नाव और धारा: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

जाने और वापस आने की यात्रा में धारा की दिशा में तय दूरी, धारा के विपरीत तय दूरी के बराबर होती है। ऐसी यात्रा की औसत चाल दोनों चालों का साधारण औसत नहीं होती। यह केवल शांत जल में नाव की चाल भी नहीं होती। यह दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है: 2(u+v)(u-v) / [(u+v)+(u-v)]।

मान लें कि a = धारा की दिशा में चाल और b = धारा के विपरीत चाल। धारा की दिशा में चाल = u + v और धारा के विपरीत चाल = u – v, जहाँ u शांत जल में नाव की चाल और v धारा की चाल है। धारा की दिशा वाले समीकरण में से धारा के विपरीत वाला समीकरण घटाने पर u कट जाता है: (u+v) – (u-v) = 2v। इसलिए a – b = 2v, जिससे धारा की चाल v = (a – b) / 2 मिलती है।

मान लीजिए a = धारा की दिशा में चाल और b = धारा के विरुद्ध चाल है। धारा की दिशा में चाल = u + v और धारा के विरुद्ध चाल = u – v है, जहाँ u शांत जल में नाव की चाल और v धारा की चाल है। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर v कट जाता है: (u+v) + (u-v) = 2u। इसलिए a + b = 2u, जिससे शांत जल में नाव की चाल u = (a + b) / 2 मिलती है।

मान लीजिए u = शांत जल में नाव की चाल और v = धारा की चाल है। धारा के विरुद्ध चलते समय धारा नाव की विपरीत दिशा में बहती है। इसलिए नाव की अपनी चाल में से धारा की चाल घटाई जाती है। धारा के विरुद्ध चाल = u – v।

मान लीजिए u = शांत जल में नाव की चाल और v = धारा की चाल है। धारा की दिशा में चलते समय नाव और धारा की दिशा एक ही होती है। इसलिए धारा की चाल नाव की अपनी चाल में जुड़ जाती है। धारा की दिशा में चाल = u + v।

धारा एक निश्चित दिशा में बहती है। उसके विपरीत दिशा में चलने को धारा के विरुद्ध चलना कहते हैं। इस दिशा में धारा नाव को पीछे की ओर धकेलती है।

धारा एक निश्चित दिशा में बहती है। उसी दिशा में चलने को धारा की दिशा में चलना कहते हैं। इस दिशा में धारा नाव को आगे बढ़ाने में मदद करती है।

मान लीजिए धारा के विरुद्ध चाल = x km/hr और धारा की दिशा में चाल = y km/hr है। पहली यात्रा: 41/x + 57/y = 12 घंटे। दूसरी यात्रा: 18/x + 51/y = 7 घंटे। इन दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने पर x = 5 km/hr और y = 15 km/hr मिलता है। धारा की दिशा में चाल = B + S और धारा के विरुद्ध चाल = B – S, इसलिए शांत जल में चाल = (x + y)/2 होगी। शांत जल में चाल = (5 + 15)/2 = 20/2 = 10 km/hr। जाँच: 41/5 + 57/15 = 12 घंटे, जो पहली यात्रा के समय से मेल खाता है।

मान लें कि धारा के विपरीत चाल = x km/hr और धारा की दिशा में चाल = y km/hr है। पहली यात्रा: 27/x + 60/y = 21 घंटे। दूसरी यात्रा: 16/x + 16/y = 10 घंटे। इन दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने पर x = 2 km/hr और y = 8 km/hr मिलता है। धारा की दिशा में चाल = B + S और धारा के विपरीत चाल = B – S, इसलिए शांत जल में चाल = (x + y)/2। शांत जल में चाल = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 km/hr। जाँच: 27/2 + 60/8 = 21 घंटे, जो पहली यात्रा के समय से मेल खाता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 16 km/hr और धारा की चाल = S = 4 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 16 + 4 = 20 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 16 – 4 = 12 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 20 x 12) / (20 + 12) = 480 / 32 = 15 km/hr। जाँच: 20 और 12 का साधारण औसत 16 km/hr है, 15 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 12 km/hr और धारा की चाल = S = 6 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 12 + 6 = 18 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 12 – 6 = 6 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 18 x 6) / (18 + 6) = 216 / 24 = 9 km/hr। जाँच: 18 और 6 का साधारण औसत 12 km/hr है, 9 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 18 km/hr और धारा की चाल = S = 12 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 18 + 12 = 30 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 18 – 12 = 6 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 30 x 6) / (30 + 6) = 360 / 36 = 10 km/hr। जाँच: 30 और 6 का साधारण औसत 18 km/hr है, 10 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 16 km/hr और धारा की चाल = S = 12 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 16 + 12 = 28 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 16 – 12 = 4 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 28 x 4) / (28 + 4) = 224 / 32 = 7 km/hr। जाँच: 28 और 4 का साधारण औसत 16 km/hr है, 7 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 9 km/hr और धारा की चाल = S = 6 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 9 + 6 = 15 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 9 – 6 = 3 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 15 x 3) / (15 + 3) = 90 / 18 = 5 km/hr। जाँच: 15 और 3 का साधारण औसत 9 km/hr है, 5 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 20 km/hr और धारा की चाल = S = 10 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 20 + 10 = 30 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 20 – 10 = 10 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 30 x 10) / (30 + 10) = 600 / 40 = 15 km/hr। जाँच: 30 और 10 का साधारण औसत 20 km/hr है, 15 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 8 km/hr और धारा की चाल = S = 4 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 8 + 4 = 12 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 8 – 4 = 4 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 12 x 4) / (12 + 4) = 96 / 16 = 6 km/hr। जाँच: 12 और 4 का साधारण औसत 8 km/hr है, 6 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 9 km/hr और धारा की चाल = S = 3 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 9 + 3 = 12 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 9 – 3 = 6 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 12 x 6) / (12 + 6) = 144 / 18 = 8 km/hr। जाँच: 12 और 6 का साधारण औसत 9 km/hr है, 8 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 18 km/hr और धारा की चाल = S = 6 km/hr है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 18 + 6 = 24 km/hr। धारा के विपरीत चाल = B – S = 18 – 6 = 12 km/hr। जाने और लौटने की दूरी बराबर होने पर औसत चाल दोनों चालों का हरात्मक माध्य होती है, साधारण औसत नहीं। औसत चाल = (2 x धारा की दिशा में चाल x धारा के विपरीत चाल) / (धारा की दिशा में चाल + धारा के विपरीत चाल)। औसत चाल = (2 x 24 x 12) / (24 + 12) = 576 / 36 = 16 km/hr। जाँच: 24 और 12 का साधारण औसत 18 km/hr है, 16 km/hr नहीं। इससे पुष्टि होती है कि यहाँ हरात्मक माध्य के सूत्र की आवश्यकता है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 9 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 1 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 9 + 1 = 10 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 9 – 1 = 8 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगा समय = d/10 और धारा के विपरीत लगा समय = d/8। कुल समय: d/10 + d/8 = 1 घंटा 21 मिनट। इस समीकरण को हल करने पर d = 6 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगा समय = 6/10 और धारा के विपरीत लगा समय = 6/8; इनका योग 1 घंटा 21 मिनट है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 7 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 3 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 7 + 3 = 10 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 7 – 3 = 4 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगा समय = d/10 और धारा के विपरीत लगा समय = d/4। कुल समय: d/10 + d/4 = 7 घंटे 42 मिनट। इस समीकरण को हल करने पर d = 22 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगा समय = 22/10 और धारा के विपरीत लगा समय = 22/4; इनका योग 7 घंटे 42 मिनट है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 8 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 6 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 8 + 6 = 14 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 8 – 6 = 2 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगा समय = d/14 और धारा के विपरीत लगा समय = d/2। कुल समय: d/14 + d/2 = 16 घंटे। इस समीकरण को हल करने पर d = 28 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगा समय = 28/14 और धारा के विपरीत लगा समय = 28/2; इनका योग 16 घंटे है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 8 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 4 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 8 + 4 = 12 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 8 – 4 = 4 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगा समय = d/12 और धारा के विपरीत लगा समय = d/4। कुल समय: d/12 + d/4 = 7 घंटे 20 मिनट। इस समीकरण को हल करने पर d = 22 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगा समय = 22/12 और धारा के विपरीत लगा समय = 22/4; इनका योग 7 घंटे 20 मिनट है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 11 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 7 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 11 + 7 = 18 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 11 – 7 = 4 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगा समय = d/18 और धारा के विपरीत लगा समय = d/4। कुल समय: d/18 + d/4 = 9 घंटे 10 मिनट। इस समीकरण को हल करने पर d = 30 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगा समय = 30/18 और धारा के विपरीत लगा समय = 30/4; इनका योग 9 घंटे 10 मिनट है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 11 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 1 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 11 + 1 = 12 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 11 – 1 = 10 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगा समय = d/12 और धारा के विपरीत लगा समय = d/10। कुल समय: d/12 + d/10 = 2 घंटे 45 मिनट। इस समीकरण को हल करने पर d = 15 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगा समय = 15/12 और धारा के विपरीत लगा समय = 15/10; इनका योग 2 घंटे 45 मिनट है।

मान लें कि शांत जल में नाव की चाल = B = 12 किमी/घंटा और धारा की चाल = S = 8 किमी/घंटा है। धारा की दिशा में चाल = B + S = 12 + 8 = 20 किमी/घंटा। धारा के विपरीत चाल = B – S = 12 – 8 = 4 किमी/घंटा। मान लें कि एक तरफ की दूरी d किमी है। धारा की दिशा में लगने वाला समय = d/20 और धारा के विपरीत लगने वाला समय = d/4। कुल समय: d/20 + d/4 = 6 घंटे। इस समीकरण को हल करने पर d = 20 किमी मिलता है। जाँच: धारा की दिशा में लगने वाला समय = 20/20 और धारा के विपरीत लगने वाला समय = 20/4; इनका योग 6 घंटे है।