चक्रवृद्धि ब्याज: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

साधारण ब्याज में हर वर्ष मूलधन P पर ब्याज की समान निश्चित राशि मिलती है। चक्रवृद्धि ब्याज में दूसरे वर्ष, पहले वर्ष के ब्याज पर भी ब्याज मिलता है। पहले वर्ष का ब्याज P x R/100 है। दूसरे वर्ष इस राशि पर भी R% की दर से ब्याज मिलता है। यह अतिरिक्त ब्याज (P x R/100) x (R/100) = P(R/100)^2 है। इसलिए 2 वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर P(R/100)^2 होता है।

छमाही चक्रवृद्धि का अर्थ है कि हर वर्ष दो बार ब्याज जोड़ा जाता है। इसलिए वार्षिक दर R% को दो बराबर छमाही दरों में बाँटा जाता है। प्रत्येक छमाही की दर R/2% होती है। चूँकि हर वर्ष 2 बार ब्याज जोड़ा जाता है, इसलिए n वर्षों में 2n अवधियाँ होती हैं। अतः सूत्र में 2n अवधियों के लिए R/2% दर का उपयोग होता है।

मान लें मूलधन = P, दर = R% वार्षिक, समय = n वर्ष और ब्याज की गणना वार्षिक आधार पर होती है। हर वर्ष मिश्रधन को एक ही गुणक, (1+R/100), से गुणा किया जाता है। यह गुणा लगातार n वर्षों तक हर वर्ष एक बार होता है। इसलिए मिश्रधन = P(1+R/100)^n, जहाँ n घातांक है।

चक्रवृद्धि ब्याज संचित कुल राशि पर लगाया जाता है, केवल शुरुआती मूलधन पर नहीं। अवधि 1 के बाद अर्जित ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है। यह नई कुल राशि अवधि 2 के लिए मूलधन बन जाती है। इसलिए अवधि 1 के बाद की कुल राशि अगली अवधि का मूलधन बन जाती है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 25% प्रति वर्ष, समय T = 2 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x का P से संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 175 / (5/4)^2। = 175 x (4/5)^2 = रु. 112। जाँच: 112 x (5/4)^2 = रु. 175, जो देय राशि के बराबर है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 25% प्रति वर्ष, समय T = 2 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x का P से संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 275 / (5/4)^2। = 275 x (4/5)^2 = रु. 176। जाँच: 176 x (5/4)^2 = रु. 275, जो देय राशि के बराबर है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 16% प्रतिवर्ष, समय T = 3 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 439002 / (29/25)^3. = 439002 x (25/29)^3 = Rs 281250। जाँच: 281250 x (29/25)^3 = Rs 439002, जो देय राशि के बराबर है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 25% प्रतिवर्ष, समय T = 2 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 400 / (5/4)^2. = 400 x (4/5)^2 = Rs 256। जाँच: 256 x (5/4)^2 = Rs 400, जो देय राशि के बराबर है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 50% प्रतिवर्ष, समय T = 3 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 432 / (3/2)^3. = 432 x (2/3)^3 = Rs 128। जाँच: 128 x (3/2)^3 = Rs 432, जो देय राशि के बराबर है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 16% प्रतिवर्ष, समय T = 2 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 13456 / (29/25)^2. = 13456 x (25/29)^2 = Rs 10000। जाँच: 10000 x (29/25)^2 = Rs 13456, जो देय राशि के बराबर है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 25% प्रतिवर्ष, समय T = 3 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 250 / (5/4)^3. = 250 x (4/5)^3 = Rs 128। जाँच: 128 x (5/4)^3 = Rs 250, जो देय राशि के बराबर है।

मान लीजिए वर्तमान मूल्य = P, दर R = 8% वार्षिक, समय T = 3 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 59049 / (27/25)^3। = 59049 x (25/27)^3 = Rs 46875। जाँच: 46875 x (27/25)^3 = Rs 59049, जो देय राशि से मेल खाता है।

मान लीजिए वर्तमान मूल्य = P, दर R = 15% वार्षिक, समय T = 2 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 5819 / (23/20)^2। = 5819 x (20/23)^2 = Rs 4400। जाँच: 4400 x (23/20)^2 = Rs 5819, जो देय राशि से मेल खाता है।

मान लें वर्तमान मूल्य = P, दर R = 40% वार्षिक, समय T = 2 वर्ष। T वर्षों बाद देय राशि x और P का संबंध है: x = P x (1+R/100)^T। इसलिए P = x / (1+R/100)^T = 882 / (7/5)^2। = 882 x (5/7)^2 = Rs 450। जाँच: 450 x (7/5)^2 = Rs 882, जो देय राशि के बराबर है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 1625। वर्ष 1 की दर = 16% वार्षिक। वर्ष 2 की दर = 20% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद, मिश्रधन = P x (1+16/100) = 1625 x 29/25 = Rs 1885। वर्ष 2 के बाद, मिश्रधन = 1885 x (1+20/100) = 1885 x 6/5 = Rs 2262। जाँच: P x 29/25 x 6/5 = Rs 2262, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 2500 है। वर्ष 1 की ब्याज दर = 5% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 16% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद, मिश्रधन = P x (1+5/100) = 2500 x 21/20 = Rs 2625। वर्ष 2 के बाद, मिश्रधन = 2625 x (1+16/100) = 2625 x 29/25 = Rs 3045। जाँच: P x 21/20 x 29/25 = Rs 3045, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 1250 है। वर्ष 1 की ब्याज दर = 4% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 12% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद, मिश्रधन = P x (1+4/100) = 1250 x 26/25 = Rs 1300। वर्ष 2 के बाद, मिश्रधन = 1300 x (1+12/100) = 1300 x 28/25 = Rs 1456। जाँच: P x 26/25 x 28/25 = Rs 1456, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 250। वर्ष 1 की ब्याज दर = 12% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 20% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद मिश्रधन = P x (1+12/100) = 250 x 28/25 = Rs 280। वर्ष 2 के बाद मिश्रधन = 280 x (1+20/100) = 280 x 6/5 = Rs 336। जाँच: P x 28/25 x 6/5 = Rs 336, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 120। वर्ष 1 की ब्याज दर = 25% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 50% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद मिश्रधन = P x (1+25/100) = 120 x 5/4 = Rs 150। वर्ष 2 के बाद मिश्रधन = 150 x (1+50/100) = 150 x 3/2 = Rs 225। जाँच: P x 5/4 x 3/2 = Rs 225, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 6250। वर्ष 1 की ब्याज दर = 4% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 16% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद मिश्रधन = P x (1+4/100) = 6250 x 26/25 = Rs 6500। वर्ष 2 के बाद मिश्रधन = 6500 x (1+16/100) = 6500 x 29/25 = Rs 7540। जाँच: P x 26/25 x 29/25 = Rs 7540, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 650। वर्ष 1 की ब्याज दर = 8% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 50% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद मिश्रधन = P x (1+8/100) = 650 x 27/25 = Rs 702। वर्ष 2 के बाद मिश्रधन = 702 x (1+50/100) = 702 x 3/2 = Rs 1053। जाँच: P x 27/25 x 3/2 = Rs 1053, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 50। वर्ष 1 की ब्याज दर = 50% वार्षिक। वर्ष 2 की ब्याज दर = 4% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद मिश्रधन = P x (1+50/100) = 50 x 3/2 = Rs 75। वर्ष 2 के बाद मिश्रधन = 75 x (1+4/100) = 75 x 26/25 = Rs 78। जाँच: P x 3/2 x 26/25 = Rs 78, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम से मेल खाता है।

मान लीजिए मूलधन P = Rs 5625। पहले वर्ष की ब्याज दर = 12% वार्षिक। दूसरे वर्ष की ब्याज दर = 16% वार्षिक। पहले वर्ष के बाद, मिश्रधन = P x (1+12/100) = 5625 x 28/25 = Rs 6300। दूसरे वर्ष के बाद, मिश्रधन = 6300 x (1+16/100) = 6300 x 29/25 = Rs 7308। जाँच: P x 28/25 x 29/25 = Rs 7308, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम के बराबर है।

मान लें मूलधन P = Rs 2800। वर्ष 1 की दर = 5% वार्षिक। वर्ष 2 की दर = 10% वार्षिक। वर्ष 1 के बाद, मिश्रधन = P x (1+5/100) = 2800 x 21/20 = Rs 2940। वर्ष 2 के बाद, मिश्रधन = 2940 x (1+10/100) = 2940 x 11/10 = Rs 3234। जाँच: P x 21/20 x 11/10 = Rs 3234, जो चरणबद्ध गणना के परिणाम के बराबर है।

मान लीजिए मूलधन = P, ब्याज दर R = 25% वार्षिक और समय T = 3 वर्ष है। ब्याज की गणना वार्षिक आधार पर होती है। मिश्रधन = P(1+R/100)^T = P x (5/4)^T। इसलिए चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन – P = P x [(5/4)^3 – 1]। T=3 के लिए, (5/4)^3 – 1 = 61/64। दिया है कि चक्रवृद्धि ब्याज = Rs 1159, इसलिए P x 61/64 = 1159। अतः P = 1159 x 64/61 = Rs 1216। जाँच: मिश्रधन = P + चक्रवृद्धि ब्याज = 1216 + 1159 = Rs 2375, जो P x (5/4)^3 के बराबर है।