अशाब्दिक तर्कशक्ति: आकृति श्रृंखला और दर्पण प्रतिबिंब — उत्तर सहित MCQ (सेट 2)

केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को गिनें, एक बार में एक ही आकार के। सबसे पहले सबसे छोटे, एक इकाई आकार के ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें, फिर उनसे अगले बड़े आकार के, और इसी तरह आगे बढ़ें। सभी आकारों के ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को जोड़ने पर कुल 20 मिलते हैं। नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुज कुल 7 हैं और इन्हें इस गिनती में शामिल नहीं किया गया है। ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों की सही संख्या 20 है।

केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें और एक बार में एक ही आकार के त्रिभुज गिनें। सबसे पहले सबसे छोटे, एक इकाई आकार वाले ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें, फिर उनसे अगले बड़े आकार के, और इसी तरह आगे बढ़ें। सभी आकारों के ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को जोड़ने पर कुल 10 मिलते हैं। नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुज कुल 3 हैं और उन्हें इस गिनती में शामिल नहीं किया गया है। ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों की सही संख्या 10 है।

पहले ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें। सबसे छोटे आकार से शुरू करके सबसे बड़े आकार तक, एक बार में एक आकार के त्रिभुज गिनें। इस आकृति में ऊपर की ओर नोक वाले कुल 56 त्रिभुज हैं। अब इसी तरह नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुजों को भी आकार के अनुसार गिनें। इनकी कुल संख्या 22 है। एक आम गलती यह है कि केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनकर रुक जाते हैं। दोनों दिशाओं वाले त्रिभुजों की संख्या जोड़ें: 56 और 22 का योग 78 है। हर आकार और दोनों दिशाओं के त्रिभुज गिनने पर सही कुल संख्या 78 है।

पहले ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को गिनें। सबसे छोटे से सबसे बड़े आकार की ओर बढ़ते हुए, एक बार में एक ही आकार के त्रिभुज गिनें। इस आकृति में ऊपर की ओर नोक वाले कुल 35 त्रिभुज हैं। अब इसी तरह, एक-एक आकार के नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें। इनकी कुल संख्या 13 है। एक आम गलती यह है कि केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनकर रुक जाते हैं। दोनों दिशाओं वाले त्रिभुजों की संख्या जोड़ें: 35 और 13 का योग 48 है। हर आकार और दोनों दिशाओं के त्रिभुज गिनने पर सही कुल संख्या 48 है।

पहले ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को गिनें। सबसे छोटे से सबसे बड़े आकार तक, एक बार में एक ही आकार के त्रिभुज गिनें। इस आकृति में ऊपर की ओर नोक वाले कुल 20 त्रिभुज हैं। अब इसी तरह नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुजों को भी आकार के अनुसार गिनें। इनकी कुल संख्या 7 है। एक आम गलती यह है कि केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को गिनकर रुक जाते हैं। दोनों दिशाओं के त्रिभुजों की संख्या जोड़ें: 20 और 7 का योग 27 है। हर आकार और दोनों दिशाओं के सभी त्रिभुज गिनने पर सही कुल संख्या 27 है।

पहले ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को गिनें। सबसे छोटे आकार से शुरू करके सबसे बड़े आकार तक, एक बार में एक ही आकार के त्रिभुज गिनें। इस आकृति में ऊपर की ओर नोक वाले कुल 10 त्रिभुज हैं। अब इसी तरह नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुजों को भी आकार के अनुसार गिनें। नीचे की ओर नोक वाले कुल 3 त्रिभुज हैं। एक आम गलती यह है कि केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुजों को गिनकर रुक जाते हैं। दोनों दिशाओं के त्रिभुजों की संख्या जोड़ें: 10 और 3 मिलाकर 13 होते हैं। हर आकार और दोनों दिशाओं के सभी त्रिभुजों को गिनने पर सही कुल संख्या 13 है।

पहले ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें। सबसे छोटे से सबसे बड़े आकार तक, एक बार में एक आकार के त्रिभुज गिनें। इस आकृति में ऊपर की ओर नोक वाले कुल 4 त्रिभुज हैं। अब इसी तरह हर आकार के नीचे की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनें। नीचे की ओर नोक वाला कुल 1 त्रिभुज है। एक आम गलती केवल ऊपर की ओर नोक वाले त्रिभुज गिनकर रुक जाना है। दोनों दिशाओं के त्रिभुज जोड़ें: 4 और 1 का योग 5 है। सभी आकारों और दोनों दिशाओं के त्रिभुजों की सही कुल संख्या 5 है।

इस ग्रिड में कोई आयत चुनने के लिए 2 क्षैतिज रेखाएँ और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुनी जाती हैं। 4 पंक्तियों वाले ग्रिड में 5 क्षैतिज रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(5,2) = 10 तरीके हैं। 4 स्तंभों वाले ग्रिड में 5 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(5,2) = 10 तरीके हैं। इन दोनों संख्याओं को गुणा करें: 10 गुणा 10 बराबर 100। एक आम गलती केवल 16 सबसे छोटे इकाई खानों को गिनना और सभी बड़े आयतों को छोड़ देना है। सभी आकारों के आयतों की सही कुल संख्या 100 है।

इस ग्रिड में कोई आयत चुनने के लिए 2 क्षैतिज रेखाएँ और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुननी होती हैं। 3 पंक्तियों वाले ग्रिड में 4 क्षैतिज रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(4,2) = 6 तरीके हैं। 5 स्तंभों वाले ग्रिड में 6 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(6,2) = 15 तरीके हैं। इन दोनों संख्याओं को गुणा करें: 6 गुणा 15 बराबर 90 होता है। एक आम गलती यह है कि केवल 15 सबसे छोटे खाने गिने जाते हैं और सभी बड़े आयत छूट जाते हैं। सभी आकारों के आयतों की सही कुल संख्या 90 है।

इस ग्रिड में एक आयत बनाने के लिए 2 क्षैतिज रेखाएँ और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुनी जाती हैं। 2 पंक्तियों वाले ग्रिड में 3 क्षैतिज रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(3,2) = 3 तरीके हैं। 5 स्तंभों वाले ग्रिड में 6 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(6,2) = 15 तरीके हैं। इन दोनों संख्याओं को गुणा करें: 3 गुणा 15 बराबर 45। एक आम गलती यह है कि केवल 10 सबसे छोटे खानों को गिना जाता है और सभी बड़े आयत छूट जाते हैं। सभी आकारों के आयतों की सही कुल संख्या 45 है।

इस ग्रिड में एक आयत तय करने के लिए 2 क्षैतिज रेखाएँ और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुनी जाती हैं। 3 पंक्तियों वाले ग्रिड में 4 क्षैतिज रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(4,2) = 6 तरीके हैं। 4 स्तंभों वाले ग्रिड में 5 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(5,2) = 10 तरीके हैं। इन दोनों संख्याओं को गुणा करें: 6 गुणा 10 बराबर 60 होता है। एक आम गलती यह है कि केवल 12 सबसे छोटे खानों को गिना जाता है और सभी बड़े आयत छूट जाते हैं। सभी आकारों के आयतों की सही कुल संख्या 60 है।

इस ग्रिड में 2 क्षैतिज रेखाएँ और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुनने से एक आयत तय होता है। 3 पंक्तियों वाले ग्रिड में 4 क्षैतिज रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(4,2) = 6 तरीके हैं। 3 स्तंभों वाले ग्रिड में 4 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(4,2) = 6 तरीके हैं। इन दोनों संख्याओं को गुणा करें: 6 गुणा 6 बराबर 36 होता है। एक आम गलती केवल 9 सबसे छोटे खानों को गिनना और सभी बड़े आयतों को छोड़ देना है। सभी आकारों के आयतों की सही कुल संख्या 36 है।

इस जाल में कोई आयत 2 क्षैतिज रेखाएँ और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुनने से तय होता है। 2 पंक्तियों वाले जाल में 3 क्षैतिज रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(3,2) = 3 तरीके हैं। 3 स्तंभों वाले जाल में 4 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं, इसलिए उनमें से 2 चुनने के C(4,2) = 6 तरीके हैं। इन दोनों संख्याओं को गुणा करें: 3 गुना 6 बराबर 18 होता है। एक आम गलती है केवल 6 सबसे छोटे खानों को गिनना और सभी बड़े आयतों को छोड़ देना। सभी आकारों के आयतों की सही कुल संख्या 18 है।

वर्गों को एक बार में एक ही आकार के अनुसार गिनें, सबसे छोटे से सबसे बड़े तक। n गुणा n के ग्रिड में k आकार का वर्ग हर भुजा के साथ (n-k+1) जगहों पर बन सकता है। इस 6 गुणा 6 के ग्रिड में हर आकार के वर्गों की संख्या इस प्रकार है। 1 गुणा 1 के 36, 2 गुणा 2 के 25 और 3 गुणा 3 के 16 वर्ग हैं। 4 गुणा 4 के 9, 5 गुणा 5 के 4 और 6 गुणा 6 का 1 वर्ग है। कुल संख्या निकालने के लिए सभी आकारों के वर्गों की संख्या जोड़ें। योग 91 है। एक आम गलती है केवल 36 सबसे छोटे इकाई वर्गों को गिनना और उन्हें मिलाकर बनने वाले बड़े वर्गों को भूल जाना। सभी आकारों के वर्गों की सही कुल संख्या 91 है।

वर्गों को एक बार में एक आकार के अनुसार गिनें, सबसे छोटे से सबसे बड़े तक। n गुणा n की जाली में k आकार का वर्ग हर भुजा के साथ (n-k+1) स्थानों पर बन सकता है। इस 5 गुणा 5 की जाली में हर आकार के वर्गों की संख्या इस प्रकार है। 1 गुणा 1 के 25, 2 गुणा 2 के 16, 3 गुणा 3 के 9 वर्ग हैं। 4 गुणा 4 के 4 और 5 गुणा 5 का 1 वर्ग है। कुल संख्या निकालने के लिए सभी आकारों के वर्गों की संख्याएँ जोड़ें। इनका योग 55 है। एक आम गलती केवल सबसे छोटे 25 इकाई वर्गों को गिनना और उन्हें मिलाकर बनने वाले बड़े वर्गों को भूल जाना है। सभी आकारों के वर्गों की सही कुल संख्या 55 है।

सबसे छोटे से सबसे बड़े आकार तक, एक बार में एक ही आकार के वर्ग गिनें। n गुणा n के ग्रिड में k आकार का वर्ग हर भुजा के साथ (n-k+1) स्थानों पर बन सकता है। इस 4 गुणा 4 के ग्रिड में हर आकार के वर्गों की संख्या इस प्रकार है। 1 गुणा 1 के 16, 2 गुणा 2 के 9 और 3 गुणा 3 के 4 वर्ग हैं। 4 गुणा 4 का 1 वर्ग है। कुल संख्या निकालने के लिए सभी आकारों के वर्गों की संख्याएँ जोड़ें। इनका योग 30 है। एक आम गलती यह है कि केवल 16 सबसे छोटे इकाई वर्गों को गिना जाता है और उन्हें मिलाकर बनने वाले बड़े वर्गों को छोड़ दिया जाता है। सभी आकारों के वर्गों की सही कुल संख्या 30 है।

सबसे छोटे से सबसे बड़े आकार तक, एक बार में एक आकार के वर्ग गिनें। n गुणा n के ग्रिड में k आकार का वर्ग हर तरफ (n-k+1) स्थानों पर बन सकता है। इस 3 गुणा 3 के ग्रिड में हर आकार के वर्गों की संख्या इस प्रकार है। 1 गुणा 1 के 9, 2 गुणा 2 के 4 और 3 गुणा 3 का 1 वर्ग है। कुल संख्या निकालने के लिए सभी आकारों के वर्गों को जोड़ें। योग 14 है। एक आम गलती केवल 9 सबसे छोटे इकाई वर्गों को गिनना और उन्हें मिलाकर बने बड़े वर्गों को भूल जाना है। सभी आकारों के वर्गों की सही कुल संख्या 14 है।

एक बार में एक आकार के वर्ग गिनें, सबसे छोटे से सबसे बड़े तक। n × n के ग्रिड में k आकार का वर्ग प्रत्येक भुजा पर (n-k+1) स्थानों पर बनाया जा सकता है। इस 2 × 2 के ग्रिड में हर आकार के वर्गों की संख्या इस तरह है: 1 × 1 के 4 वर्ग और 2 × 2 का 1 वर्ग। कुल संख्या निकालने के लिए सभी आकारों के वर्गों की संख्या जोड़ें। योग 5 है। एक आम गलती है केवल 4 सबसे छोटे इकाई वर्गों को गिनना और उन्हें मिलाकर बनने वाले बड़े वर्गों को भूल जाना। सभी आकारों के वर्गों की सही कुल संख्या 5 है।

घन के छह फलकों पर वृत्त, वर्ग, त्रिभुज, समचतुर्भुज, क्रॉस और तीर के चिह्न हैं। दृश्य 1 में वृत्त के साथ वर्ग और त्रिभुज दिखते हैं, इसलिए वृत्त इन दोनों के आसन्न है। दृश्य 2 में वृत्त के साथ क्रॉस और तीर दिखते हैं, इसलिए वृत्त इन दोनों के भी आसन्न है। अब वृत्त चार फलकों के आसन्न है: वर्ग, त्रिभुज, क्रॉस और तीर। इसलिए वृत्त के विपरीत समचतुर्भुज होगा। दृश्य 1 में वर्ग के साथ वृत्त और त्रिभुज दिखते हैं, इसलिए वर्ग इन दोनों के आसन्न है। दृश्य 3 में वर्ग के साथ समचतुर्भुज और तीर दिखते हैं, इसलिए वर्ग इन दोनों के भी आसन्न है। अब वर्ग चार फलकों के आसन्न है: वृत्त, त्रिभुज, समचतुर्भुज और तीर। इसलिए वर्ग के विपरीत क्रॉस होगा। विपरीत फलकों के दो जोड़े तय हो गए हैं: वृत्त-समचतुर्भुज और वर्ग-क्रॉस। केवल त्रिभुज और तीर का जोड़ा बनना बाकी है। हर फलक का ठीक एक विपरीत फलक होता है, इसलिए त्रिभुज और तीर एक-दूसरे के विपरीत होंगे। त्रिभुज के विपरीत चिह्न तीर है।

घन के छह फलकों पर सूर्य, चंद्रमा, तारा, बादल, पत्ती और लहर के चिह्न हैं। दृश्य 1 में सूर्य के साथ चंद्रमा और तारा दिखते हैं, इसलिए सूर्य इन दोनों के आसन्न है। दृश्य 2 में सूर्य के साथ बादल और पत्ती दिखते हैं, इसलिए सूर्य इन दोनों के भी आसन्न है। इस तरह सूर्य चार अलग-अलग फलकों के आसन्न है: चंद्रमा, तारा, बादल और पत्ती। घन का कोई फलक अधिकतम चार अन्य फलकों के आसन्न हो सकता है। वह अपने विपरीत फलक को छोड़कर बाकी सभी फलकों से सटा होता है। सूर्य पहले ही चंद्रमा, तारा, बादल और पत्ती के आसन्न है, इसलिए केवल लहर बचती है। अतः लहर वाला फलक सूर्य के विपरीत होगा। सूर्य के विपरीत चिह्न लहर है।

घन के छह फलकों पर P, Q, R, S, T और W हैं। दृश्य 1 में P के साथ Q और R हैं, इसलिए P इन दोनों से सटा हुआ है। दृश्य 2 में P के साथ S और T हैं, इसलिए P इन दोनों से भी सटा हुआ है। दोनों दृश्यों से पता चलता है कि P चार अलग-अलग फलकों Q, R, S और T से सटा हुआ है। घन का कोई भी फलक अधिकतम चार अन्य फलकों से सटा हो सकता है। वह अपने सामने वाले फलक को छोड़कर बाकी सभी फलकों को छूता है। P पहले ही Q, R, S और T से सटा हुआ है, इसलिए केवल W बचता है। अतः W, P के सामने वाले फलक पर होना चाहिए। W के सामने वाले फलक का अक्षर P है।

घन की भुजा 7 है, इसलिए N-2 = 7-2 = 5 है। किनारों पर स्थित, कोनों को छोड़कर, छोटे घन ठीक दो बाहरी फलकों को छूते हैं। उनकी संख्या 12 x (N-2) = 12 x 5 = 60 है। घन का आकार चाहे जो हो, कोनों वाले घनों की संख्या हमेशा 8 होती है। एक रंगे हुए फलक वाले, फलकों के बीच स्थित घनों की संख्या 6 x (N-2)^2 = 6 x 25 = 150 है। पूरी तरह अंदर छिपे घनों का कोई भी फलक रंगा नहीं होता और उनकी संख्या (N-2)^3 = 5^3 = 125 है। ठीक दो रंगे हुए फलकों वाले घनों की संख्या 60 है।

घन की भुजा 6 है, इसलिए इसे 6 x 6 x 6 = 216 इकाई घनों में काटा जाता है। पूरी तरह अंदर छिपे घन किसी भी बाहरी फलक को नहीं छूते। उनकी संख्या का सूत्र (N-2)^3 है, जहाँ N भुजा की लंबाई है। यहाँ N-2 = 6-2 = 4 है, इसलिए (N-2)^3 = 4^3 = 64 है। एक रंगे हुए फलक वाले, फलकों के बीच स्थित घनों की संख्या 6 x (N-2)^2 = 6 x 16 = 96 है। दो रंगे हुए फलकों वाले किनारों के घनों की संख्या 12 x (N-2) = 12 x 4 = 48 है। कुल 216 इकाई घनों की संख्या यहाँ नहीं पूछी गई है। पूरी तरह बिना रंगे घनों की संख्या 64 है।

घन की भुजा 3 है, इसलिए इसे 3 x 3 x 3 = 27 इकाई घनों में काटा जाता है। फलकों के बीच के हिस्से में स्थित छोटे घन ठीक एक बाहरी फलक को छूते हैं। उनकी संख्या का सूत्र 6 x (N-2)^2 है, जहाँ N भुजा की लंबाई है। यहाँ N-2 = 3-2 = 1 है, इसलिए (N-2)^2 = 1 है। फलकों के बीच वाले घनों की संख्या = 6 x 1 = 6 है। घन का आकार चाहे जो हो, कोनों वाले घनों की संख्या हमेशा 8 होती है। दो रंगे हुए फलकों वाले किनारों के घनों की संख्या 12 x (N-2) = 12 x 1 = 12 है। पूरी तरह अंदर छिपे घनों का कोई भी फलक रंगा नहीं होता और उनकी संख्या (N-2)^3 = 1 है। ठीक एक रंगे हुए फलक वाले घनों की संख्या 6 है।

घन की भुजा 4 है, इसलिए इसे 4 x 4 x 4 = 64 इकाई घनों में काटा जाता है। किनारों पर स्थित, कोनों को छोड़कर, छोटे घन ठीक दो बाहरी फलकों को छूते हैं। उनकी संख्या का सूत्र 12 x (N-2) है, जहाँ N भुजा की लंबाई है। यहाँ N-2 = 4-2 = 2 है। इसलिए ऐसे घनों की संख्या = 12 x 2 = 24 है। एक आम गलती सूत्र में (N-2) की जगह (N-1) का उपयोग करना है। इससे गलत उत्तर 12 x 3 = 36 मिलता है। कोनों वाले घनों की संख्या हमेशा 8 होती है, क्योंकि हर घन के 8 कोने होते हैं। यहाँ इकाई घनों की कुल संख्या 64 है, लेकिन यह इस प्रश्न का उत्तर नहीं है। ठीक दो रंगे हुए फलकों वाले घनों की संख्या 24 है।

घन की भुजा 3 है, इसलिए उसे 3 x 3 x 3 = 27 इकाई घनों में काटा जाता है। कोनों के घन हमेशा तीन बाहरी फलकों को छूते हैं, इसलिए उनके 3 फलकों पर रंग होता है। घन का आकार चाहे जो हो, कोनों के घनों की संख्या हमेशा ठीक 8 होती है। किनारों के घन दो बाहरी फलकों को छूते हैं। उनकी संख्या 12 x (N-2) होती है, जहाँ N भुजा की लंबाई है। यहाँ N-2 = 1 है, इसलिए किनारों के घन = 12 x 1 = 12 हैं। फलकों के बीच वाले घन एक बाहरी फलक को छूते हैं। उनकी संख्या 6 x (N-2)^2 = 6 x 1 = 6 है। पूरी तरह अंदर छिपे घन किसी भी बाहरी फलक को नहीं छूते। उनकी संख्या (N-2)^3 = 1^3 = 1 है। केवल बिल्कुल बीच वाले घन पर रंग नहीं लगता। इसलिए उत्तर 1 है।