दौड़ और कौशल के खेल: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

मान लें दिव्या की चाल = 11 इकाई और नेहा की चाल = 9 इकाई, क्योंकि दिव्या 11/9 गुनी चाल से दौड़ती है। जितने समय में दिव्या 11 मीटर दौड़ती है, उतने समय में नेहा केवल 9 मीटर दौड़ती है। इसलिए दिव्या हर 11 मीटर दौड़ने पर नेहा से अपना अंतर 11-9 = 2 मीटर कम करती है। दिव्या, नेहा को 40 मीटर आगे से शुरू करने देती है, इसलिए दोनों के एक साथ पहुँचने के लिए दिव्या को पूरी दौड़ में ठीक 40 मीटर का अंतर पूरा करना होगा। 2 मीटर का अंतर पूरा करने के लिए दिव्या को 11 मीटर दौड़ना पड़ता है, इसलिए 40 मीटर का अंतर पूरा करने के लिए उसे (11/2) x 40 = 220 मीटर दौड़ना होगा। इसलिए समापन रेखा 220 मीटर दूर होनी चाहिए। जाँच: 220 मीटर में दिव्या 220/11 x 2 = 40 मीटर का अंतर पूरा करती है, जो नेहा को दी गई शुरुआती बढ़त के बराबर है।

दौड़ में सभी प्रतियोगियों के दौड़ने के लिए शुरुआत से अंत तक एक निश्चित मार्ग होता है। प्रारंभिक बिंदु से अंतिम रेखा तक के इस पूरे मार्ग का एक नाम है। दौड़ की शब्दावली में इसे दौड़ का मार्ग (race course) कहते हैं। प्रारंभिक बिंदु और अंतिम रेखा इस मार्ग के केवल दो सिरे हैं, पूरा मार्ग नहीं। इसलिए सही शब्द ‘दौड़ का मार्ग’ है।

‘A, B को 20 m से हराता है’ दूरी का अंतर बताता है, समय का नहीं। यह अंतर उस क्षण मापा जाता है जब A अंतिम रेखा पार करता है। उस समय B ने दौड़ पूरी नहीं की होती है। वह अंतिम रेखा से अभी भी 20 m दूर होता है। इसलिए सही अर्थ है: जब A दौड़ पूरी करता है, तब B अंतिम रेखा से अभी भी 20 m पीछे होता है।

मान लें कि दौड़ की दूरी = 100 मीटर और दी गई शुरुआती बढ़त = 12 मीटर है। यहाँ ‘शुरुआती बढ़त’ का मतलब दूरी की बढ़त है, समय की बढ़त नहीं। B को सामान्य शुरुआती रेखा से 12 मीटर आगे से दौड़ शुरू करने की अनुमति है। इसलिए B को अंतिम रेखा तक पहुँचने के लिए केवल 100-12 = 88 मीटर दौड़ना होता है। A को पूरे 100 मीटर दौड़ने होते हैं, क्योंकि उसे कोई शुरुआती बढ़त नहीं मिलती। इसलिए सही अर्थ है: एक साथ दौड़ पूरी करने के लिए, जब A 100 मीटर दौड़ता है, तो B को केवल 88 मीटर दौड़ना होता है।

दौड़ में कोई एक विजेता तभी होता है, जब कोई धावक सबसे पहले अंतिम रेखा पार करे। यदि सभी प्रतियोगी ठीक एक ही क्षण अंतिम रेखा पर पहुँचते हैं, तो कोई एक विजेता नहीं होता। दौड़ की शब्दावली में इस स्थिति का एक खास नाम है: डेड हीट (Dead heat)। इसलिए सही शब्द ‘डेड हीट दौड़’ है।

मान लें कि खेल 100 अंकों का है। संजय, नेहा को 25 अंकों की बढ़त दे सकता है, इसलिए जब संजय 100 अंक बनाता है, तो नेहा 100-25 = 75 अंक बनाती है। नेहा, अर्जुन को 12 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब नेहा 100 अंक बनाती है, तो अर्जुन 100-12 = 88 अंक बनाता है। अर्जुन के अंक नेहा के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं, इसलिए जब नेहा केवल 75 अंक बनाती है, तो अर्जुन (75/100) x (88) = 66 अंक बनाता है। इस प्रकार जब संजय 100 अंक बनाता है, तो अर्जुन 66 अंक बनाता है। संजय, अर्जुन को 100-66 = 34 अंकों की शुरुआती बढ़त दे सकता है। जाँच: 34 अंक, 25 और 12 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि अर्जुन, नेहा से कमजोर खिलाड़ी है और नेहा पहले से ही संजय से कमजोर है।

मान लें कि खेल 100 अंकों का है। रोहन, करण को 16 अंकों की बढ़त दे सकता है, इसलिए जब रोहन 100 अंक बनाता है, तो करण 100-16 = 84 अंक बनाता है। करण, अर्जुन को 25 अंकों की बढ़त दे सकता है, इसलिए जब करण 100 अंक बनाता है, तो अर्जुन 100-25 = 75 अंक बनाता है। अर्जुन के अंक करण के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं, इसलिए जब करण केवल 84 अंक बनाता है, तो अर्जुन (84/100) x (75) = 63 अंक बनाता है। इस प्रकार जब रोहन 100 अंक बनाता है, तो अर्जुन 63 अंक बनाता है। रोहन, अर्जुन को 100-63 = 37 अंकों की शुरुआती बढ़त दे सकता है। जाँच: 37 अंक, 16 और 25 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि अर्जुन, करण से कमजोर खिलाड़ी है और करण पहले से ही रोहन से कमजोर है।

मान लें कि खेल 100 अंकों का है। अर्जुन, दिव्या को 25 अंकों की बढ़त दे सकता है, इसलिए जब अर्जुन 100 अंक बनाता है, तब दिव्या 100-25 = 75 अंक बनाती है। दिव्या, संजय को 20 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब दिव्या 100 अंक बनाती है, तब संजय 100-20 = 80 अंक बनाता है। संजय के अंक, दिव्या के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं। इसलिए जब दिव्या केवल 75 अंक बनाती है, तब संजय (75/100) x (80) = 60 अंक बनाता है। इस प्रकार, जब अर्जुन 100 अंक बनाता है, तब संजय 60 अंक बनाता है। अर्जुन, संजय को शुरुआत में 100-60 = 40 अंकों की बढ़त दे सकता है। जाँच: 40 अंक, 25 और 20 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि संजय, दिव्या से कमजोर खिलाड़ी है और दिव्या पहले से ही अर्जुन से कमजोर खिलाड़ी है।

मान लें कि खेल 100 अंकों का है। नेहा, अर्जुन को 25 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब नेहा 100 अंक बनाती है, तब अर्जुन 100-25 = 75 अंक बनाता है। अर्जुन, दिव्या को 8 अंकों की बढ़त दे सकता है, इसलिए जब अर्जुन 100 अंक बनाता है, तब दिव्या 100-8 = 92 अंक बनाती है। दिव्या के अंक, अर्जुन के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं। इसलिए जब अर्जुन केवल 75 अंक बनाता है, तब दिव्या (75/100) x (92) = 69 अंक बनाती है। इस प्रकार, जब नेहा 100 अंक बनाती है, तब दिव्या 69 अंक बनाती है। नेहा, दिव्या को शुरुआत में 100-69 = 31 अंकों की बढ़त दे सकती है। जाँच: 31 अंक, 25 और 8 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि दिव्या, अर्जुन से कमजोर खिलाड़ी है और अर्जुन पहले से ही नेहा से कमजोर खिलाड़ी है।

मान लें कि खेल 200 अंकों का है। नेहा, दिव्या को 5 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब नेहा 200 अंक बनाती है, तब दिव्या 200-5 = 195 अंक बनाती है। दिव्या, करण को 40 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब दिव्या 200 अंक बनाती है, तब करण 200-40 = 160 अंक बनाता है। करण के अंक, दिव्या के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं। इसलिए जब दिव्या केवल 195 अंक बनाती है, तब करण (195/200) x (160) = 156 अंक बनाता है। इस प्रकार, जब नेहा 200 अंक बनाती है, तब करण 156 अंक बनाता है। नेहा, करण को शुरुआत में 200-156 = 44 अंकों की बढ़त दे सकती है। जाँच: 44 अंक, 5 और 40 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि करण, दिव्या से कमजोर खिलाड़ी है और दिव्या पहले से ही नेहा से कमजोर खिलाड़ी है।

मान लें कि खेल 200 अंकों का है। प्रिया, दिव्या को 48 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब प्रिया 200 अंक बनाती है, तब दिव्या 200-48 = 152 अंक बनाती है। दिव्या, मीरा को 50 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब दिव्या 200 अंक बनाती है, तब मीरा 200-50 = 150 अंक बनाती है। मीरा के अंक, दिव्या के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं। इसलिए जब दिव्या केवल 152 अंक बनाती है, तब मीरा (152/200) x (150) = 114 अंक बनाती है। इस प्रकार, जब प्रिया 200 अंक बनाती है, तब मीरा 114 अंक बनाती है। प्रिया, मीरा को शुरुआत में 200-114 = 86 अंकों की बढ़त दे सकती है। जाँच: 86 अंक, 48 और 50 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि मीरा, दिव्या से कमजोर खिलाड़ी है और दिव्या पहले से ही प्रिया से कमजोर खिलाड़ी है।

मान लें कि खेल 100 अंकों तक खेला जाता है। दिव्या, नेहा को 25 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब दिव्या 100 अंक बनाती है, तब नेहा 100-25 = 75 अंक बनाती है। नेहा, संजय को 20 अंकों की बढ़त दे सकती है, इसलिए जब नेहा 100 अंक बनाती है, तब संजय 100-20 = 80 अंक बनाता है। संजय के अंक, नेहा के अंकों के अनुपात में बढ़ते हैं, इसलिए जब नेहा केवल 75 अंक बनाती है, तब संजय (75/100) x (80) = 60 अंक बनाता है। अतः जब दिव्या 100 अंक बनाती है, तब संजय 60 अंक बनाता है। दिव्या, संजय को 100-60 = 40 अंकों की शुरुआती बढ़त दे सकती है। जाँच: 40 अंक, 25 और 20 दोनों से अधिक हैं, क्योंकि संजय, नेहा से कमजोर खिलाड़ी है और नेहा पहले से ही दिव्या से कमजोर है।

मान लें कि खेल 80 अंकों का है। नेहा, अर्जुन को शुरुआत में 25 अंकों की बढ़त दे सकती है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का मतलब है कि कमजोर खिलाड़ी पहले से X अंकों के साथ शुरू करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब नेहा पूरे 80 अंक बनाती है, तब अर्जुन को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 80-25 = 55 अंक और बनाने होते हैं। इस प्रकार अर्जुन उतने ही समय में 55 अंक बनाता है। जाँच: 55 अंक, 80 से कम हैं, क्योंकि अर्जुन कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिलती है।

मान लें कि खेल 100 अंकों का है। नेहा, दिव्या को शुरुआत में 7 अंकों की बढ़त दे सकती है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का मतलब है कि कमजोर खिलाड़ी पहले से X अंकों के साथ शुरू करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब नेहा पूरे 100 अंक बनाती है, तब दिव्या को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 100-7 = 93 अंक और बनाने होते हैं। इस प्रकार दिव्या उतने ही समय में 93 अंक बनाती है। जाँच: 93 अंक, 100 से कम हैं, क्योंकि दिव्या कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिलती है।

मान लें कि खेल 50 अंकों का है। अर्जुन, प्रिया को शुरुआत में 9 अंकों की बढ़त दे सकता है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का मतलब है कि कमजोर खिलाड़ी पहले से X अंकों के साथ शुरू करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब अर्जुन पूरे 50 अंक बनाता है, तब प्रिया को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 50-9 = 41 अंक और बनाने होते हैं। इस प्रकार प्रिया उतने ही समय में 41 अंक बनाती है। जाँच: 41 अंक, 50 से कम हैं, क्योंकि प्रिया कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिलती है।

मान लें कि खेल 150 अंकों का है। रोहन, नेहा को शुरुआत में 17 अंकों की बढ़त दे सकता है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का मतलब है कि कमजोर खिलाड़ी पहले से X अंकों के साथ शुरू करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब रोहन पूरे 150 अंक बनाता है, तब नेहा को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 150-17 = 133 अंक और बनाने होते हैं। इस प्रकार नेहा उतने ही समय में 133 अंक बनाती है। जाँच: 133 अंक, 150 से कम हैं, क्योंकि नेहा कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिलती है।

मान लें कि खेल 200 अंकों तक खेला जाता है। करण (Karan), रोहन (Rohan) को शुरुआत में 41 अंकों की बढ़त दे सकता है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का अर्थ है कि कमजोर खिलाड़ी X अंकों से शुरुआत करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब करण पूरे 200 अंक बनाता है, तो रोहन को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 200-41 = 159 और अंक बनाने होते हैं। इस तरह रोहन उतने ही समय में 159 अंक बनाता है। जाँच: 159 अंक, 200 से कम हैं, क्योंकि रोहन कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिली है।

मान लें कि खेल 100 अंकों तक खेला जाता है। रोहन (Rohan), प्रिया (Priya) को शुरुआत में 28 अंकों की बढ़त दे सकता है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का अर्थ है कि कमजोर खिलाड़ी X अंकों से शुरुआत करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब रोहन पूरे 100 अंक बनाता है, तो प्रिया को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 100-28 = 72 और अंक बनाने होते हैं। इस तरह प्रिया उतने ही समय में 72 अंक बनाती है। जाँच: 72 अंक, 100 से कम हैं, क्योंकि प्रिया कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिली है।

मान लें कि खेल 50 अंकों तक खेला जाता है। संजय (Sanjay), अर्जुन (Arjun) को शुरुआत में 6 अंकों की बढ़त दे सकता है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का अर्थ है कि कमजोर खिलाड़ी X अंकों से शुरुआत करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब संजय पूरे 50 अंक बनाता है, तो अर्जुन को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 50-6 = 44 और अंक बनाने होते हैं। इस तरह अर्जुन उतने ही समय में 44 अंक बनाता है। जाँच: 44 अंक, 50 से कम हैं, क्योंकि अर्जुन कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिली है।

मान लें कि खेल 100 अंकों का है। नेहा (Neha), रोहन (Rohan) को शुरुआत में 23 अंकों की बढ़त दे सकती है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का अर्थ है कि कमजोर खिलाड़ी X अंकों से शुरुआत करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब नेहा पूरे 100 अंक बना लेती है, तब रोहन को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 100-23 = 77 और अंक बनाने होते हैं। इस तरह रोहन उसी समय में 77 अंक बनाता है। जाँच: 77 अंक, 100 से कम हैं, क्योंकि रोहन कमजोर खिलाड़ी है जिसे शुरुआत में बढ़त मिली है।

मान लें कि खेल 120 अंकों तक खेला जाता है। रोहन, मीरा को शुरुआत में 7 अंकों की बढ़त दे सकता है। कौशल के खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का मतलब है कि कमजोर खिलाड़ी X अंकों से शुरुआत करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने होते हैं। इसलिए जब रोहन पूरे 120 अंक बनाता है, तब मीरा को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 120-7 = 113 और अंक बनाने होते हैं। इसलिए मीरा उसी समय में 113 अंक बनाती है। जाँच: 113 अंक, 120 से कम हैं, क्योंकि मीरा कमजोर खिलाड़ी है और उसे शुरुआत में बढ़त मिलती है।

मान लें खेल 80 अंकों तक खेला जाता है। मीरा (Meera), दिव्या (Divya) को शुरुआत में 11 अंकों की बढ़त दे सकती है। कौशल वाले खेलों में ‘X अंकों की बढ़त देना’ का मतलब है कि कमजोर खिलाड़ी X अंकों से शुरुआत करता है और उसे खेल पूरा करने के लिए कम अंक बनाने पड़ते हैं। इसलिए जब मीरा पूरे 80 अंक बना लेती है, तब दिव्या को भी खेल पूरा करने के लिए केवल 80-11 = 69 और अंक बनाने होते हैं। इस तरह दिव्या उसी समय में 69 अंक बनाती है। जाँच: 69 अंक, 80 से कम हैं, क्योंकि दिव्या कमजोर खिलाड़ी है जिसे शुरुआत में बढ़त मिली है।

मान लें दौड़ की दूरी = 500 m है। नेहा (Neha), रोहन (Rohan) को 50 m की बढ़त देती है, इसलिए जब नेहा 500 m दौड़ती है, तो रोहन केवल 500-50 = 450 m दौड़ता है। नेहा, दिव्या (Divya) को 95 m की बढ़त देती है, इसलिए जब नेहा 500 m दौड़ती है, तो दिव्या केवल 500-95 = 405 m दौड़ती है। दोनों स्थितियों में समय उतना ही है जितने में नेहा 500 m दौड़ती है, इसलिए उस समय में रोहन और दिव्या की दूरियों की सीधी तुलना कर सकते हैं: रोहन:दिव्या = 450:405। अब इसी अनुपात से रोहन की दूरी पूरे 500 m करें: जब रोहन 500 m दौड़ता है, तो दिव्या 500 x (405)/(450) = 450 m दौड़ती है। इसलिए रोहन, दिव्या को 500-450 = 50 m की बढ़त दे सकता है। जाँच: दिव्या की 95 m की बढ़त, रोहन की 50 m की बढ़त से अधिक है। इसलिए दिव्या तीनों में सबसे धीमी है और रोहन का दिव्या को बढ़त देना सही है।

मान लें दौड़ की दूरी = 800 m है। दिव्या (Divya), प्रिया (Priya) को 112 m की बढ़त देती है, इसलिए जब दिव्या 800 m दौड़ती है, तो प्रिया केवल 800-112 = 688 m दौड़ती है। दिव्या, करण (Karan) को 284 m की बढ़त देती है, इसलिए जब दिव्या 800 m दौड़ती है, तो करण केवल 800-284 = 516 m दौड़ता है। दोनों स्थितियों में समय उतना ही है जितने में दिव्या 800 m दौड़ती है, इसलिए उस समय में प्रिया और करण की दूरियों की सीधी तुलना कर सकते हैं: प्रिया:करण = 688:516। अब इसी अनुपात से प्रिया की दूरी पूरे 800 m करें: जब प्रिया 800 m दौड़ती है, तो करण 800 x (516)/(688) = 600 m दौड़ता है। इसलिए प्रिया, करण को 800-600 = 200 m की बढ़त दे सकती है। जाँच: करण की 284 m की बढ़त, प्रिया की 112 m की बढ़त से अधिक है। इसलिए करण तीनों में सबसे धीमा है और प्रिया का करण को बढ़त देना सही है।

मान लें कि दौड़ की दूरी = 1000 मीटर है। नेहा, दिव्या को 250 मीटर की बढ़त देती है, इसलिए जब नेहा 1000 मीटर दौड़ती है, तब दिव्या केवल 1000-250 = 750 मीटर दौड़ती है। नेहा, रोहन को 298 मीटर की बढ़त देती है, इसलिए जब नेहा 1000 मीटर दौड़ती है, तब रोहन केवल 1000-298 = 702 मीटर दौड़ता है। दोनों स्थितियों में समय उतना ही है जितने में नेहा 1000 मीटर दौड़ती है, इसलिए उस समय में दिव्या और रोहन की दूरियों की सीधे तुलना कर सकते हैं: दिव्या:रोहन = 750:702। अब इसी अनुपात में दिव्या की दूरी को बढ़ाकर पूरे 1000 मीटर करें: जब दिव्या 1000 मीटर दौड़ती है, तब रोहन 1000 x (702)/(750) = 936 मीटर दौड़ता है। इसलिए दिव्या, रोहन को 1000-936 = 64 मीटर की बढ़त दे सकती है। जाँच: रोहन को मिलने वाली 298 मीटर की बढ़त, दिव्या को मिलने वाली 250 मीटर की बढ़त से अधिक है। इसलिए रोहन तीनों में सबसे धीमा है और दिव्या का रोहन को बढ़त देना सही है।