दशमलव भिन्न: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 3)

सीधे तुलना करने के लिए हर भिन्न को दशमलव में बदलें। भिन्न हैं: 7/13, 9/13, 4/13, 2/15, 6/8। दशमलव रूप में छोटे से बड़े का क्रम: 2/15 = 0.133, 4/13 = 0.308, 7/13 = 0.538, 9/13 = 0.692, 6/8 = 0.750। इस क्रम में सबसे बड़ा मान 6/8 है।

सीधे तुलना करने के लिए हर भिन्न को दशमलव में बदलें। भिन्न हैं: 3/11, 9/10, 3/10, 8/10, 3/4। दशमलव रूप में छोटे से बड़े का क्रम: 3/11 = 0.273, 3/10 = 0.300, 3/4 = 0.750, 8/10 = 0.800, 9/10 = 0.900। इस क्रम में दूसरा सबसे बड़ा मान 8/10 है।

सीधे तुलना करने के लिए हर भिन्न को दशमलव में बदलें। भिन्न हैं: 9/14, 7/9, 5/12, 3/4, 3/13। दशमलव रूप में छोटे से बड़े का क्रम: 3/13 = 0.231, 5/12 = 0.417, 9/14 = 0.643, 3/4 = 0.750, 7/9 = 0.778। इस क्रम में दूसरा सबसे छोटा मान 5/12 है।

सीधे तुलना करने के लिए प्रत्येक भिन्न को दशमलव में बदलें। दिए गए भिन्न हैं: 9/15, 5/11, 2/10, 7/8, 4/8। दशमलव रूप में छोटे से बड़े का क्रम है: 2/10 = 0.200, 5/11 = 0.455, 4/8 = 0.500, 9/15 = 0.600, 7/8 = 0.875। इस क्रम में दूसरा सबसे छोटा मान 5/11 है।

सीधे तुलना करने के लिए प्रत्येक भिन्न को दशमलव में बदलें। दिए गए भिन्न हैं: 8/11, 9/15, 5/6, 5/8, 7/15। दशमलव रूप में छोटे से बड़े का क्रम है: 7/15 = 0.467, 9/15 = 0.600, 5/8 = 0.625, 8/11 = 0.727, 5/6 = 0.833। इस क्रम में सबसे छोटा मान 7/15 है।

सीधे तुलना करने के लिए प्रत्येक भिन्न को दशमलव में बदलें। दिए गए भिन्न हैं: 4/13, 2/3, 3/10, 7/12, 5/10। दशमलव रूप में छोटे से बड़े का क्रम है: 3/10 = 0.300, 4/13 = 0.308, 5/10 = 0.500, 7/12 = 0.583, 2/3 = 0.667। इस क्रम में दूसरा सबसे छोटा मान 4/13 है।

मान लें x = 0.03̅2 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलवों का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक) घटा (न दोहराने वाले अंक)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 32 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 0 है। अंश = 32 – 0 = 32। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (1) होता है, जिससे 990 मिलता है। इसलिए x = 32/990। 32 और 990 का महत्तम समापवर्तक 2 है। अंश और हर दोनों को 2 से भाग देने पर 16/495 = 16/495 मिलता है। जाँच: 16/495 को दशमलव में लिखने पर 0.03̅2 मिलता है।

मान लें x = 0.906̅0 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलवों का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक) घटा (न दोहराने वाले अंक)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 9060 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 90 है। अंश = 9060 – 90 = 8970। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (2) होता है, जिससे 9900 मिलता है। इसलिए x = 8970/9900। 8970 और 9900 का महत्तम समापवर्तक 30 है। अंश और हर दोनों को 30 से भाग देने पर 299/330 = 299/330 मिलता है। जाँच: 299/330 को दशमलव में लिखने पर 0.906̅0 मिलता है।

मान लें x = 0.84̅4 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलवों का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक) घटा (न दोहराने वाले अंक)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 844 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 8 है। अंश = 844 – 8 = 836। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (1) होता है, जिससे 990 मिलता है। इसलिए x = 836/990। 836 और 990 का महत्तम समापवर्तक 22 है। अंश और हर दोनों को 22 से भाग देने पर 38/45 = 38/45 मिलता है। जाँच: 38/45 को दशमलव में लिखने पर 0.84̅4 मिलता है।

मान लें x = 0.607̅ (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलवों का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक) घटा (न दोहराने वाले अंक)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 607 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 60 है। अंश = 607 – 60 = 547। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (1) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (2) होता है, जिससे 900 मिलता है। इसलिए x = 547/900। 547 और 900 का महत्तम समापवर्तक 1 है। यह भिन्न पहले से ही सरलतम रूप में है, इसलिए x = 547/900। जाँच: 547/900 को दशमलव में लिखने पर 0.607̅ मिलता है।

मान लें x = 0.48̅0 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलव का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों से बनी संख्या) घटा (न दोहराने वाले अंकों से बनी संख्या)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 480 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 4 है। अंश = 480 – 4 = 476। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (1) होता है, जिससे 990 मिलता है। अतः x = 476/990। 476 और 990 का महत्तम समापवर्तक 2 है। अंश और हर दोनों को 2 से भाग देने पर 238/495 = 238/495 मिलता है। जाँच: 238/495 को दशमलव में लिखने पर 0.48̅0 मिलता है।

मान लें x = 0.85̅8 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलव का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों से बनी संख्या) घटा (न दोहराने वाले अंकों से बनी संख्या)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 858 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 8 है। अंश = 858 – 8 = 850। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (1) होता है, जिससे 990 मिलता है। अतः x = 850/990। 850 और 990 का महत्तम समापवर्तक 10 है। अंश और हर दोनों को 10 से भाग देने पर 85/99 = 85/99 मिलता है। जाँच: 85/99 को दशमलव में लिखने पर 0.85̅8 मिलता है।

मान लें x = 0.42̅3 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलव का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों से बनी संख्या) घटा (न दोहराने वाले अंकों से बनी संख्या)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 423 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 4 है। अंश = 423 – 4 = 419। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (1) होता है, जिससे 990 मिलता है। अतः x = 419/990। 419 और 990 का महत्तम समापवर्तक 1 है। यह भिन्न पहले से सरलतम रूप में है, इसलिए x = 419/990। जाँच: 419/990 को दशमलव में लिखने पर 0.42̅3 मिलता है।

मान लें x = 0.344̅3 (आवर्ती)। मिश्र आवर्ती दशमलव का नियम: अंश = (दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों से बनी संख्या) घटा (न दोहराने वाले अंकों से बनी संख्या)। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंकों को एक संख्या के रूप में पढ़ने पर 3443 मिलता है। केवल न दोहराने वाला भाग 34 है। अंश = 3443 – 34 = 3409। हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 (2) और उसके बाद प्रत्येक न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0 (2) होता है, जिससे 9900 मिलता है। अतः x = 3409/9900। 3409 और 9900 का महत्तम समापवर्तक 1 है। यह भिन्न पहले से सरलतम रूप में है, इसलिए x = 3409/9900। जाँच: 3409/9900 को दशमलव में लिखने पर 0.344̅3 मिलता है।

मान लें x = 0.3̅59 (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 359 है, इसलिए अंश 359 है। दोहराने वाले अंक 3 हैं, इसलिए हर 999 है (उतने ही 9)। अतः x = 359/999। 359 और 999 का महत्तम समापवर्तक 1 है। यह भिन्न पहले से सरलतम रूप में है, इसलिए x = 359/999। जाँच: 359/999 को दशमलव में लिखने पर 0.3̅59 मिलता है।

मान लें x = 0.1̅ (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 1 है, इसलिए अंश 1 है। दोहराने वाले अंकों की संख्या 1 है, इसलिए हर 9 है (उतने ही 9)। अतः x = 1/9। 1 और 9 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। यह भिन्न पहले से ही सरलतम रूप में है, इसलिए x = 1/9। जाँच: 1/9 को दशमलव में लिखने पर 0.1̅ मिलता है।

मान लें x = 0.1̅7 (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 17 है, इसलिए अंश 17 है। दोहराने वाले अंक 2 हैं, इसलिए हर 99 है (उतने ही 9)। अतः x = 17/99। 17 और 99 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। यह भिन्न पहले से ही सरलतम रूप में है, इसलिए x = 17/99। जाँच: 17/99 को दशमलव में लिखने पर 0.1̅7 मिलता है।

मान लें x = 0.7̅ (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 7 है, इसलिए अंश 7 है। दोहराने वाले अंकों की संख्या 1 है, इसलिए हर 9 है (उतने ही 9)। अतः x = 7/9। 7 और 9 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। यह भिन्न पहले से ही सरलतम रूप में है, इसलिए x = 7/9। जाँच: 7/9 को दशमलव में लिखने पर 0.7̅ मिलता है।

मान लें x = 0.4̅ (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 4 है, इसलिए अंश 4 है। दोहराने वाले अंकों की संख्या 1 है, इसलिए हर 9 है (उतने ही 9)। अतः x = 4/9। 4 और 9 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। यह भिन्न पहले से ही सरलतम रूप में है, इसलिए x = 4/9। जाँच: 4/9 को दशमलव में लिखने पर 0.4̅ मिलता है।

मान लें x = 0.0̅3 (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 03 है, इसलिए अंश 3 है। दोहराने वाले अंक 2 हैं, इसलिए हर 99 है (उतने ही 9)। अतः x = 3/99। 3 और 99 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 3 है। अंश और हर दोनों को 3 से भाग देने पर 1/33 = 1/33 मिलता है। जाँच: 1/33 को दशमलव में लिखने पर 0.0̅3 मिलता है।

मान लें x = 0.6̅02 (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 602 है, इसलिए अंश 602 है। दोहराने वाले अंक 3 हैं, इसलिए हर 999 है (उतने ही 9)। अतः x = 602/999। 602 और 999 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। यह भिन्न पहले से ही सरलतम रूप में है, इसलिए x = 602/999। जाँच: 602/999 को दशमलव में लिखने पर 0.6̅02 मिलता है।

मान लें x = 0.3̅24 (आवर्ती)। शुद्ध आवर्ती दशमलव का नियम: दोहराने वाला अंक-समूह अंश होता है और हर में प्रत्येक दोहराने वाले अंक के लिए एक 9 होता है। यहाँ दोहराने वाला अंक-समूह 324 है, इसलिए अंश 324 है। दोहराने वाले अंक 3 हैं, इसलिए हर 999 है (उतने ही 9)। अतः x = 324/999। 324 और 999 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 27 है। अंश और हर दोनों को 27 से भाग देने पर 12/37 = 12/37 मिलता है। जाँच: 12/37 को दशमलव में लिखने पर 0.3̅24 मिलता है।

मान लें x = 0.804। दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक हैं, इसलिए भिन्न के रूप में x = 804/1000 होगा। 804 और 1000 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 4 है। अंश और हर दोनों को 4 से भाग दें: 804/4 = 201 और 1000/4 = 250। इसलिए सरलतम रूप में x = 201/250 है। अंश और हर का योग = 201 + 250 = 451। जाँच: 201/250 का दशमलव रूप 0.804 है, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें x = 0.842। भिन्न के रूप में x = 842/1000, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक हैं। 842 और 1000 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात करें: यह 2 है। अंश और हर दोनों को 2 से भाग दें: 842/2 = 421 और 1000/2 = 500। इसलिए सरलतम रूप में x = 421/500। अंश और हर का योग = 421 + 500 = 921। जाँच: दशमलव रूप में 421/500 का मान 0.842 है, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।

मान लें x = 0.320। भिन्न के रूप में x = 320/1000, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक हैं। 320 और 1000 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात करें: यह 40 है। अंश और हर दोनों को 40 से भाग दें: 320/40 = 8 और 1000/40 = 25। इसलिए सरलतम रूप में x = 8/25। अंश और हर का योग = 8 + 25 = 33। जाँच: दशमलव रूप में 8/25 का मान 0.320 है, जिससे सरलीकरण की पुष्टि होती है।