प्रतिशत: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

मान लें कि जनसंख्या P है और वह प्रति वर्ष R% की दर से बढ़ती है। वर्ष 1 के बाद, जनसंख्या = P(1 + R/100)। वर्ष 2 के बाद, फिर से (1+R/100) से गुणा करें: P(1+R/100)^2। हर अगले वर्ष (1+R/100) से एक बार और गुणा होता है। n वर्षों बाद, जनसंख्या = P(1 + R/100)^n।

मान लें कि मूल मान 100 है। x% के पहले परिवर्तन के बाद मान 100 + x हो जाता है। y% के दूसरे परिवर्तन के बाद यह (100+x)(100+y)/100 हो जाता है। गुणनफल का विस्तार करें: (100+x)(100+y) = 10000 + 100x + 100y + xy। 100 से भाग दें: 100 + x + y + xy/100। 100 से कुल परिवर्तन x + y + xy/100 है।

मान लें कि मूल कीमत और खपत दोनों 100 हैं, इसलिए खर्च = 10000। कीमत में R% की कमी के बाद नई कीमत (100-R) है। मान लें कि C वह नई खपत है जिससे खर्च 10000 बना रहता है। इसलिए (100-R) x C = 10000, जिससे C = 10000/(100-R) मिलता है। वृद्धि = C – 100 = 10000/(100-R) – 100। सरल करने पर 100R/(100-R) मिलता है, जो है [R/(100-R)] x 100 %.

मान लें कि मूल कीमत और खपत दोनों 100 हैं, इसलिए खर्च = 10000। कीमत में R% की वृद्धि के बाद नई कीमत (100+R) है। मान लें कि C वह नई खपत है जिससे खर्च 10000 बना रहता है। इसलिए (100+R) x C = 10000, जिससे C = 10000/(100+R) मिलता है। कमी = 100 – C = 100 – 10000/(100+R)। सरल करने पर 100R/(100+R) मिलता है, जो है [R/(100+R)] x 100 %.

मान लें कि मूल मान p है। x% की कमी का अर्थ है कि हम p में से p का x% घटाते हैं। नया मान = p – (x/100)p। p को उभयनिष्ठ लेने पर: नया मान = p(1 – x/100) = p(100-x)/100। यह p के (100-x)% के बराबर है। जाँच: यदि x = 0 है, तो सूत्र से p का (100-0)% = p मिलता है, यानी मान अपरिवर्तित रहता है, जैसा अपेक्षित है।

मान लें कि मूल मान p है। x% की वृद्धि का अर्थ है कि हम p में p का x% जोड़ते हैं। नया मान = p + (x/100)p। p को उभयनिष्ठ लेने पर: नया मान = p(1 + x/100) = p(100+x)/100। यह p के (100+x)% के बराबर है। जाँच: यदि x = 0 है, तो सूत्र से p का (100+0)% = p मिलता है, यानी मान अपरिवर्तित रहता है, जैसा अपेक्षित है।

मान लें कि आय = 100 है। तब खर्च = आय का 80% = 80। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 80 = 20। आय में 30% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+30)/100 = 130.00। खर्च में 8% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 80 x (100+8)/100 = 86.40। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 130.00 – 86.40 = 43.60। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (43.60 – 20)/20 x 100 = 118.0%। जाँच: चूँकि 43.60 > 20 है, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 118.0% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 60% = 60। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 60 = 40। आय में 21% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+21)/100 = 121.00। खर्च में 3% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 60 x (100+3)/100 = 61.80। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 121.00 – 61.80 = 59.20। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (59.20 – 40)/40 x 100 = 48.0%। जाँच: चूँकि 59.20 > 40, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 48.0% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 60% = 60। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 60 = 40। आय में 26% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+26)/100 = 126.00। खर्च में 10% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 60 x (100+10)/100 = 66.00। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 126.00 – 66.00 = 60.00। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (60.00 – 40)/40 x 100 = 50.0%। जाँच: चूँकि 60.00 > 40, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 50.0% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 70% = 70। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 70 = 30। आय में 13% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+13)/100 = 113.00। खर्च में 3% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 70 x (100+3)/100 = 72.10। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 113.00 – 72.10 = 40.90। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (40.90 – 30)/30 x 100 = 36.33%। जाँच: चूँकि 40.90 > 30, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 36.33% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 75% = 75। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 75 = 25। आय में 21% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+21)/100 = 121.00। खर्च में 6% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 75 x (100+6)/100 = 79.50। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 121.00 – 79.50 = 41.50। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (41.50 – 25)/25 x 100 = 66.0%। जाँच: चूँकि 41.50 > 25, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 66.0% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 65% = 65। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 65 = 35। आय में 18% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+18)/100 = 118.00। खर्च में 4% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 65 x (100+4)/100 = 67.60। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 118.00 – 67.60 = 50.40। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (50.40 – 35)/35 x 100 = 44.0%। जाँच: चूँकि 50.40 > 35, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 44.0% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 65% = 65। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 65 = 35। आय में 14% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+14)/100 = 114.00। खर्च में 6% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 65 x (100+6)/100 = 68.90। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 114.00 – 68.90 = 45.10। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (45.10 – 35)/35 x 100 = 28.86%। जाँच: चूँकि 45.10 > 35, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 28.86% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 75% = 75। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 75 = 25। आय में 29% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+29)/100 = 129.00। खर्च में 3% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 75 x (100+3)/100 = 77.25। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 129.00 – 77.25 = 51.75। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (51.75 – 25)/25 x 100 = 107.0%। जाँच: चूँकि 51.75 > 25, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 107.0% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लीजिए आय = 100। तब खर्च = आय का 65% = 65। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 65 = 35। आय में 15% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+15)/100 = 115.00। खर्च में 2% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 65 x (100+2)/100 = 66.30। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 115.00 – 66.30 = 48.70। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (48.70 – 35)/35 x 100 = 39.14%। जाँच: चूँकि 48.70 > 35, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 39.14% के धनात्मक चिह्न के अनुरूप है।

मान लें कि आय = 100 है। तब खर्च = आय का 65% = 65। इसलिए बचत = आय – खर्च = 100 – 65 = 35। आय में 24% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 x (100+24)/100 = 124.00। खर्च में 18% की वृद्धि होती है: नया खर्च = 65 x (100+18)/100 = 76.70। नई बचत = नई आय – नया खर्च = 124.00 – 76.70 = 47.30। बचत में प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत – पुरानी बचत)/पुरानी बचत x 100 = (47.30 – 35)/35 x 100 = 35.14%। जाँच: चूँकि 47.30 > 35 है, इसलिए बचत बढ़ी है, जो 35.14% के धनात्मक चिह्न से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 25% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-25)/100 = 75। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 25% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 75 x (100+25)/100 = 93.75। शुद्ध हानि 100 – 93.75 = 6.25 है, जो मूल मजदूरी का 6.25% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 25^2/100 = 625/100 = 6.25%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 20% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-20)/100 = 80। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 20% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 80 x (100+20)/100 = 96। शुद्ध हानि 100 – 96 = 4 है, जो मूल मजदूरी का 4% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 20^2/100 = 400/100 = 4%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 60% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-60)/100 = 40। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 60% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 40 x (100+60)/100 = 64। शुद्ध हानि 100 – 64 = 36 है, जो मूल मजदूरी का 36% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 60^2/100 = 3600/100 = 36%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 10% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-10)/100 = 90। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 10% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 90 x (100+10)/100 = 99। शुद्ध हानि 100 – 99 = 1 है, जो मूल मजदूरी का 1% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 10^2/100 = 100/100 = 1%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 50% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-50)/100 = 50। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 50% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 50 x (100+50)/100 = 75। शुद्ध हानि 100 – 75 = 25 है, जो मूल मजदूरी का 25% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 50^2/100 = 2500/100 = 25%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 40% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-40)/100 = 60। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 40% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 60 x (100+40)/100 = 84। शुद्ध हानि 100 – 84 = 16 है, जो मूल मजदूरी का 16% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 40^2/100 = 1600/100 = 16%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि मूल मजदूरी 100 है। पहले इसमें 30% की कमी की जाती है: नई मजदूरी = 100 x (100-30)/100 = 70। फिर इस घटी हुई मजदूरी में 30% की वृद्धि की जाती है: अंतिम मजदूरी = 70 x (100+30)/100 = 91। शुद्ध हानि 100 – 91 = 9 है, जो मूल मजदूरी का 9% है। संक्षिप्त सूत्र से जाँच करें: x^2/100 = 30^2/100 = 900/100 = 9%, जो उत्तर से मेल खाता है।

मान लें कि प्रारंभिक जनसंख्या P = 50000 है, जो 2 वर्षों तक प्रति वर्ष 8% की दर से बढ़ती है। हर वर्ष (100+8)/100 से गुणा करें। वर्ष 1: 50000 x (100+8)/100 = 54000; वर्ष 2: 54000 x (100+8)/100 = 58320। इसलिए 2 वर्ष बाद जनसंख्या 58320 होगी। चक्रवृद्धि सूत्र से जाँच करें: P(1+R/100)^n = 50000 x (1+8/100)^2 = 58320।

मान लें कि प्रारंभिक जनसंख्या P = 100000 है, जो 3 वर्षों तक प्रति वर्ष 8% की दर से बढ़ती है। हर वर्ष (100+8)/100 से गुणा करें। वर्ष 1: 100000 x (100+8)/100 = 108000; वर्ष 2: 108000 x (100+8)/100 = 116640; वर्ष 3: 116640 x (100+8)/100 = 125971.2। इसलिए 3 वर्ष बाद जनसंख्या 125971.2 होगी। चक्रवृद्धि सूत्र से जाँच करें: P(1+R/100)^n = 100000 x (1+8/100)^3 = 125971.2।