संख्या पद्धति: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 3)

मान लें S1 = a+b+c = 14 और S2 = ab+bc+ca = 35 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान ज्ञात करना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² ज्ञात करें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 14² – 2×35 = 196 – 70 = 126। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 126 – 35 = 91। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 91 = 14 x 91 = 1274।

मान लें S1 = a+b+c = 12 और S2 = ab+bc+ca = 25 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान ज्ञात करना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² ज्ञात करें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 12² – 2×25 = 144 – 50 = 94। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 94 – 25 = 69। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 69 = 12 x 69 = 828।

मान लें S1 = a+b+c = 7 और S2 = ab+bc+ca = 6 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान निकालना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² निकालें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 7² – 2×6 = 49 – 12 = 37। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 37 – 6 = 31। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 31 = 7 x 31 = 217।

मान लें S1 = a+b+c = 15 और S2 = ab+bc+ca = 28 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान निकालना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² निकालें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 15² – 2×28 = 225 – 56 = 169। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 169 – 28 = 141। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 141 = 15 x 141 = 2115।

व्यंजक 11^7 x 3^5 x 2^8 है। बारंबारता के अनुसार अभाज्य गुणनखंड गिनने का अर्थ है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को उसके घातांक के बराबर बार गिना जाए: 11 को 7 बार, 3 को 5 बार और 2 को 8 बार गिनेंगे। कुल संख्या = 7 + 5 + 8 = 20।

व्यंजक 7^7 x 2^6 x 3^7 है। बारंबारता के अनुसार अभाज्य गुणनखंड गिनने का अर्थ है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को उसके घातांक के बराबर बार गिना जाए: 7 को 7 बार, 2 को 6 बार और 3 को 7 बार गिनेंगे। कुल संख्या = 7 + 6 + 7 = 20।

व्यंजक 5^4 x 3^8 x 2^5 है। बारंबारता के अनुसार अभाज्य गुणनखंड गिनने का अर्थ है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को उसके घातांक के बराबर बार गिना जाए: 5 को 4 बार, 3 को 8 बार और 2 को 5 बार गिनेंगे। कुल संख्या = 4 + 8 + 5 = 17।

व्यंजक 7^6 x 2^6 x 11^4 है। बारंबारता के अनुसार अभाज्य गुणनखंड गिनने का अर्थ है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को उसके घातांक के बराबर बार गिना जाए: 7 को 6 बार, 2 को 6 बार और 11 को 4 बार गिनेंगे। कुल संख्या = 6 + 6 + 4 = 16।

व्यंजक 11^3 x 2^9 x 5^6 है। बारंबारता के अनुसार अभाज्य गुणनखंड गिनने का अर्थ है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को उसके घातांक के बराबर बार गिना जाए: 11 को 3 बार, 2 को 9 बार और 5 को 6 बार गिनेंगे। कुल संख्या = 3 + 9 + 6 = 18।

व्यंजक 5^9 x 7^9 x 3^8 है। बारंबारता के अनुसार अभाज्य गुणनखंड गिनने का अर्थ है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को उसके घातांक के बराबर बार गिना जाए: 5 को 9 बार, 7 को 9 बार और 3 को 8 बार गिनेंगे। कुल संख्या = 9 + 9 + 8 = 26।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। यहाँ N = 2^20 x 5^12 है। log(a^b) = b x log(a) का उपयोग करने पर: log10(N) = 20 x log10(2) + 12 x log10(5) = 20 x 0.3010 + 12 x 0.6990 = 14.4082। अंकों की संख्या = floor(14.4082) + 1 = 14 + 1 = 15।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। यहाँ N = 2^30 x 5^12 है। log(a^b) = b x log(a) का उपयोग करने पर: log10(N) = 30 x log10(2) + 12 x log10(5) = 30 x 0.3010 + 12 x 0.6990 = 17.4185। अंकों की संख्या = floor(17.4185) + 1 = 17 + 1 = 18।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। यहाँ N = 2^20 x 5^8 है। log(a^b) = b x log(a) का उपयोग करने पर: log10(N) = 20 x log10(2) + 8 x log10(5) = 20 x 0.3010 + 8 x 0.6990 = 11.6124। अंकों की संख्या = floor(11.6124) + 1 = 11 + 1 = 12।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। यहाँ N = 2^15 x 5^10 है। log(a^b) = b x log(a) का उपयोग करने पर: log10(N) = 15 x log10(2) + 10 x log10(5) = 15 x 0.3010 + 10 x 0.6990 = 11.5051। अंकों की संख्या = floor(11.5051) + 1 = 11 + 1 = 12।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। यहाँ N = 2^25 x 5^12 है। log(a^b) = b x log(a) का उपयोग करने पर: log10(N) = 25 x log10(2) + 12 x log10(5) = 25 x 0.3010 + 12 x 0.6990 = 15.9134। अंकों की संख्या = floor(15.9134) + 1 = 15 + 1 = 16।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। यहाँ N = 2^25 x 5^10 है। log(a^b) = b x log(a) का उपयोग करने पर: log10(N) = 25 x log10(2) + 10 x log10(5) = 25 x 0.3010 + 10 x 0.6990 = 14.5154। अंकों की संख्या = floor(14.5154) + 1 = 14 + 1 = 15।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई क्रियाओं के अनुसार: x + 6 = step1, step1 x 6 = step2, step2 / 4 = step3, step3 – 3 = 54। परिणाम 54 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 54 + 3 = 57। step2 = step3 x 4 = 57 x 4 = 228। step1 = step2 / 6 = 228/6 = 38। x = step1 – 6 = 38 – 6 = 32। जाँच: x=32 रखने पर, ((32+6) x 6)/4 – 3 = (38 x 6)/4 – 3 = 228/4 – 3 = 57 – 3 = 54, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई क्रियाओं के अनुसार: x + 11 = step1, step1 x 6 = step2, step2 / 3 = step3, step3 – 3 = 103। परिणाम 103 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 103 + 3 = 106। step2 = step3 x 3 = 106 x 3 = 318। step1 = step2 / 6 = 318/6 = 53। x = step1 – 11 = 53 – 11 = 42। जाँच: x=42 रखने पर, ((42+11) x 6)/3 – 3 = (53 x 6)/3 – 3 = 318/3 – 3 = 106 – 3 = 103, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 11 = step1, step1 x 3 = step2, step2 / 3 = step3, step3 – 6 = 53। परिणाम 53 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 53 + 6 = 59। step2 = step3 x 3 = 59 x 3 = 177। step1 = step2 / 3 = 177/3 = 59। x = step1 – 11 = 59 – 11 = 48। जाँच: x=48 रखने पर, ((48+11) x 3)/3 – 6 = (59 x 3)/3 – 6 = 177/3 – 6 = 59 – 6 = 53, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 11 = step1, step1 x 6 = step2, step2 / 6 = step3, step3 – 8 = 35। परिणाम 35 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 35 + 8 = 43। step2 = step3 x 6 = 43 x 6 = 258। step1 = step2 / 6 = 258/6 = 43। x = step1 – 11 = 43 – 11 = 32। जाँच: x=32 रखने पर, ((32+11) x 6)/6 – 8 = (43 x 6)/6 – 8 = 258/6 – 8 = 43 – 8 = 35, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 13 = step1, step1 x 5 = step2, step2 / 4 = step3, step3 – 9 = 46। परिणाम 46 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 46 + 9 = 55। step2 = step3 x 4 = 55 x 4 = 220। step1 = step2 / 5 = 220/5 = 44। x = step1 – 13 = 44 – 13 = 31। जाँच: x=31 रखने पर, ((31+13) x 5)/4 – 9 = (44 x 5)/4 – 9 = 220/4 – 9 = 55 – 9 = 46, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 15 = step1, step1 x 6 = step2, step2 / 2 = step3, step3 – 10 = 131। परिणाम 131 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 131 + 10 = 141। step2 = step3 x 2 = 141 x 2 = 282। step1 = step2 / 6 = 282/6 = 47। x = step1 – 15 = 47 – 15 = 32। जाँच: x=32 रखने पर, ((32+15) x 6)/2 – 10 = (47 x 6)/2 – 10 = 282/2 – 10 = 141 – 10 = 131, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 6 = step1, step1 x 3 = step2, step2 / 7 = step3, step3 – 3 = 21। परिणाम 21 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 21 + 3 = 24। step2 = step3 x 7 = 24 x 7 = 168। step1 = step2 / 3 = 168/3 = 56। x = step1 – 6 = 56 – 6 = 50। जाँच: x=50 रखने पर, ((50+6) x 3)/7 – 3 = (56 x 3)/7 – 3 = 168/7 – 3 = 24 – 3 = 21, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 4 = step1, step1 x 4 = step2, step2 / 4 = step3, step3 – 4 = 22। परिणाम 22 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 22 + 4 = 26। step2 = step3 x 4 = 26 x 4 = 104। step1 = step2 / 4 = 104/4 = 26। x = step1 – 4 = 26 – 4 = 22। जाँच: x=22 रखने पर, ((22+4) x 4)/4 – 4 = (26 x 4)/4 – 4 = 104/4 – 4 = 26 – 4 = 22, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि मूल संख्या x है। दी गई संक्रियाओं के अनुसार: x + 5 = step1, step1 x 6 = step2, step2 / 3 = step3, step3 – 6 = 66। परिणाम 66 से उल्टे क्रम में हल करने पर: step3 = 66 + 6 = 72। step2 = step3 x 3 = 72 x 3 = 216। step1 = step2 / 6 = 216/6 = 36। x = step1 – 5 = 36 – 5 = 31। जाँच: x=31 रखने पर, ((31+5) x 6)/3 – 6 = (36 x 6)/3 – 6 = 216/3 – 6 = 72 – 6 = 66, जो दिए गए परिणाम से मेल खाता है।