इस पाठ में हर नियम और उसके काम करने का कारण बताया गया है। इसमें पाँच उदाहरण चरण-दर-चरण हल किए गए हैं और उन आम गलतियों की सूची दी गई है जिनसे अंक कटते हैं।
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प्र1. 1 से 93 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें n = 93। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 93 रखने पर: योग = 93 x (93+1)/2 = 93 x 94/2 = 8742/2 = 4371। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र2. 1 से 100 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें n = 100। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 100 रखने पर: योग = 100 x (100+1)/2 = 100 x 101/2 = 10100/2 = 5050। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र3. 1 से 167 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें n = 167। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 167 रखने पर: योग = 167 x (167+1)/2 = 167 x 168/2 = 28056/2 = 14028। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र4. 1 से 199 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें n = 199। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 199 रखने पर: योग = 199 x (199+1)/2 = 199 x 200/2 = 39800/2 = 19900। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र5. 1 से 118 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें n = 118। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 118 रखने पर: योग = 118 x (118+1)/2 = 118 x 119/2 = 14042/2 = 7021। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र6. 1 से 185 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें n = 185। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 185 रखने पर: योग = 185 x (185+1)/2 = 185 x 186/2 = 34410/2 = 17205। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र7. 1 से 165 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें n = 165। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 165 रखने पर: योग = 165 x (165+1)/2 = 165 x 166/2 = 27390/2 = 13695। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र8. 1 से 62 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग कितना है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें n = 62। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र n(n+1)/2 है। n = 62 रखने पर: योग = 62 x (62+1)/2 = 62 x 63/2 = 3906/2 = 1953। जाँच: n=3 जैसे छोटे उदाहरण में सूत्र से 3×4/2=6 मिलता है, जो 1+2+3=6 के बराबर है। इससे पुष्टि होती है कि सूत्र का सही उपयोग किया गया है।
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प्र9. 300 से 1199 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ 4 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
हमें 300 से 1199 तक (दोनों सहित) 4 के गुणज गिनने हैं। 300 के बराबर या उससे बड़ा 4 का पहला गुणज 300 है। 1199 के बराबर या उससे छोटा 4 का अंतिम गुणज 1196 है। संख्या = (अंतिम – पहला)/4 + 1 = (1196-300)/4 + 1 = 225। इसलिए ऐसी 225 संख्याएँ हैं।
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प्र10. 200 से 1099 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ 13 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
हमें 200 से 1099 तक (दोनों सहित) 13 के गुणज गिनने हैं। 200 के बराबर या उससे बड़ा 13 का पहला गुणज 208 है। 1099 के बराबर या उससे छोटा 13 का अंतिम गुणज 1092 है। संख्या = (अंतिम – पहला)/13 + 1 = (1092-208)/13 + 1 = 69। इसलिए ऐसी 69 संख्याएँ हैं।
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प्र11. 300 से 1199 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ 12 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
हमें 300 से 1199 तक (दोनों सहित) 12 के गुणज गिनने हैं। 300 के बराबर या उससे बड़ा 12 का पहला गुणज 300 है। 1199 के बराबर या उससे छोटा 12 का अंतिम गुणज 1188 है। संख्या = (अंतिम – पहला)/12 + 1 = (1188-300)/12 + 1 = 75। इसलिए ऐसी 75 संख्याएँ हैं।
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प्र12. 100 से 999 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ 13 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
हमें 100 से 999 तक (दोनों सहित) 13 के गुणज गिनने हैं। 100 के बराबर या उससे बड़ा 13 का पहला गुणज 104 है। 999 के बराबर या उससे छोटा 13 का अंतिम गुणज 988 है। संख्या = (अंतिम – पहला)/13 + 1 = (988-104)/13 + 1 = 69। इसलिए ऐसी 69 संख्याएँ हैं।
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प्र13. 200 से 1099 तक, दोनों को शामिल करते हुए, कितनी संख्याएँ 8 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
हमें 200 से 1099 तक, दोनों को शामिल करते हुए, 8 के गुणज गिनने हैं। 200 या उससे बड़ी पहली ऐसी संख्या 200 है। 1099 या उससे छोटी अंतिम ऐसी संख्या 1096 है। कुल संख्या = (अंतिम – पहली)/8 + 1 = (1096-200)/8 + 1 = 113। इसलिए ऐसी 113 संख्याएँ हैं।
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प्र14. 100 से 999 तक, दोनों को शामिल करते हुए, कितनी संख्याएँ 12 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
हमें 100 से 999 तक, दोनों को शामिल करते हुए, 12 के गुणज गिनने हैं। 100 या उससे बड़ी पहली ऐसी संख्या 108 है। 999 या उससे छोटी अंतिम ऐसी संख्या 996 है। कुल संख्या = (अंतिम – पहली)/12 + 1 = (996-108)/12 + 1 = 75। इसलिए ऐसी 75 संख्याएँ हैं।
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प्र15. 300 से 1199 तक, दोनों को शामिल करते हुए, कितनी संख्याएँ 7 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
हमें 300 से 1199 तक, दोनों को शामिल करते हुए, 7 के गुणज गिनने हैं। 300 या उससे बड़ी पहली ऐसी संख्या 301 है। 1199 या उससे छोटी अंतिम ऐसी संख्या 1197 है। कुल संख्या = (अंतिम – पहली)/7 + 1 = (1197-301)/7 + 1 = 129। इसलिए ऐसी 129 संख्याएँ हैं।
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प्र16. 300 से 1199 तक, दोनों को शामिल करते हुए, कितनी संख्याएँ 8 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
हमें 300 से 1199 तक, दोनों को शामिल करते हुए, 8 के गुणज गिनने हैं। 300 या उससे बड़ी पहली ऐसी संख्या 304 है। 1199 या उससे छोटी अंतिम ऐसी संख्या 1192 है। कुल संख्या = (अंतिम – पहली)/8 + 1 = (1192-304)/8 + 1 = 112। इसलिए ऐसी 112 संख्याएँ हैं।
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प्र17. 300 से 1199 तक, दोनों को शामिल करते हुए, कितनी संख्याएँ 9 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
हमें 300 से 1199 तक, दोनों को शामिल करते हुए, 9 के गुणज गिनने हैं। 300 या उससे बड़ी पहली ऐसी संख्या 306 है। 1199 या उससे छोटी अंतिम ऐसी संख्या 1197 है। कुल संख्या = (अंतिम – पहली)/9 + 1 = (1197-306)/9 + 1 = 100। इसलिए ऐसी 100 संख्याएँ हैं।
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प्र18. 200 से 1099 तक, दोनों को शामिल करते हुए, कितनी संख्याएँ 3 से पूरी तरह विभाजित होती हैं?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
हमें 200 से 1099 तक, दोनों को शामिल करते हुए, 3 के गुणज गिनने हैं। 200 या उससे बड़ी पहली ऐसी संख्या 201 है। 1099 या उससे छोटी अंतिम ऐसी संख्या 1098 है। कुल संख्या = (अंतिम – पहली)/3 + 1 = (1098-201)/3 + 1 = 300। इसलिए ऐसी 300 संख्याएँ हैं।
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प्र19. 0, 9, 5, 2, 4 अंकों में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
दिए गए अंक 0, 9, 5, 2, 4 हैं। सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए पहला अंक शून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि शुरुआत में शून्य रखने से अंकों की गिनती कम हो जाएगी। इसलिए सबसे छोटा गैर-शून्य अंक 2 पहले आएगा। बाकी अंक [0, 4, 5, 9] छोटे से बड़े क्रम में आएँगे। इससे 20459 बनता है। इसलिए सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या 20459 है।
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प्र20. 8, 4, 0, 7, 2 अंकों में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
दिए गए अंक 8, 4, 0, 7, 2 हैं। सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए अंकों को बड़े से छोटे क्रम में रखना चाहिए। इस क्रम में रखने पर [8, 7, 4, 2, 0] मिलता है, जिससे 87420 बनता है। इसलिए सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या 87420 है।
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प्र21. अंकों 0, 7, 9, 5, 8 में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनने वाली सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
दिए गए अंक 0, 7, 9, 5, 8 हैं। सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए अंकों को घटते क्रम में, यानी सबसे बड़े से सबसे छोटे तक रखना चाहिए। 0, 7, 9, 5, 8 को घटते क्रम में रखने पर [9, 8, 7, 5, 0] मिलता है, जिससे 98750 बनता है। इसलिए सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या 98750 है।
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प्र22. अंकों 4, 3, 8, 5, 0 में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनने वाली सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
दिए गए अंक 4, 3, 8, 5, 0 हैं। सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए पहला अंक शून्य नहीं होना चाहिए (शुरुआत में शून्य रखने से अंकों की संख्या कम हो जाएगी), इसलिए शून्य के अलावा सबसे छोटा अंक 3 पहले आएगा। इसके बाद बचे हुए अंक [0, 4, 5, 8] बढ़ते क्रम में रखे जाएंगे। इससे 30458 बनता है। इसलिए सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या 30458 है।
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प्र23. अंकों 0, 2, 3, 5 में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनने वाली सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
दिए गए अंक 0, 2, 3, 5 हैं। सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए अंकों को घटते क्रम में, यानी सबसे बड़े से सबसे छोटे तक रखना चाहिए। 0, 2, 3, 5 को घटते क्रम में रखने पर [5, 3, 2, 0] मिलता है, जिससे 5320 बनता है। इसलिए सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 5320 है।
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प्र24. अंकों 6, 4, 0, 1 में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनने वाली 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
दिए गए अंक 6, 4, 0, 1 हैं। सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए पहला अंक शून्य नहीं होना चाहिए (शुरुआत में शून्य रखने से अंकों की संख्या घट जाएगी), इसलिए शून्य के अलावा सबसे छोटा अंक 1 पहले आएगा। इसके बाद बचे हुए अंक [0, 4, 6] बढ़ते क्रम में आएँगे। इससे 1046 बनता है। इसलिए 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1046 है।
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प्र25. अंकों 9, 6, 0, 4 में से प्रत्येक का ठीक एक बार उपयोग करके बनने वाली 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
दिए गए अंक 9, 6, 0, 4 हैं। सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए पहला अंक शून्य नहीं होना चाहिए (शुरुआत में शून्य रखने से अंकों की संख्या घट जाएगी), इसलिए शून्य के अलावा सबसे छोटा अंक 4 पहले आएगा। इसके बाद बचे हुए अंक [0, 6, 9] बढ़ते क्रम में आएँगे। इससे 4069 बनता है। इसलिए 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 4069 है।
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