संख्या पद्धति: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

हमें x = 20 – y – z को अधिकतम करना है, यानी y+z को न्यूनतम करना है। चूँकि y और z दोनों शून्य से बड़े धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए, इसलिए उनके सबसे छोटे संभव मान y=1 और z=1 हैं, जिससे y+z=2 होता है। इसलिए x का अधिकतम मान = 20 – 1 – 1 = 18 है। जाँच: x=18, y=1, z=1 रखने पर x+y+z=20 होता है और y, z दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं।

हमें x = 12 – y – z को अधिकतम करना है, यानी y+z को न्यूनतम करना है। चूँकि y और z दोनों शून्य से बड़े धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए, इसलिए उनके सबसे छोटे संभव मान y=1 और z=1 हैं, जिससे y+z=2 होता है। इसलिए x का अधिकतम मान = 12 – 1 – 1 = 10 है। जाँच: x=10, y=1, z=1 रखने पर x+y+z=12 होता है और y, z दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं।

मान लें कि अंक a और b हैं। कथन I: a+b=11। कथन II: |a-b|=3। दोनों को एक साथ हल करने पर: a+b=11 और a-b=3 से a=7, b=4 (संख्या 74) मिलता है; लेकिन a-b=-3 से a=4, b=7 (संख्या 47) मिलता है, जो a+b=11 और |a-b|=3 को भी पूरा करता है। 74 और 47 दोनों ही दोनों कथनों को पूरा करते हैं, इसलिए दोनों कथन एक साथ भी किसी एक निश्चित संख्या को निर्धारित नहीं करते।

यहाँ मुख्य सर्वसमिका है a² – b² = (a+b)(a-b) — यानी वर्गों का अंतर। इसलिए (a²-b²)/(a+b) = (a+b)(a-b)/(a+b) = (a-b), बशर्ते a+b≠0 हो। दिया गया है कि इस भागफल का मान 13 है, इसलिए सीधे a-b = 13 मिलता है। जाँच: यदि a-b=13 और किसी भी k के लिए a+b=k हो, तो a²-b²=(a+b)(a-b)=13k होगा और (a+b)=k से भाग देने पर फिर 13 मिलेगा।

यहाँ मुख्य सर्वसमिका है a² – b² = (a+b)(a-b) — यानी वर्गों का अंतर। इसलिए (a²-b²)/(a+b) = (a+b)(a-b)/(a+b) = (a-b), बशर्ते a+b≠0 हो। दिया गया है कि इस भागफल का मान 9 है, इसलिए सीधे a-b = 9 मिलता है। जाँच: यदि a-b=9 और किसी भी k के लिए a+b=k हो, तो a²-b²=(a+b)(a-b)=9k होगा और (a+b)=k से भाग देने पर फिर 9 मिलेगा।

प्रत्येक रोमन अंक का मान लिखें: M = 1000, D = 500, C = 100, L = 50। अब इन मानों को बड़े से छोटे क्रम में रखें: 1000 > 500 > 100 > 50, अर्थात M > D > C > L।

चूँकि 6 = 2 x 3 है और 2 तथा 3 का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 के अलावा नहीं है, इसलिए कोई संख्या 6 से तभी विभाज्य होती है, जब वह 2 की विभाज्यता का नियम (अंतिम अंक सम हो) और 3 की विभाज्यता का नियम (अंकों का योग 3 से विभाज्य हो), दोनों एक साथ पूरा करे। केवल एक शर्त पूरी होना पर्याप्त नहीं है।

यह अंकों के योग का नियम है: संख्या के सभी अंकों को जोड़ें और जाँचें कि उनका योग 3 से विभाज्य है या नहीं। उदाहरण के लिए, 123 के अंकों का योग 1+2+3=6 है, जो 3 से विभाज्य है, और वास्तव में 123=3×41 है। अंकों के योग का यही नियम 9 से विभाज्यता के लिए भी काम करता है, लेकिन 4, 7 या 8 जैसे अधिकांश अन्य भाजकों के लिए नहीं।

किसी भी संख्या को (अंतिम 2 अंकों को छोड़कर बची संख्या) x 100 + (अंतिम 2 अंकों से बनी संख्या) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि 100 = 4 x 25 स्वयं 4 से विभाज्य है, इसलिए पहला भाग हमेशा 4 से विभाज्य होगा, चाहे उसका मान कुछ भी हो। इसलिए 4 से विभाज्यता केवल इस बात पर निर्भर करती है कि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है या नहीं।

किसी भी संख्या को (अंतिम 3 अंकों को छोड़कर बची संख्या) x 1000 + (अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि 1000 = 8 x 125 स्वयं 8 से विभाज्य है, इसलिए पहला भाग हमेशा 8 से विभाज्य होगा, चाहे उसका मान कुछ भी हो। इसलिए 8 से विभाज्यता केवल इस बात पर निर्भर करती है कि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है या नहीं।

11 की विभाज्यता का नियम, 3 या 9 के लिए इस्तेमाल होने वाले अंकों के योग के सरल नियम से अलग है। दाईं ओर से अंकों के स्थानों को विषम (पहला, तीसरा, पाँचवाँ, …) और सम (दूसरा, चौथा, …) मानें। विषम स्थानों के अंकों का योग निकालें, सम स्थानों के अंकों का योग निकालें और फिर दोनों का अंतर लें। यदि यह अंतर 0 या 11 का गुणज (धनात्मक या ऋणात्मक) है, तो संख्या 11 से विभाज्य है। बारी-बारी से आने वाले स्थानों के अंकों के योग का अंतर निकालना 11 की विभाज्यता का मानक नियम है।

यह शून्य गुणनफल का गुणधर्म है: यदि दो संख्याओं का गुणनफल 0 है, तो उनमें से कम से कम एक संख्या 0 होनी चाहिए (क्योंकि किसी भी अशून्य संख्या को दूसरी अशून्य संख्या से गुणा करने पर गुणनफल हमेशा अशून्य होता है)। दोनों का शून्य होना आवश्यक नहीं है — उदाहरण के लिए, a=0, b=5 होने पर ab=0 होता है, जबकि केवल a शून्य है। इसलिए सही निष्कर्ष है: a=0, या b=0, या दोनों।

मान लें कि x और y दोनों ऋणात्मक हैं। जाँच के लिए x=-3, y=-4 लें। xy = (-3)(-4) = 12, जो धनात्मक है। x+y = -7, जो ऋणात्मक है (धनात्मक नहीं)। x-y = -3-(-4) = 1 यहाँ धनात्मक है, लेकिन यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन-सी संख्या अधिक ऋणात्मक है, इसलिए यह हमेशा सही नहीं है। x/y = (-3)/(-4) = 0.75, जो धनात्मक है (ऋणात्मक नहीं)। ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर परिणाम हमेशा धनात्मक होता है। यह नियम किन्हीं भी दो ऋणात्मक संख्याओं पर लागू होता है, इसलिए xy धनात्मक है वाला कथन हमेशा सही है।

मान लें कि n ऋणात्मक है। जाँच के लिए n = -5 लें। तब 2n = -10, -n = 5, n² = 25 और 0 का मान 0 ही रहता है। -10, 5, 25, 0 की तुलना करने पर -10 सबसे छोटा है। यह सामान्य रूप से भी सही है: किसी ऋणात्मक संख्या को दोगुना करने पर वह और अधिक ऋणात्मक हो जाती है, जबकि -n और n² दोनों धनात्मक हो जाते हैं। इसलिए 2n का मान हमेशा सबसे कम होता है।

यदि n सम होता, तो n³ भी सम होता (सम x सम x सम = सम), जो n³ के विषम होने की शर्त के विरुद्ध है। इसलिए n निश्चित रूप से विषम है। चूँकि n विषम है, इसलिए n² = n x n का अर्थ विषम x विषम है, जो भी विषम होता है (जैसा कि विषम संख्याओं के गुणनफल के लिए दिखाया गया है)। इसलिए n और n² दोनों विषम हैं।

किसी पूर्णांक k के लिए मान लें कि y = 2k है। तब 5y = 5(2k) = 10k, जो सम है। 5y + 3 = 10k + 3, और चूँकि 10k सम है, इसमें विषम संख्या 3 जोड़ने पर पूरा व्यंजक विषम हो जाता है। y=2 रखकर जाँचें: 5(2)+3 = 13, जो विषम है। इसलिए 5y + 3 निश्चित रूप से विषम होगा।

किसी पूर्णांक k के लिए मान लें कि x = 2k+1 है। तब 3x = 3(2k+1) = 6k+3, जो विषम है (विषम संख्या को 3 से गुणा करने पर परिणाम विषम ही रहता है)। 3x – 1 = 6k+3-1 = 6k+2 = 2(3k+1), जो सम है। x=3 रखकर जाँचें: 3(3)-1 = 8, जो सम है। इसलिए 3x – 1 निश्चित रूप से सम होगा।

मान लें कि m = 2a+1 और n = 2b+1 विषम संख्याएँ हैं। गुणनफल: mn = (2a+1)(2b+1) = 4ab+2a+2b+1 = 2(2ab+a+b)+1, जो विषम है (2 x पूर्णांक + 1)। उदाहरण से जाँचें: 3 x 5 = 15, जो विषम है। वहीं m+n और m-n दोनों सम हैं (जैसा कि अन्य प्रश्नों में दिखाया गया है), इसलिए वे सही उत्तर नहीं हैं। अतः दो विषम संख्याओं का गुणनफल हमेशा विषम होता है।

कुछ पूर्णांकों a, b के लिए मान लें कि m = 2a+1 और n = 2b+1 हैं (यह विषम संख्या का सामान्य रूप है)। तब m+n = 2a+1+2b+1 = 2a+2b+2 = 2(a+b+1), जो 2 से विभाज्य है। इसलिए m+n हमेशा सम होता है। उदाहरण से जाँचें: m=3, n=5, m+n=8, जो सम है। इसलिए उत्तर m + n है।

4 अंकों की संख्या में बाएँ से दाएँ पढ़ने पर अंक क्रमशः हजार, सैकड़े, दहाई और इकाई के स्थान पर होते हैं। इसलिए w (सबसे बायाँ) का मान w x 1000, x का मान x x 100, y का मान y x 10 और z (सबसे दायाँ) का मान z x 1 होता है। इन्हें जोड़ने पर: संख्या का मान = 1000w + 100x + 10y + z।

3 अंकों की संख्या में बाएँ से दाएँ पढ़ने पर सबसे बायाँ अंक सैकड़े के स्थान पर, बीच का अंक दहाई के स्थान पर और सबसे दायाँ अंक इकाई के स्थान पर होता है। इसलिए अंक p (सबसे बायाँ) का मान p x 100, अंक q (बीच वाला) का मान q x 10 और अंक r (सबसे दायाँ) का मान r x 1 होता है। इन्हें जोड़ने पर: संख्या का मान = 100p + 10q + r।

π = 3.14159265… अनंत तक चलता रहता है और इसके अंकों में कभी कोई दोहराने वाला क्रम नहीं बनता। परिभाषा के अनुसार, जिस संख्या का दशमलव प्रसार न समाप्त होता है और न ही दोहराता है, वह अपरिमेय होती है — वह न आवर्ती दशमलव है, न परिमेय संख्या और न ही पूर्ण संख्या। इसलिए π को अपरिमेय संख्या कहना सबसे सही है।

प्रत्येक कथन जाँचें। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (1,2,3,…) एक पूर्णांक होती है: सही। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक वास्तविक संख्या होती है: सही, क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं में शामिल हैं। प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है (n को n/1 के रूप में लिखें): सही। प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है: गलत, क्योंकि √2 या π जैसी अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तविक होती हैं, लेकिन परिभाषा के अनुसार परिमेय नहीं होतीं। इसलिए गलत कथन अंतिम वाला है।

वास्तविक संख्याओं में प्रत्येक परिमेय और प्रत्येक अपरिमेय संख्या शामिल होती है — यह इन श्रेणियों में सबसे व्यापक है। इसलिए परिभाषा के अनुसार कोई भी परिमेय संख्या वास्तविक संख्या भी होती है। हालाँकि, उसका प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या या पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है: उदाहरण के लिए, 1/2 परिमेय और वास्तविक है, लेकिन प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या या पूर्णांक नहीं है। इसलिए प्रत्येक परिमेय संख्या के लिए केवल यही कथन सही है कि वह वास्तविक संख्या है।

कोई संख्या अपरिमेय होती है यदि उसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अर्थात उसका दशमलव प्रसार न कभी समाप्त होता है और न ही दोहराता है। प्रत्येक विकल्प जाँचें: 22/7 पूर्णांकों का अनुपात है, इसलिए यह परिमेय है। 0.375 का दशमलव प्रसार समाप्त होता है, इसलिए यह परिमेय है। 1.5 का दशमलव प्रसार समाप्त होता है, इसलिए यह परिमेय है। √7 = 2.6457513… का दशमलव प्रसार न कभी समाप्त होता है और न ही दोहराता है, क्योंकि 7 पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए √7 अपरिमेय संख्या है।