सरलीकरण: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

यह अंतर के वर्ग की सर्वसमिका है। यह वितरण नियम से (a-b)(a-b) का विस्तार करने पर मिलती है। इससे a² – ab – ab + b² मिलता है। दोनों ab वाले पदों को मिलाने पर a² – 2ab + b² मिलता है।

यह योग के वर्ग की सर्वसमिका है। यह वितरण नियम से (a+b)(a+b) का विस्तार करने पर मिलती है। इससे a² + ab + ab + b² मिलता है। दोनों ab पदों को जोड़ने पर a² + 2ab + b² मिलता है।

यह वर्गों के अंतर की सर्वसमिका है: a² – b² = (a+b)(a-b)। ऐसा इसलिए है क्योंकि (a+b)(a-b) का विस्तार करने पर a² – ab + ab – b² मिलता है। बीच के पद कट जाते हैं और a² – b² बचता है। यह मन में जल्दी गुणा करने के लिए उपयोगी है।

कोष्ठक गोल (), सर्पिल {} या वर्ग [] हो सकते हैं। जब कई कोष्ठक एक-दूसरे के अंदर हों, तो सबसे भीतरी जोड़ी से शुरू करें। पहले उस जोड़ी को हल करें, फिर एक स्तर बाहर की ओर बढ़ें। सभी कोष्ठक हल होने तक यही प्रक्रिया दोहराएँ। कोष्ठक का आकार इस क्रम को नहीं बदलता।

BODMAS में भाग और गुणा की प्राथमिकता समान होती है। इनमें से किसी एक को हमेशा दूसरे से पहले नहीं किया जाता। जब दोनों हों, तो वे जिस क्रम में आए हैं, उसी क्रम में बाएँ से दाएँ हल करें।

BODMAS का अर्थ है कोष्ठक, घात और मूल, भाग, गुणा, जोड़ तथा घटाव। ये अक्षर संक्रियाओं का क्रम बताते हैं। किसी भी अन्य चरण से पहले हमेशा कोष्ठकों के अंदर की गणना की जाती है। इसलिए हर व्यंजक में सबसे पहले कोष्ठक हल किए जाते हैं।

मान लें a = 12, b = 3, c = 3, d = 8 और लक्ष्य मान = -15 है। पहले निश्चित भाग की गणना करें: c x d = 3 x 8 = 24। समीकरण है (a ? b) – 24 = -15। इसलिए a ? b का मान -15 + 24 = 9 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया आज़माने पर केवल ‘-‘ सही बैठता है: 12 – 3 = 9। इसलिए छूटी हुई संक्रिया ‘-‘ है।

मान लें a = 12, b = 4, c = 7, d = 9 और लक्ष्य मान = -15 है। पहले निश्चित भाग की गणना करें: c x d = 7 x 9 = 63। समीकरण है (a ? b) – 63 = -15। इसलिए a ? b का मान -15 + 63 = 48 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया आज़माने पर केवल ‘x’ सही बैठता है: 12 x 4 = 48। इसलिए छूटी हुई संक्रिया ‘x’ है।

मान लें a = 3, b = 2, c = 4, d = 8 और लक्ष्य मान = -31 है। पहले निश्चित भाग की गणना करें: c x d = 4 x 8 = 32। समीकरण है (a ? b) – 32 = -31। इसलिए a ? b का मान -31 + 32 = 1 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया आज़माने पर केवल ‘-‘ सही बैठता है: 3 – 2 = 1। इसलिए छूटी हुई संक्रिया ‘-‘ है।

मान लें a = 14, b = 8, c = 6, d = 10 और लक्ष्य मान = 52 है। पहले निश्चित भाग की गणना करें: c x d = 6 x 10 = 60। समीकरण है (a ? b) – 60 = 52। इसलिए a ? b का मान 52 + 60 = 112 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया आज़माने पर केवल ‘x’ सही बैठता है: 14 x 8 = 112। इसलिए छूटी हुई संक्रिया ‘x’ है।

मान लें a = 11, b = 3, c = 6, d = 3 और लक्ष्य मान = -4 है। पहले निश्चित भाग की गणना करें: c x d = 6 x 3 = 18। समीकरण है (a ? b) – 18 = -4। इसलिए a ? b का मान -4 + 18 = 14 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया आज़माने पर केवल ‘+’ सही बैठता है: 11 + 3 = 14। इसलिए छूटी हुई संक्रिया ‘+’ है।

मान लीजिए a = 7, b = 7, c = 6, d = 2 और लक्ष्य मान = 2 है। पहले निश्चित भाग का मान निकालिए: c x d = 6 x 2 = 12। समीकरण (a ? b) – 12 = 2 है। इसलिए a ? b का मान 2 + 12 = 14 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया को आजमाने पर केवल ‘+’ सही बैठता है: 7 + 7 = 14। इसलिए लुप्त संक्रिया चिह्न ‘+’ है।

मान लीजिए a = 6, b = 9, c = 6, d = 8 और लक्ष्य मान = 6 है। पहले निश्चित भाग का मान निकालिए: c x d = 6 x 8 = 48। समीकरण (a ? b) – 48 = 6 है। इसलिए a ? b का मान 6 + 48 = 54 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया को आजमाने पर केवल ‘x’ सही बैठता है: 6 x 9 = 54। इसलिए लुप्त संक्रिया चिह्न ‘x’ है।

मान लीजिए a = 3, b = 2, c = 9, d = 9 और लक्ष्य मान = -80 है। पहले निश्चित भाग का मान निकालिए: c x d = 9 x 9 = 81। समीकरण (a ? b) – 81 = -80 है। इसलिए a ? b का मान -80 + 81 = 1 होना चाहिए। a और b के बीच प्रत्येक संक्रिया को आजमाने पर केवल ‘-‘ सही बैठता है: 3 – 2 = 1। इसलिए लुप्त संक्रिया चिह्न ‘-‘ है।

मान लीजिए a = 97 = 100 – 3 और b = 95 = 100 – 5 है। p = 100 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 100² = 10000। फिर, p(x+y) = 100 x (3+5) = 100 x 8 = 800। इसके बाद, xy = 3 x 5 = 15। जोड़ने-घटाने पर: 10000 – 800 + 15 = 9215। इसलिए 97 x 95 = 9215।

मान लीजिए a = 98 = 100 – 2 और b = 91 = 100 – 9 है। p = 100 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 100² = 10000। फिर, p(x+y) = 100 x (2+9) = 100 x 11 = 1100। इसके बाद, xy = 2 x 9 = 18। जोड़ने-घटाने पर: 10000 – 1100 + 18 = 8918। इसलिए 98 x 91 = 8918।

मान लीजिए a = 997 = 1000 – 3 और b = 999 = 1000 – 1 है। p = 1000 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 1000² = 1000000। फिर, p(x+y) = 1000 x (3+1) = 1000 x 4 = 4000। इसके बाद, xy = 3 x 1 = 3। जोड़ने-घटाने पर: 1000000 – 4000 + 3 = 996003। इसलिए 997 x 999 = 996003।

मान लीजिए a = 999 = 1000 – 1 और b = 999 = 1000 – 1 है। p = 1000 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 1000² = 1000000। फिर, p(x+y) = 1000 x (1+1) = 1000 x 2 = 2000। इसके बाद, xy = 1 x 1 = 1। जोड़ने-घटाने पर: 1000000 – 2000 + 1 = 998001। इसलिए 999 x 999 = 998001।

मान लीजिए a = 998 = 1000 – 2 और b = 997 = 1000 – 3 है। p = 1000 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 1000² = 1000000। फिर, p(x+y) = 1000 x (2+3) = 1000 x 5 = 5000। इसके बाद, xy = 2 x 3 = 6। जोड़ने-घटाने पर: 1000000 – 5000 + 6 = 995006। इसलिए 998 x 997 = 995006।

मान लीजिए a = 96 = 100 – 4 और b = 93 = 100 – 7 है। p = 100 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 100² = 10000। फिर, p(x+y) = 100 x (4+7) = 100 x 11 = 1100। इसके बाद, xy = 4 x 7 = 28। जोड़ने-घटाने पर: 10000 – 1100 + 28 = 8928। इसलिए 96 x 93 = 8928।

मान लीजिए a = 994 = 1000 – 6 और b = 993 = 1000 – 7 है। p = 1000 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 1000² = 1000000। फिर, p(x+y) = 1000 x (6+7) = 1000 x 13 = 13000। इसके बाद, xy = 6 x 7 = 42। जोड़ने-घटाने पर: 1000000 – 13000 + 42 = 987042। इसलिए 994 x 993 = 987042।

मान लीजिए a = 99 = 100 – 1 और b = 96 = 100 – 4 है। p = 100 रखकर (p-x)(p-y) = p² – p(x+y) + xy का उपयोग कीजिए। पहले, p² = 100² = 10000। फिर, p(x+y) = 100 x (1+4) = 100 x 5 = 500। इसके बाद, xy = 1 x 4 = 4। जोड़ने-घटाने पर: 10000 – 500 + 4 = 9504। इसलिए 99 x 96 = 9504।

मान लीजिए a = 89 और b = 15 है। सर्वसमिका (a-b)² = a² – 2ab + b² है। पहले, a² = 89² = 7921। फिर, 2ab = 2 x 89 x 15 = 2670। इसके बाद, b² = 15² = 225। पदों को जोड़ने-घटाने पर: 7921 – 2670 + 225 = 5476। इसलिए (89-15)² = 5476।

मान लीजिए a = 47 और b = 13 है। सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² है। पहले, a² = 47² = 2209। फिर, 2ab = 2 x 47 x 13 = 1222। इसके बाद, b² = 13² = 169। तीनों पदों को जोड़िए: 2209 + 1222 + 169 = 3600। इसलिए (47+13)² = 3600।

मान लीजिए a = 69 और b = 5 है। सर्वसमिका (a-b)² = a² – 2ab + b² है। पहले, a² = 69² = 4761। फिर, 2ab = 2 x 69 x 5 = 690। इसके बाद, b² = 5² = 25। पदों को जोड़ने-घटाने पर: 4761 – 690 + 25 = 4096। इसलिए (69-5)² = 4096।