इस पाठ में हर नियम, उसके काम करने का कारण और सात हल किए गए उदाहरण दिए गए हैं। इसमें उन आम गलतियों की सूची भी है जिनसे अंक कटते हैं।
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प्र1. यदि n वस्तुओं के एक समूह में एक प्रकार की p1 वस्तुएँ एक जैसी हैं, दूसरे प्रकार की p2 वस्तुएँ एक जैसी हैं, और इसी तरह आगे भी है, तो सभी n वस्तुओं के अलग-अलग क्रमचयों की संख्या कितनी होगी?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
पहले सभी n वस्तुओं को अलग-अलग मानकर n! से शुरू करें। लेकिन किसी समूह की एक जैसी वस्तुओं को आपस में बदलने से कोई नई व्यवस्था नहीं बनती। इसलिए एक जैसी वस्तुओं के हर समूह के लिए, उस समूह में वस्तुओं की संख्या के क्रमगुणित से भाग दें। इस प्रकार अलग-अलग क्रमचयों की संख्या = n! / (p1! x p2! x …)।
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प्र2. n वस्तुओं में से एक बार में r वस्तुएँ चुनने के संयोजनों की संख्या nCr का सूत्र क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
nCr, n वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनने के उन तरीकों की संख्या बताता है जिनमें क्रम मायने नहीं रखता। nPr से शुरू करें, जो इन्हीं वस्तुओं के चयन को हर संभव क्रम में गिनता है। r वस्तुओं के हर समूह को r! अलग-अलग क्रमों में व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए क्रम के कारण हुई अतिरिक्त गिनती हटाने के लिए nPr को r! से भाग दें: nCr = n! / (r!(n-r)!).
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प्र3. n वस्तुओं में से एक बार में r वस्तुओं को लेकर बनाए जा सकने वाले क्रमचयों की संख्या nPr का सूत्र क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
nPr बताता है कि n वस्तुओं में से चुनी गई r वस्तुओं को कितने अलग-अलग क्रमों में व्यवस्थित किया जा सकता है। हम n! से शुरू करते हैं और उसे (n-r)! से भाग देते हैं, ताकि बची हुई उन वस्तुओं की व्यवस्थाएँ गिनती से हट जाएँ जिन्हें हमने व्यवस्थित नहीं किया। इसलिए nPr = n! / (n-r)!.
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प्र4. क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
क्रमचय ऐसी व्यवस्था है जिसमें क्रम मायने रखता है। उदाहरण के लिए, AB और BA को दो अलग-अलग क्रमचय माना जाता है। संचय ऐसा चयन है जिसमें क्रम मायने नहीं रखता। उदाहरण के लिए, AB और BA को एक ही संचय माना जाता है। इसलिए एक ही समूह की वस्तुओं के लिए क्रमचय से मिलने वाले परिणामों की संख्या कभी भी संचय से मिलने वाले परिणामों की संख्या से कम नहीं होती।
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प्र5. 0! (शून्य का क्रमगुणित) का मान क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
0! का अर्थ है शून्य का क्रमगुणित (zero factorial)। क्रमगुणित आमतौर पर गिनती की संख्याओं का गुणनफल होता है, लेकिन 0 के लिए गुणा करने को कोई संख्या नहीं होती। परंपरा के अनुसार, गणितज्ञ 0! = 1 परिभाषित करते हैं। इससे nCr और nPr जैसे सूत्र सीमांत स्थितियों में भी सही काम करते हैं।
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प्र6. किसी व्यक्ति के पास एक शहर जाने के लिए 4 अलग-अलग रास्ते हैं और वापस आने के लिए 5 अलग-अलग रास्ते हैं। वह जाने और वापस आने के लिए एक-एक रास्ता कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
एक शहर जाने के लिए रास्तों के 4 विकल्प हैं और वापस आने के लिए रास्तों के 5 विकल्प हैं। ये दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं: एक रास्ता चुनने से दूसरे रास्ते के चुनाव पर कोई असर नहीं पड़ता। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 4 x 5 = 20.
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प्र7. एक व्यक्ति के पास 5 अलग-अलग कमीज़ें और 5 अलग-अलग पतलून हैं। वह एक कमीज़ और एक पतलून कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
कमीज़ चुनने के 5 विकल्प और पतलून चुनने के 5 विकल्प हैं। ये दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं: एक को चुनने से दूसरे के चुनाव पर कोई असर नहीं पड़ता। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 5 x 5 = 25।
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प्र8. एक व्यक्ति के पास 7 अलग-अलग कमीज़ें और 9 अलग-अलग टाइयाँ हैं। वह एक कमीज़ और एक टाई कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
कमीज़ चुनने के लिए 7 विकल्प और टाई चुनने के लिए 9 विकल्प हैं। ये दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं: एक का चुनाव दूसरे को प्रभावित नहीं करता। गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 7 x 9 = 63.
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प्र9. एक व्यक्ति के पास 9 अलग-अलग कमीज़ें और 5 अलग-अलग टाइयाँ हैं। वह एक कमीज़ और एक टाई कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
कमीज़ चुनने के लिए 9 विकल्प और टाई चुनने के लिए 5 विकल्प हैं। ये दोनों चयन स्वतंत्र हैं: एक को चुनने से दूसरे पर कोई असर नहीं पड़ता। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 9 x 5 = 45.
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प्र10. एक व्यक्ति के पास 5 अलग-अलग कमीजें और 6 अलग-अलग पतलून हैं। वह एक कमीज और एक पतलून कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
कमीज चुनने के 5 विकल्प और पतलून चुनने के 6 विकल्प हैं। ये दोनों चयन स्वतंत्र हैं: एक को चुनने से दूसरे के चयन पर कोई असर नहीं पड़ता। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 5 x 6 = 30.
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प्र11. किसी व्यक्ति के पास शुरुआत में खाने के लिए 4 अलग-अलग व्यंजन (स्टार्टर) और मुख्य भोजन के लिए 5 अलग-अलग व्यंजन हैं। वह दोनों में से एक-एक व्यंजन कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
स्टार्टर के लिए 4 विकल्प और मुख्य भोजन के लिए 5 विकल्प हैं। ये दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं: एक को चुनने से दूसरे पर कोई असर नहीं पड़ता। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 4 x 5 = 20.
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प्र12. एक व्यक्ति के पास शुरुआत में परोसे जाने वाले व्यंजनों (स्टार्टर्स) के 7 अलग-अलग विकल्प और मुख्य भोजन के 10 अलग-अलग विकल्प हैं। वह दोनों में से एक-एक व्यंजन कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
स्टार्टर्स के लिए 7 विकल्प और मुख्य भोजन के लिए 10 विकल्प हैं। ये दोनों चयन स्वतंत्र हैं: एक को चुनने से दूसरे के चयन पर कोई असर नहीं पड़ता। गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 7 x 10 = 70.
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प्र13. एक व्यक्ति के पास 9 अलग-अलग पेन और 8 अलग-अलग नोटबुक हैं। वह एक पेन और एक नोटबुक कितने तरीकों से चुन सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
पेन चुनने के 9 विकल्प और नोटबुक चुनने के 8 विकल्प हैं। ये दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं: एक को चुनने से दूसरे के चुनाव पर कोई असर नहीं पड़ता। गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, दोनों के विकल्पों की संख्या को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 9 x 8 = 72.
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प्र14. 7 पुरुषों और 7 महिलाओं के समूह से 4 पुरुषों और 3 महिलाओं की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 7 पुरुषों में से 4 पुरुषों को 7C4 = 35 तरीकों से चुना जा सकता है। 7 महिलाओं में से 3 महिलाओं को 7C3 = 35 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 35 x 35 = 1225।
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प्र15. 10 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह में से 2 पुरुषों और 4 महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 10 पुरुषों में से 2 पुरुषों को 10C2 = 45 तरीकों से चुना जा सकता है। 8 महिलाओं में से 4 महिलाओं को 8C4 = 70 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए इन दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 45 x 70 = 3150.
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प्र16. 11 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह में से 2 पुरुषों और 4 महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 11 पुरुषों में से 2 पुरुषों को 11C2 = 55 तरीकों से चुना जा सकता है। 8 महिलाओं में से 4 महिलाओं को 8C4 = 70 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 55 x 70 = 3850.
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प्र17. 10 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह में से 3 पुरुषों और 4 महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
पुरुषों का चयन और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 10 पुरुषों में से 3 पुरुषों को 10C3 = 120 तरीकों से चुना जा सकता है। 8 महिलाओं में से 4 महिलाओं को 8C4 = 70 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 120 x 70 = 8400।
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प्र18. 4 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह से 3 पुरुषों और 2 महिलाओं की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
पुरुषों को चुनना और महिलाओं को चुनना दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 4 पुरुषों में से 3 पुरुषों को 4C3 = 4 तरीकों से चुना जा सकता है। 8 महिलाओं में से 2 महिलाओं को 8C2 = 28 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या जानने के लिए दोनों संख्याओं को आपस में गुणा करें। कुल तरीके = 4 x 28 = 112.
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प्र19. 9 पुरुषों और 6 महिलाओं के समूह से 4 पुरुषों और 4 महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 9 पुरुषों में से 4 पुरुषों को 9C4 = 126 तरीकों से चुना जा सकता है। 6 महिलाओं में से 4 महिलाओं को 6C4 = 15 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या पाने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 126 x 15 = 1890.
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प्र20. 11 पुरुषों और 4 महिलाओं के समूह में से 3 पुरुषों और 1 महिला की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 11 पुरुषों में से 3 पुरुषों को 11C3 = 165 तरीकों से चुना जा सकता है। 4 महिलाओं में से 1 महिला को 4C1 = 4 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 165 x 4 = 660।
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प्र21. 6 पुरुषों और 5 महिलाओं के समूह से 2 पुरुषों और 4 महिलाओं की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 6 पुरुषों में से 2 पुरुषों को 6C2 = 15 तरीकों से चुना जा सकता है। 5 महिलाओं में से 4 महिलाओं को 5C4 = 5 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 15 x 5 = 75.
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प्र22. 4 पुरुषों और 10 महिलाओं के समूह से 2 पुरुषों और 1 महिला की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 4 पुरुषों में से 2 पुरुषों को 4C2 = 6 तरीकों से चुना जा सकता है। 10 महिलाओं में से 1 महिला को 10C1 = 10 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए दोनों संख्याओं को गुणा करें। कुल तरीके = 6 x 10 = 60.
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प्र23. 11 पुरुषों और 5 महिलाओं के समूह में से 4 पुरुषों और 3 महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
पुरुषों और महिलाओं का चयन दो अलग-अलग, स्वतंत्र चरण हैं। 11 पुरुषों में से 4 पुरुषों को 11C4 = 330 तरीकों से चुना जा सकता है। 5 महिलाओं में से 3 महिलाओं को 5C3 = 10 तरीकों से चुना जा सकता है। गणना के सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या निकालने के लिए दोनों संख्याओं का गुणा करें। कुल तरीके = 330 x 10 = 3300।
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प्र24. 16 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है, यदि एक विशेष व्यक्ति को हमेशा शामिल करना अनिवार्य हो?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
समिति में एक विशेष व्यक्ति को हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति की जगह पहले से तय है, इसलिए उसका चयन करने की जरूरत नहीं है। हमें केवल बाकी 15 लोगों में से शेष 3 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 15C3 = 455.
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प्र25. 10 लोगों के समूह में से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है, यदि एक विशेष व्यक्ति को हमेशा शामिल करना अनिवार्य हो?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
समिति में एक विशेष व्यक्ति को हमेशा शामिल करना अनिवार्य है। उस व्यक्ति का स्थान पहले से तय है, इसलिए उसके लिए चयन करने की जरूरत नहीं है। हमें केवल बाकी 9 लोगों में से शेष 3 सदस्यों को चुनना है। तरीकों की संख्या = 9C3 = 84.
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