इस पाठ में हर नियम और उसके काम करने का कारण बताया गया है। इसमें पाँच उदाहरण चरण-दर-चरण हल किए गए हैं और उन आम गलतियों की सूची दी गई है जिनसे अंक कटते हैं।
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प्र1. सभी प्राकृतिक संख्याएँ और 0 मिलकर संख्याओं का कौन-सा समुच्चय बनाते हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, आदि हैं। इस समुच्चय में 0 जोड़ने पर 0, 1, 2, 3, …. मिलता है। सभी प्राकृतिक संख्याओं और शून्य के इस समुच्चय को परिभाषा के अनुसार पूर्ण संख्याएँ कहते हैं। इसलिए उत्तर पूर्ण संख्याएँ है।
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प्र2. P और Q धनात्मक पूर्णांक हैं और PQ = 90 है। इनमें से कौन-सा मान P + Q नहीं हो सकता?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
चूँकि PQ = 90 है, इसलिए P और Q, 90 के गुणनखंडों का एक युग्म होना चाहिए। 90 के गुणनखंड युग्मों और उनके योगों की सूची बनाने के लिए: 90 के प्रत्येक भाजक d के लिए, P=d और Q=90/d रखने पर योग d+90/d मिलता है। इससे संभावित योग 19, 21, 23, 33, 47, 91 मिलते हैं। मान 98 इन संभावित योगों में नहीं है, इसलिए यह P+Q नहीं हो सकता।
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प्र3. P और Q धनात्मक पूर्णांक हैं और PQ = 48 है। इनमें से कौन-सा मान P + Q नहीं हो सकता?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
चूँकि PQ = 48 है, इसलिए P और Q, 48 के गुणनखंडों का एक युग्म होना चाहिए। 48 के गुणनखंड युग्मों और उनके योगों की सूची बनाने के लिए: 48 के प्रत्येक भाजक d के लिए, P=d और Q=48/d रखने पर योग d+48/d मिलता है। इससे संभावित योग 14, 16, 19, 26, 49 मिलते हैं। मान 52 इन संभावित योगों में नहीं है, इसलिए यह P+Q नहीं हो सकता।
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प्र4. P और Q धनात्मक पूर्णांक हैं और PQ = 96 है। इनमें से कौन-सा मान P + Q नहीं हो सकता?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
चूँकि PQ = 96 है, इसलिए P और Q, 96 के गुणनखंडों का एक युग्म होना चाहिए। 96 के गुणनखंड युग्मों और उनके योगों की सूची बनाने के लिए: 96 के प्रत्येक भाजक d के लिए, P=d और Q=96/d रखने पर योग d+96/d मिलता है। इससे संभावित योग 20, 22, 28, 35, 50, 97 मिलते हैं। मान 104 इन संभावित योगों में नहीं है, इसलिए यह P+Q नहीं हो सकता।
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प्र5. P और Q धनात्मक पूर्णांक हैं और PQ = 120 है। इनमें से कौन-सा मान P + Q नहीं हो सकता?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
चूँकि PQ = 120 है, इसलिए P और Q, 120 के गुणनखंडों का एक युग्म होना चाहिए। 120 के गुणनखंड युग्मों और उनके योगों की सूची बनाने के लिए: 120 के प्रत्येक भाजक d के लिए, P=d और Q=120/d रखने पर योग d+120/d मिलता है। इससे संभावित योग 22, 23, 26, 29, 34, 43, 62, 121 मिलते हैं। मान 128 इन संभावित योगों में नहीं है, इसलिए यह P+Q नहीं हो सकता।
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प्र6. P और Q धनात्मक पूर्णांक हैं और PQ = 72 है। इनमें से कौन-सा मान P + Q नहीं हो सकता?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
चूँकि PQ = 72 है, इसलिए P और Q, 72 के गुणनखंडों का एक युग्म होना चाहिए। 72 के गुणनखंड युग्मों और उनके योगों की सूची बनाने के लिए: 72 के प्रत्येक भाजक d के लिए, P=d और Q=72/d रखने पर योग d+72/d मिलता है। इससे संभावित योग 17, 18, 22, 27, 38, 73 मिलते हैं। मान 76 इन संभावित योगों में नहीं है, इसलिए यह P+Q नहीं हो सकता।
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प्र7. P और Q धनात्मक पूर्णांक हैं तथा PQ = 84 है। इनमें से कौन-सा मान P + Q का नहीं हो सकता?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
चूँकि PQ = 84 है, इसलिए P और Q, 84 के गुणनखंडों का एक युग्म होने चाहिए। 84 के गुणनखंडों के युग्म और उनके योग लिखने पर: 84 के प्रत्येक भाजक d के लिए P=d और Q=84/d रखने पर योग d+84/d मिलता है। इससे संभावित योग 19, 20, 25, 31, 44, 85 मिलते हैं। 90 इन संभावित योगों में नहीं है, इसलिए यह P+Q का मान नहीं हो सकता।
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प्र8. 19 को दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में कितने अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जिनमें a+b=19, a≠b और दोनों धनात्मक हों। प्रत्येक युग्म को केवल एक बार गिनना है। 1 के साथ 18, 2 के साथ 17, और इसी तरह युग्म बनाने पर: प्रत्येक युग्म (a, 19-a) मान्य है, बशर्ते a < 19-a, i.e. a < 19/2 = 9.5. So a ranges from 1 to 9, giving 9 distinct unordered pairs. Check: the last pair is (9, 10), and 9 ≠ 10 confirms they're different numbers.
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प्र9. 13 को दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में कितने अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जिनमें a+b=13, a≠b और दोनों धनात्मक हों। प्रत्येक युग्म को केवल एक बार गिनना है। 1 के साथ 12, 2 के साथ 11, और इसी तरह युग्म बनाने पर: प्रत्येक युग्म (a, 13-a) मान्य है, बशर्ते a < 13-a, i.e. a < 13/2 = 6.5. So a ranges from 1 to 6, giving 6 distinct unordered pairs. Check: the last pair is (6, 7), and 6 ≠ 7 confirms they're different numbers.
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प्र10. 16 को दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में कितने अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जिनमें a+b=16, a≠b और दोनों धनात्मक हों। प्रत्येक युग्म को केवल एक बार गिनना है। 1 के साथ 15, 2 के साथ 14, और इसी तरह युग्म बनाने पर: प्रत्येक युग्म (a, 16-a) मान्य है, बशर्ते a < 16-a, i.e. a < 16/2 = 8.0. So a ranges from 1 to 7, giving 7 distinct unordered pairs. Check: the last pair is (7, 9), and 7 ≠ 9 confirms they're different numbers.
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प्र11. 18 को दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में कितने भिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जिनमें a+b=18, a≠b और दोनों धनात्मक हों। हर युग्म को केवल एक बार गिनना है। 1 के साथ 17, 2 के साथ 16, और इसी तरह युग्म बनाएँ: प्रत्येक युग्म (a, 18-a) मान्य है, जब तक a < 18-a, i.e. a < 18/2 = 9.0. So a ranges from 1 to 8, giving 8 distinct unordered pairs. Check: the last pair is (8, 10), and 8 ≠ 10 confirms they're different numbers.
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प्र12. 22 को दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में कितने भिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जिनमें a+b=22, a≠b और दोनों धनात्मक हों। हर युग्म को केवल एक बार गिनना है। 1 के साथ 21, 2 के साथ 20, और इसी तरह युग्म बनाएँ: प्रत्येक युग्म (a, 22-a) मान्य है, जब तक a < 22-a, i.e. a < 22/2 = 11.0. So a ranges from 1 to 10, giving 10 distinct unordered pairs. Check: the last pair is (10, 12), and 10 ≠ 12 confirms they're different numbers.
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प्र13. 11 को दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में कितने भिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जिनमें a+b=11, a≠b और दोनों धनात्मक हों। हर युग्म को केवल एक बार गिनना है। 1 के साथ 10, 2 के साथ 9, और इसी तरह युग्म बनाएँ: प्रत्येक युग्म (a, 11-a) मान्य है, जब तक a < 11-a, i.e. a < 11/2 = 5.5. So a ranges from 1 to 5, giving 5 distinct unordered pairs. Check: the last pair is (5, 6), and 5 ≠ 6 confirms they're different numbers.
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प्र14. किस संख्या को 16 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 120 को 252 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 16 = 120 x 252 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 120 x 252 = 30240। फिर y का मान निकालें: y = 30240/16 = 1890। जाँच: 1890 x 16 = 30240, जो 120 x 252 = 30240 के बराबर है।
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प्र15. किस संख्या को 16 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 83 को 304 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 16 = 83 x 304 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 83 x 304 = 25232। फिर y का मान निकालें: y = 25232/16 = 1577। जाँच: 1577 x 16 = 25232, जो 83 x 304 = 25232 के बराबर है।
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प्र16. किस संख्या को 18 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 294 को 339 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 18 = 294 x 339 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 294 x 339 = 99666। फिर y का मान निकालें: y = 99666/18 = 5537। जाँच: 5537 x 18 = 99666, जो 294 x 339 = 99666 के बराबर है।
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प्र17. किस संख्या को 24 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 144 को 279 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 24 = 144 x 279 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 144 x 279 = 40176। फिर y का मान निकालें: y = 40176/24 = 1674। जाँच: 1674 x 24 = 40176, जो 144 x 279 = 40176 के बराबर है।
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प्र18. किस संख्या को 48 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 92 को 276 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 48 = 92 x 276 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 92 x 276 = 25392। फिर y का मान निकालें: y = 25392/48 = 529। जाँच: 529 x 48 = 25392, जो 92 x 276 = 25392 के बराबर है।
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प्र19. किस संख्या को 36 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 154 को 252 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 36 = 154 x 252 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 154 x 252 = 38808। फिर y का मान निकालें: y = 38808/36 = 1078। जाँच: 1078 x 36 = 38808, जो 154 x 252 = 38808 के बराबर है।
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प्र20. किस संख्या को 24 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 356 को 234 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 24 = 356 x 234 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 356 x 234 = 83304। फिर y का मान निकालें: y = 83304/24 = 3471। जाँच: 3471 x 24 = 83304, जो 356 x 234 = 83304 के बराबर है।
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प्र21. किस संख्या को 32 से गुणा करने पर वही गुणनफल मिलता है जो 205 को 352 से गुणा करने पर मिलता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें अभीष्ट संख्या y है। हमें y x 32 = 205 x 352 चाहिए। पहले दाईं ओर का गुणनफल निकालें: 205 x 352 = 72160। फिर y का मान निकालें: y = 72160/32 = 2255। जाँच: 2255 x 32 = 72160, जो 205 x 352 = 72160 के बराबर है।
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प्र22. यदि a + b + c = 6 और ab + bc + ca = 5 है, तो a³ + b³ + c³ – 3abc का मान क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें S1 = a+b+c = 6 और S2 = ab+bc+ca = 5। हमें a³+b³+c³-3abc का मान निकालना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² निकालें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 6² – 2×5 = 36 – 10 = 26। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 26 – 5 = 21। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 21 = 6 x 21 = 126।
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प्र23. यदि a + b + c = 8 और ab + bc + ca = 20 है, तो a³ + b³ + c³ – 3abc का मान क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें S1 = a+b+c = 8 और S2 = ab+bc+ca = 20 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान ज्ञात करना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² ज्ञात करें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 8² – 2×20 = 64 – 40 = 24। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 24 – 20 = 4। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 4 = 8 x 4 = 32।
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प्र24. यदि a + b + c = 15 और ab + bc + ca = 21 है, तो a³ + b³ + c³ – 3abc का मान क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें S1 = a+b+c = 15 और S2 = ab+bc+ca = 21 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान ज्ञात करना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² ज्ञात करें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 15² – 2×21 = 225 – 42 = 183। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 183 – 21 = 162। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 162 = 15 x 162 = 2430।
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प्र25. यदि a + b + c = 7 और ab + bc + ca = 8 है, तो a³ + b³ + c³ – 3abc का मान क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें S1 = a+b+c = 7 और S2 = ab+bc+ca = 8 है। हमें a³+b³+c³-3abc का मान ज्ञात करना है, जिसका गुणनखंड रूप (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) है। पहले (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) का उपयोग करके a²+b²+c² ज्ञात करें: a²+b²+c² = S1² – 2xS2 = 7² – 2×8 = 49 – 16 = 33। फिर a²+b²+c²-ab-bc-ca = 33 – 8 = 25। अंत में, a³+b³+c³-3abc = S1 x 25 = 7 x 25 = 175।
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