर्थ है A + C = 22 x 2 = 44। इसे कथन I में रखने पर: B = 60 – (A+C) = 60 – 44 = 16। केवल कथन I से B की आयु तय नहीं होती, क्योंकि A और C की अलग-अलग आयु अज्ञात है। केवल कथन II से भी B की आयु तय नहीं होती, क्योंकि इसमें B के बारे में कोई जानकारी नहीं है। दोनों कथनों की एक साथ आवश्यकता है। जाँच: A+C=44 और B=16 को जोड़ने पर 44+16=60 मिलता है, जो कथन I से मेल खाता है।

मान लें कि ज्ञात मान 12, 12, 16, 40, 27, 24, 38 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 8 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 8 मानों का योग = 24 x 8 = 192। ज्ञात मानों का योग = 169। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 192 – 169 = 23। जाँच: (169 + 23) / 8 = 192/8 = 24, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 9, 21, 38, 22, 17, 6, 25 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 8 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 8 मानों का योग = 25 x 8 = 200। ज्ञात मानों का योग = 138। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 200 – 138 = 62। जाँच: (138 + 62) / 8 = 200/8 = 25, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 9, 22, 25, 29, 29, 7 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 7 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 7 मानों का योग = 20 x 7 = 140। ज्ञात मानों का योग = 121। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 140 – 121 = 19। जाँच: (121 + 19) / 7 = 140/7 = 20, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 12, 16, 17, 31, 38, 12, 26, 23, 20 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 10 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 10 मानों का योग = 27 x 10 = 270। ज्ञात मानों का योग = 195। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 270 – 195 = 75। जाँच: (195 + 75) / 10 = 270/10 = 27, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 38, 9, 36, 12, 25, 28, 21, 19 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 9 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 9 मानों का योग = 29 x 9 = 261। ज्ञात मानों का योग = 188। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 261 – 188 = 73। जाँच: (188 + 73) / 9 = 261/9 = 29, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 24, 29, 18, 12, 28, 16, 9 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 8 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 8 मानों का योग = 18 x 8 = 144। ज्ञात मानों का योग = 136। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 144 – 136 = 8। जाँच: (136 + 8) / 8 = 144/8 = 18, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 32, 8, 12, 18, 23, 5, 7, 37 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 9 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 9 मानों का योग = 22 x 9 = 198। ज्ञात मानों का योग = 142। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 198 – 142 = 56। जाँच: (142 + 56) / 9 = 198/9 = 22, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 33, 36, 37, 32, 28 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 6 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 6 मानों का योग = 33 x 6 = 198। ज्ञात मानों का योग = 166। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 198 – 166 = 32। जाँच: (166 + 32) / 6 = 198/6 = 33, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 15, 26, 23, 22, 35, 30, 29, 6, 31, 20, 26 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 12 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 12 मानों का योग = 25 x 12 = 300। ज्ञात मानों का योग = 263। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 300 – 263 = 37। जाँच: (263 + 37) / 12 = 300/12 = 25, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि ज्ञात मान 20, 7, 26, 19, 11, 37, 18, 32, 20 हैं और एक अज्ञात मान x है। कुल 10 मान हैं। अंकगणितीय माध्य = मानों का योग / मानों की संख्या, इसलिए मानों का योग = माध्य x मानों की संख्या। सभी 10 मानों का योग = 25 x 10 = 250। ज्ञात मानों का योग = 190। x = कुल योग – ज्ञात मानों का योग = 250 – 190 = 60। जाँच: (190 + 60) / 10 = 250/10 = 25, जो दिए गए माध्य के बराबर है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 90 x 20 = 1800 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि दोनों चालों से इसे पूरी तरह विभाजित किया जा सके। जाने में लगा समय = d / 90 = 1800/90 = 20 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 20 = 1800/20 = 90 घंटे। कुल दूरी = 2 x 1800 = 3600 km। कुल समय = 20 + 90 = 110 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 3600 / 110 = 360/11 km/h। यही परिणाम हरात्मक माध्य के छोटे सूत्र 2 x 90 x 20 / (90+20) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (90+20)/2 = 55 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 50 x 90 = 4500 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि दोनों चालों से इसे पूरी तरह विभाजित किया जा सके। जाने में लगा समय = d / 50 = 4500/50 = 90 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 90 = 4500/90 = 50 घंटे। कुल दूरी = 2 x 4500 = 9000 km। कुल समय = 90 + 50 = 140 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 9000 / 140 = 450/7 km/h। यही परिणाम हरात्मक माध्य के छोटे सूत्र 2 x 50 x 90 / (50+90) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (50+90)/2 = 70 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 90 x 45 = 4050 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि यह दोनों चालों से पूरी तरह विभाजित हो जाए। जाने में लगा समय = d / 90 = 4050/90 = 45 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 45 = 4050/45 = 90 घंटे। कुल दूरी = 2 x 4050 = 8100 km। कुल समय = 45 + 90 = 135 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 8100 / 135 = 60 km/h। यही उत्तर हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 90 x 45 / (90+45) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (90+45)/2 = 135/2 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 50 x 40 = 2000 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि यह दोनों चालों से पूरी तरह विभाजित हो जाए। जाने में लगा समय = d / 50 = 2000/50 = 40 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 40 = 2000/40 = 50 घंटे। कुल दूरी = 2 x 2000 = 4000 km। कुल समय = 40 + 50 = 90 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 4000 / 90 = 400/9 km/h। यही उत्तर हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 50 x 40 / (50+40) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (50+40)/2 = 45 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 80 x 20 = 1600 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि यह दोनों चालों से पूरी तरह विभाजित हो जाए। जाने में लगा समय = d / 80 = 1600/80 = 20 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 20 = 1600/20 = 80 घंटे। कुल दूरी = 2 x 1600 = 3200 km। कुल समय = 20 + 80 = 100 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 3200 / 100 = 32 km/h। यही उत्तर हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 80 x 20 / (80+20) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (80+20)/2 = 50 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 80 x 48 = 3840 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि यह दोनों चालों से पूरी तरह विभाजित हो जाए। जाने में लगा समय = d / 80 = 3840/80 = 48 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 48 = 3840/48 = 80 घंटे। कुल दूरी = 2 x 3840 = 7680 km। कुल समय = 48 + 80 = 128 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 7680 / 128 = 60 km/h। यही उत्तर हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 80 x 48 / (80+48) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (80+48)/2 = 64 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 72 x 40 = 2880 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि यह दोनों चालों से पूरी तरह विभाजित हो जाए। जाने में लगा समय = d / 72 = 2880/72 = 40 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 40 = 2880/40 = 72 घंटे। कुल दूरी = 2 x 2880 = 5760 km। कुल समय = 40 + 72 = 112 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 5760 / 112 = 360/7 km/h। यही उत्तर हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 72 x 40 / (72+40) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (72+40)/2 = 56 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक तरफ की दूरी d = 30 x 20 = 600 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि यह दोनों चालों से पूरी तरह विभाजित हो जाए। जाने में लगा समय = d / 30 = 600/30 = 20 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 20 = 600/20 = 30 घंटे। कुल दूरी = 2 x 600 = 1200 km। कुल समय = 20 + 30 = 50 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 1200 / 50 = 24 km/h। यही उत्तर हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 30 x 20 / (30+20) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (30+20)/2 = 25 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।

मान लें कि एक ओर की दूरी d = 24 x 50 = 1200 km है। यह दूरी इसलिए चुनी गई है ताकि दोनों चालों से भाग देने पर पूर्ण संख्या मिले। जाने में लगा समय = d / 24 = 1200/24 = 50 घंटे। लौटने में लगा समय = d / 50 = 1200/50 = 24 घंटे। कुल दूरी = 2 x 1200 = 2400 km। कुल समय = 50 + 24 = 74 घंटे। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 2400 / 74 = 1200/37 km/h। यही परिणाम हरात्मक माध्य के संक्षिप्त सूत्र 2 x 24 x 50 / (24+50) से भी मिलता है। जाँच: यह साधारण औसत (24+50)/2 = 37 से कम है, क्योंकि हरात्मक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से कम या उसके बराबर होता है।