घड़ी और कैलेंडर के प्रश्न — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

दो वर्षों के कैलेंडर समान होते हैं जब वे सप्ताह के एक ही दिन से शुरू हों और दोनों एक ही प्रकार के वर्ष हों। 2025 एक सामान्य वर्ष है। 2025 से 2030 तक के विषम दिनों की गणना करें। इनमें 5 सामान्य वर्ष हैं (प्रत्येक का 1 विषम दिन) और 1 अधिवर्ष, 2028 है (2 विषम दिन)। कुल 7 दिन होते हैं, यानी 0 विषम दिन। इसलिए 2031 भी 2025 की तरह सप्ताह के उसी दिन से शुरू होगा और वह भी सामान्य वर्ष है। दोनों के कैलेंडर समान हैं।

एक सही घड़ी की सुइयाँ उसके अपने समय के अनुसार हर 720/11 = 65 5/11 मिनट में एक साथ आती हैं। यहाँ ऐसा हर 65 वास्तविक मिनट में होता है, इसलिए घड़ी तेज चलती है। जब घड़ी के अनुसार 12 घंटे (720 मिनट) बीत चुके होते हैं, तब वास्तव में केवल 715 मिनट, यानी 11 घंटे 55 मिनट बीते होते हैं। इसलिए वास्तविक समय 7:55 PM है।

घड़ी के दर्पण प्रतिबिंब में समय निकालने का एक नियम है: दर्पण में दिखने वाला समय = 11:60 में से वास्तविक समय घटाएँ। यहाँ दिया गया समय 3:50 है। 11:60 में से 3:50 घटाने पर 8:10 मिलता है। इसलिए उत्तर 8:10 है। यह नियम दोनों तरह से काम करता है: इसे दो बार लागू करने पर मूल समय वापस मिल जाता है।

घड़ी के दर्पण प्रतिबिंब में समय निकालने का एक नियम है: दर्पण में दिखने वाला समय = 11:60 में से वास्तविक समय घटाएँ। यहाँ दिया गया समय 1:05 है। 11:60 में से 1:05 घटाने पर 10:55 मिलता है। इसलिए उत्तर 10:55 है। यह नियम दोनों दिशाओं में काम करता है: इसे दो बार लागू करने पर मूल समय वापस मिल जाता है।

23 अगस्त 2020 को ज्ञात आधार दिन मानें, जो रविवार था। वहाँ से 23 अगस्त 2029 तक 1-1 वर्ष के 9 अंतराल हैं। हर अंतराल एक वर्ष के 23 अगस्त से अगले वर्ष के 23 अगस्त तक है। देखें कि कौन-से अंतराल में 29 फरवरी आती है। 2023 में शुरू होने वाले अंतराल में फरवरी 2024 आती है, जो एक लीप वर्ष है। 2027 में शुरू होने वाले अंतराल में फरवरी 2028 आती है, जो भी एक लीप वर्ष है। इस अवधि के किसी अन्य अंतराल में लीप वर्ष की फरवरी नहीं आती। इसलिए 9 में से 2 अंतराल में एक अतिरिक्त दिन है और 7 अंतराल सामान्य हैं। हर सामान्य अंतराल से 1 विषम दिन और लीप वर्ष की फरवरी वाले हर अंतराल से 2 विषम दिन मिलते हैं। कुल विषम दिन 7 गुणा 1 और 2 गुणा 2 का योग है, यानी 7 और 4 मिलाकर 11 विषम दिन। 11 को 7 से भाग दें। इससे 1 पूरा सप्ताह मिलता है और 4 दिन शेष बचते हैं। रविवार से 4 दिन आगे बढ़ें। सोमवार, मंगलवार और बुधवार के बाद चौथे दिन गुरुवार आता है। इसलिए 23 अगस्त 2029 को गुरुवार होगा।

इन प्रश्नों में प्रचलित मान्यता के अनुसार, 1 ईस्वी (CE) की 1 जनवरी को सोमवार है। वर्ष 1 से वर्ष 2101 तक 2100 वर्षों की अवधि है। पहले 2100 को 400 वर्षों के पूरे खंडों में बाँटें। इससे 400 वर्षों के 5 पूरे खंड मिलते हैं, जिनमें कुल 2000 वर्ष हैं। 400 वर्षों के हर पूरे खंड से ठीक 0 विषम दिन मिलते हैं। अब 100 वर्षों की गणना बाकी है। शताब्दी की शुरुआत से गिने गए 100 वर्षों के खंड से ठीक 5 विषम दिन मिलते हैं। इसलिए पूरे 2100 वर्षों में कुल विषम दिन 0 और 5 का जोड़, यानी 5 हैं। सोमवार से 5 दिन आगे बढ़ें। सोमवार से 5 दिन आगे जाने पर मंगलवार, बुधवार, गुरुवार और शुक्रवार के बाद शनिवार आता है। इसलिए 1 जनवरी 2101 को शनिवार होगा।

इन प्रश्नों में प्रचलित मान्यता के अनुसार, 1 ईस्वी (CE) की 1 जनवरी को सोमवार है। वर्ष 1 से वर्ष 1901 तक 1900 वर्षों की अवधि है। पहले 1900 को 400 वर्षों के पूरे खंडों में बाँटें। इससे 400 वर्षों के 4 पूरे खंड मिलते हैं, जिनमें कुल 1600 वर्ष हैं। 400 वर्षों के हर पूरे खंड से ठीक 0 विषम दिन मिलते हैं, क्योंकि इसमें ठीक 97 लीप वर्ष होते हैं। अब 300 वर्षों की गणना बाकी है। शताब्दी की शुरुआत से गिने गए 300 वर्षों के खंड से ठीक 1 विषम दिन मिलता है। इसलिए पूरे 1900 वर्षों में कुल विषम दिन 0 और 1 का जोड़, यानी 1 है। सोमवार से 1 दिन आगे बढ़ें। सोमवार के 1 दिन बाद मंगलवार आता है। इसलिए 1 जनवरी 1901 को मंगलवार होगा।

15 मार्च 2023, बुधवार को आधार दिन मानें। इसके बाद हर वर्ष के अंतराल में विषम दिनों की संख्या एक-एक करके जाँचें। 2024 तक के अंतराल में फरवरी 2024 आती है, जो लीप वर्ष है, इसलिए 2 विषम दिन जुड़ते हैं। 2024 तक कुल 2 विषम दिन हुए, इसलिए 15 मार्च 2024 को शुक्रवार है। 2025 तक का अंतराल सामान्य है, इसलिए 1 विषम दिन जुड़ता है और कुल 3 हो जाते हैं। 2026 तक का अंतराल भी सामान्य है, इसलिए 1 और विषम दिन जुड़ता है और कुल 4 हो जाते हैं। 2027 तक का अंतराल भी सामान्य है, इसलिए 1 और विषम दिन जुड़ता है और कुल 5 हो जाते हैं। 2028 तक के अंतराल में फरवरी 2028 आती है, जो लीप वर्ष है, इसलिए 2 विषम दिन जुड़ते हैं। अब कुल 5 और 2 का जोड़, यानी 7 विषम दिन हो जाते हैं। 7 को 7 से भाग दें। इससे ठीक 1 पूरा सप्ताह मिलता है और शेष 0 बचता है। शेष 0 होने का मतलब है कि दिन फिर से आधार दिन के समान होगा। इसलिए अगली बार वर्ष 2028 में 15 मार्च को बुधवार होगा।

9 नवंबर 2021, मंगलवार को आधार दिन मानें। 9 नवंबर 2026 तक की अवधि में एक-एक वर्ष के 5 अंतराल हैं। हर अंतराल एक वर्ष की 9 नवंबर से अगले वर्ष की 9 नवंबर तक है। देखें कि किन अंतरालों में 29 फरवरी आती है। केवल 2023 में शुरू होने वाले अंतराल में फरवरी 2024 आती है, जो लीप वर्ष है। बाकी 4 अंतरालों में लीप वर्ष की फरवरी नहीं आती। इसलिए 5 में से 1 अंतराल में एक अतिरिक्त दिन है और 4 अंतराल सामान्य हैं। हर सामान्य अंतराल से 1 विषम दिन और लीप वर्ष की फरवरी वाले अंतराल से 2 विषम दिन मिलते हैं। कुल विषम दिन 4 गुणा 1 और 1 गुणा 2 का जोड़ हैं, यानी 4 और 2 का जोड़, जो 6 है। 6 को 7 से भाग दें। चूँकि 6, 7 से छोटा है, इसलिए शेष 6 दिन ही रहेगा। मंगलवार से 6 दिन आगे बढ़ें। इससे सोमवार आता है, जो एक पूरा सप्ताह होने से एक दिन पहले है। इसलिए 9 नवंबर 2026 को सोमवार होगा।

14 जुलाई 2019, रविवार को आधार दिन मानें। 14 जुलाई 2026 तक की अवधि में एक-एक वर्ष के 7 अंतराल हैं। हर अंतराल एक वर्ष की 14 जुलाई से अगले वर्ष की 14 जुलाई तक है। देखें कि किन अंतरालों में 29 फरवरी आती है। 2019 में शुरू होने वाले अंतराल में फरवरी 2020 आती है, जो लीप वर्ष है। 2023 में शुरू होने वाले अंतराल में फरवरी 2024 आती है, जो भी लीप वर्ष है। इस अवधि के किसी अन्य अंतराल में लीप वर्ष की फरवरी नहीं आती। इसलिए 7 में से 2 अंतरालों में एक अतिरिक्त दिन है और 5 अंतराल सामान्य हैं। हर सामान्य अंतराल से 1 विषम दिन और लीप वर्ष की फरवरी वाले हर अंतराल से 2 विषम दिन मिलते हैं। कुल विषम दिन 5 गुणा 1 और 2 गुणा 2 का जोड़ हैं, यानी 5 और 4 का जोड़, जो 9 है। 9 को 7 से भाग दें। इससे 1 पूरा सप्ताह मिलता है और 2 दिन शेष बचते हैं। रविवार से 2 दिन आगे बढ़ें। रविवार के 2 दिन बाद मंगलवार आता है। इसलिए 14 जुलाई 2026 को मंगलवार होगा।

20 मई 2025, मंगलवार को आधार दिन मानें। 20 मई 2025 से 20 मई 2026 के बीच फरवरी 2026 आती है। वर्ष 2026 पूरी तरह 4 से विभाजित नहीं होता, इसलिए यह लीप वर्ष नहीं है। फरवरी 2026 में केवल 28 दिन हैं, इसलिए कोई अतिरिक्त दिन नहीं जुड़ता। इस तरह पूरी अवधि सामान्य 365 दिनों की है। 365 को 7 से भाग दें। इससे 52 पूरे सप्ताह मिलते हैं और 1 दिन शेष बचता है। मंगलवार से 1 दिन आगे बढ़ें। मंगलवार के 1 दिन बाद बुधवार आता है। इसलिए 20 मई 2026 को बुधवार होगा।

1 जनवरी 2028, शनिवार को आधार मानें। वर्ष 2028 पूरी तरह 4 से विभाजित होता है और शताब्दी वर्ष नहीं है, इसलिए यह लीप वर्ष है। लीप वर्ष में कुल 366 दिन होते हैं। 1 जनवरी से 31 दिसंबर तक का अंतर इस कुल संख्या से एक दिन कम है। यह अंतर 366 में से 1 घटाने पर 365 दिन होता है। 365 को 7 से भाग दें। इससे 52 पूरे सप्ताह मिलते हैं और शेष 1 दिन बचता है। शनिवार से 1 दिन आगे बढ़ें। शनिवार के 1 दिन बाद रविवार आता है। इसलिए 31 दिसंबर 2028 को रविवार होगा।

1 जनवरी 2026, गुरुवार को आधार मानें। वर्ष 2026 लीप वर्ष नहीं है, इसलिए इसमें कुल 365 दिन हैं। 1 जनवरी से 31 दिसंबर तक का अंतर पूरे वर्ष से एक दिन कम है। यह अंतर 365 में से 1 घटाने पर 364 दिन होता है। 364 को 7 से भाग दें। इससे ठीक 52 पूरे सप्ताह मिलते हैं और शेष 0 दिन बचते हैं। शेष 0 होने का मतलब है कि सप्ताह का दिन नहीं बदलता। इसलिए 31 दिसंबर 2026 को भी गुरुवार होगा।

10 फरवरी 2028 और 22 जुलाई 2028 के बीच के दिन गिनें। वर्ष 2028 पूरी तरह 4 से विभाजित होता है और शताब्दी वर्ष नहीं है, इसलिए यह लीप वर्ष है। इसलिए फरवरी 2028 में 29 दिन हैं और 10 तारीख के बाद 19 दिन शेष हैं। मार्च के 31 दिन, अप्रैल के 30 दिन और मई के 31 दिन गिनेंगे। जून के 30 दिन और जुलाई में दी गई तारीख तक के 22 दिन गिनेंगे। इन्हें जोड़ने पर 19 + 31 + 30 + 31 + 30 + 22 = 163 दिन मिलते हैं। 163 को 7 से भाग दें। इससे 23 पूरे सप्ताह और 2 दिन शेष मिलते हैं। ये शेष 2 दिन ही दोनों तारीखों के बीच विषम दिनों की संख्या है।

12 मार्च 2025 और 5 अगस्त 2025 के बीच के दिन गिनें। मार्च में 19 दिन शेष हैं, क्योंकि 31 में से 12 घटाने पर 19 मिलता है। अप्रैल के 30 दिन, मई के 31 दिन और जून के 30 दिन गिनेंगे। जुलाई के 31 दिन और अगस्त में दी गई तारीख तक के 5 दिन गिनेंगे। इन्हें जोड़ने पर 19 + 30 + 31 + 30 + 31 + 5 = 146 दिन मिलते हैं। वर्ष 2025 लीप वर्ष नहीं है, और वैसे भी इस अवधि में फरवरी नहीं आती। 146 को 7 से भाग दें। इससे 20 पूरे सप्ताह और 6 दिन शेष मिलते हैं। ये शेष 6 दिन ही दोनों तारीखों के बीच विषम दिनों की संख्या है।

20 जनवरी 2024, शनिवार को आधार दिन मानें। 20 जनवरी से 4 अप्रैल 2024 तक के दिन गिनें। जनवरी में 11 दिन शेष हैं, क्योंकि 31 में से 20 घटाने पर 11 मिलता है। वर्ष 2024 पूरी तरह 4 से विभाजित होता है और शताब्दी वर्ष नहीं है, इसलिए यह लीप वर्ष है। इसलिए फरवरी 2024 के 28 के बजाय 29 दिन गिनेंगे। मार्च के 31 दिन और अप्रैल में जिस तारीख का दिन पता करना है, उस तक के 4 दिन गिनेंगे। इन्हें जोड़ने पर 11 + 29 + 31 + 4 = 75 दिन मिलते हैं। 75 को 7 से भाग दें। इससे 10 पूरे सप्ताह और 5 दिन शेष मिलते हैं। शनिवार से 5 दिन आगे जाएँ। रविवार, सोमवार, मंगलवार और बुधवार के बाद, शनिवार से 5 दिन आगे गुरुवार आता है। इसलिए 4 अप्रैल 2024 को गुरुवार होगा।

14 जनवरी 2026, बुधवार को आधार दिन मानें। 14 जनवरी से 2 अप्रैल 2026 तक के दिन गिनें। जनवरी में 17 दिन शेष हैं, क्योंकि 31 में से 14 घटाने पर 17 मिलता है। 2026 लीप वर्ष नहीं है, इसलिए फरवरी के 28 दिन गिनेंगे। मार्च के 31 दिन और अप्रैल में जिस तारीख का दिन पता करना है, उस तक के 2 दिन गिनेंगे। इन्हें जोड़ने पर 17 + 28 + 31 + 2 = 78 दिन मिलते हैं। 78 को 7 से भाग दें। इससे 11 पूरे सप्ताह और 1 दिन शेष मिलता है। बुधवार से 1 दिन आगे जाएँ। बुधवार के 1 दिन बाद गुरुवार है। इसलिए 2 अप्रैल 2026 को गुरुवार होगा।

9 जनवरी 2027, शनिवार को आधार दिन मानें। 9 जनवरी से 14 जून 2027 तक के दिन गिनें। जनवरी में 22 दिन शेष हैं, क्योंकि 31 में से 9 घटाने पर 22 मिलता है। 2027 लीप वर्ष नहीं है, इसलिए फरवरी के 28 दिन गिनेंगे। मार्च के 31 दिन, अप्रैल के 30 दिन और मई के 31 दिन गिनेंगे। जून में जिस तारीख का दिन पता करना है, उस तक 14 दिन हैं। इन्हें जोड़ने पर 22 + 28 + 31 + 30 + 31 + 14 = 156 दिन मिलते हैं। 156 को 7 से भाग दें। इससे 22 पूरे सप्ताह और 2 दिन शेष मिलते हैं। शनिवार से 2 दिन आगे जाएँ। शनिवार के 1 दिन बाद रविवार और 2 दिन बाद सोमवार है। इसलिए 14 जून 2027 को सोमवार होगा।

इस ज्ञात तथ्य से शुरू करें कि आज शनिवार है। हमें आज से 24 दिन बाद का दिन पता करना है। 24 को 7 से भाग दें। इससे 3 पूरे सप्ताह मिलते हैं और 3 दिन शेष बचते हैं। शेष बचे ये 3 दिन ही विषम दिन हैं। शनिवार से 3 दिन आगे बढ़ें। शनिवार से 1 दिन बाद रविवार, 2 दिन बाद सोमवार और 3 दिन बाद मंगलवार आता है। इसलिए आज से 24 दिन बाद मंगलवार होगा।

दी गई जानकारी से शुरू करें: बीता हुआ कल रविवार था। यदि कल रविवार था, तो आज सोमवार होगा। आज से एक दिन बाद, यानी कल, मंगलवार होगा। आने वाला परसों उससे एक दिन आगे होगा। मंगलवार के एक दिन बाद बुधवार आता है। इसलिए आने वाले परसों बुधवार होगा।

25 दिसंबर 2026, शुक्रवार को आधार दिन मानें। जिस तारीख का दिन पता करना है, यानी 14 दिसंबर 2026, वह 11 दिन पहले है। 11 को 7 से भाग दें। इससे 1 पूरा सप्ताह और 4 दिन शेष मिलते हैं। ये शेष 4 दिन ही विषम दिन हैं, जिन्हें पीछे की ओर गिनना है। दोनों तारीखें दिसंबर में हैं, इसलिए यहाँ लीप वर्ष का नियम लागू नहीं होता। शुक्रवार से 4 दिन पीछे जाएँ। शुक्रवार से 1 दिन पहले गुरुवार, 2 दिन पहले बुधवार, 3 दिन पहले मंगलवार और 4 दिन पहले सोमवार है। इसलिए 14 दिसंबर 2026 को सोमवार था।

4 मार्च 2026 को ज्ञात संदर्भ दिन मानें, जो बुधवार है। जिस तारीख का दिन पता करना है, वह 21 मार्च 2026 है, यानी 17 दिन बाद। 17 को 7 से भाग दें। इससे 2 पूरे सप्ताह मिलते हैं और 3 दिन शेष बचते हैं। शेष बचे ये 3 दिन ही विषम दिन हैं। दोनों तारीखें मार्च में हैं, इसलिए यहाँ लीप वर्ष का कोई नियम लागू नहीं होता। बुधवार से 3 दिन आगे बढ़ें। बुधवार से 1 दिन बाद गुरुवार, 2 दिन बाद शुक्रवार और 3 दिन बाद शनिवार आता है। इसलिए 21 मार्च 2026 को शनिवार है।

यदि किसी वर्ष में 4 का पूरा भाग जाता है, तो वह अधिवर्ष होता है। कोई शताब्दी वर्ष तभी अधिवर्ष होता है, जब उसमें 400 का भी पूरा भाग जाए। 2000 को देखें: इसमें 4 और 400, दोनों का पूरा भाग जाता है। इसलिए 2000 अधिवर्ष है। 2400 को देखें: इसमें भी 4 और 400, दोनों का पूरा भाग जाता है। इसलिए 2400 भी अधिवर्ष है। 2016 को देखें: इसमें 4 का पूरा भाग जाता है और यह शताब्दी वर्ष नहीं है। इसलिए 2016 भी अधिवर्ष है। 1800 को देखें: इसमें 4 का पूरा भाग जाता है, लेकिन 400 से भाग देने पर शेष बचता है। इसलिए 1800 शताब्दी वर्ष के लिए लागू शर्त पूरी नहीं करता। जो वर्ष अधिवर्ष नहीं है, वह 1800 है।

यदि किसी वर्ष में 4 का पूरा भाग जाता है, तो वह अधिवर्ष होता है। शताब्दी वर्ष इस नियम का अपवाद है। किसी शताब्दी वर्ष को अधिवर्ष होने के लिए 400 से भी पूरी तरह विभाजित होना चाहिए। 1900 को देखें: इसमें 4 का पूरा भाग जाता है, लेकिन 400 से भाग देने पर शेष बचता है। इसलिए 1900 अधिवर्ष नहीं है। 2100 को देखें: इसमें भी 4 का पूरा भाग जाता है, लेकिन 400 का नहीं। इसलिए 2100 भी अधिवर्ष नहीं है। 2200 के साथ भी यही स्थिति है। इसमें 4 का पूरा भाग जाता है, लेकिन 400 का नहीं। इसलिए 2200 भी अधिवर्ष नहीं है। 2032 को देखें: इसमें 4 का पूरा भाग जाता है और यह शताब्दी वर्ष भी नहीं है। इसलिए 2032 अधिवर्ष है। चारों विकल्पों में अधिवर्ष 2032 है।

पानी में घड़ी के प्रतिबिंब का समय इस नियम से निकाला जाता है: प्रतिबिंब का समय = 6:00 में से वास्तविक समय घटाने पर मिला समय। 4:10 घटाते समय उधार लेना होगा, क्योंकि 10, 0 से अधिक है। 6:00 को 5 घंटे और 60 मिनट के रूप में लिखें। घंटे घटाएं: 5 में से 4 घटाने पर 1 मिलता है। मिनट घटाएं: 60 में से 10 घटाने पर 50 मिलते हैं। इसलिए पानी में प्रतिबिंब 1:50 दिखाता है।