श्रृंखला नियम: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

चेन रूल के प्रश्न में कई बदलती राशियाँ होती हैं, जैसे आदमी, दिन और घंटे। पहले तय करें कि हर राशि का उस अज्ञात राशि से क्या संबंध है जिसे आपको ज्ञात करना है। हर जोड़ी में संबंधित राशि, अज्ञात राशि के सीधे या व्युत्क्रम अनुपात में हो सकती है। हर अनुपात को समीकरण के सही पक्ष में रखें, फिर अज्ञात राशि का मान निकालें।

मान लें कि हर श्रमिक समान और निश्चित दर से काम करता है। अधिक श्रमिक उतने ही समय में अधिक काम पूरा करते हैं। श्रमिकों की संख्या दोगुनी होने पर लगभग दोगुना काम पूरा होता है। इसलिए काम की मात्रा श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।

यहाँ दूरी निश्चित रहती है। निश्चित दूरी के लिए चाल और समय विपरीत दिशाओं में बदलते हैं। अधिक चाल से वही दूरी कम समय में तय होती है। इसलिए लगने वाला समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

व्युत्क्रम समानुपात का अर्थ है कि दोनों राशियाँ विपरीत दिशाओं में बदलती हैं। एक के बढ़ने पर दूसरी घटती है। पूरे बदलाव के दौरान उनका गुणनफल स्थिर रहता है। उदाहरण के लिए, श्रमिकों की संख्या दोगुनी करने पर उसी काम को पूरा करने के लिए आवश्यक दिन आधे हो जाते हैं।

प्रत्यक्ष अनुपात का अर्थ है कि दोनों राशियाँ एक साथ बढ़ती या घटती हैं। वे एक ही गुणक से बदलती हैं, किसी निश्चित मात्रा से नहीं। उदाहरण के लिए, स्थिर दर पर दिनों की संख्या दोगुनी करने से इस्तेमाल की गई मात्रा भी दोगुनी हो जाती है। दोनों राशियों का अनुपात हमेशा स्थिर रहता है।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से पेंसिल इस्तेमाल करता है। 10 विद्यार्थी 17 दिनों में 6 पेंसिल इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 6/(10 x 17) पेंसिल प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही पेंसिल जल्दी खत्म हो जाएँगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 3 विद्यार्थियों के लिए 9 पेंसिल 9 / (3 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (9 x 10 x 17) / (3 x 6) = 85 दिन मिलते हैं। जाँच: 3 x 85 x 6 = 1530 और 10 x 17 x 9 = 1530, जो बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कागज की शीट इस्तेमाल करता है। 12 विद्यार्थी 12 दिनों में कागज की 16 शीट इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 16/(12 x 12) शीट प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही शीट जल्दी खत्म हो जाएँगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 3 विद्यार्थियों के लिए कागज की 56 शीट 56 / (3 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (56 x 12 x 12) / (3 x 16) = 168 दिन मिलते हैं। जाँच: 3 x 168 x 16 = 8064 और 12 x 12 x 56 = 8064, जो बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कॉपियाँ इस्तेमाल करता है। 8 विद्यार्थी 19 दिनों में 8 कॉपियाँ इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 8/(8 x 19) कॉपियाँ प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही कॉपियाँ जल्दी खत्म हो जाएँगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 7 विद्यार्थियों के लिए 49 कॉपियाँ 49 / (7 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (49 x 8 x 19) / (7 x 8) = 133 दिन मिलते हैं। जाँच: 7 x 133 x 8 = 7448 और 8 x 19 x 49 = 7448, जो बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कॉपियाँ इस्तेमाल करता है। 11 विद्यार्थी 14 दिनों में 22 कॉपियाँ इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 22/(11 x 14) कॉपियाँ प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही कॉपियाँ जल्दी खत्म हो जाएँगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 17 विद्यार्थियों के लिए 34 कॉपियाँ 34 / (17 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (34 x 11 x 14) / (17 x 22) = 14 दिन मिलते हैं। जाँच: 17 x 14 x 22 = 5236 और 11 x 14 x 34 = 5236, जो बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कागज की शीट इस्तेमाल करता है। 10 विद्यार्थी 10 दिनों में कागज की 33 शीट इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 33/(10 x 10) शीट प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही शीट जल्दी खत्म हो जाएँगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 20 विद्यार्थियों के लिए कागज की 33 शीट 33 / (20 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (33 x 10 x 10) / (20 x 33) = 5 दिन मिलते हैं। जाँच: 20 x 5 x 33 = 3300 और 10 x 10 x 33 = 3300, जो बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक समान स्थिर दर से कागज़ की शीट इस्तेमाल करता है। 6 विद्यार्थी 8 दिनों में 10 शीट इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 10/(6 x 8) शीट प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही शीट जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 8 विद्यार्थियों के लिए 40 शीट 40 / (8 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (40 x 6 x 8) / (8 x 10) = 24 दिन मिलते हैं। जाँच: 8 x 24 x 10 = 1920 और 6 x 8 x 40 = 1920, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक समान स्थिर दर से पेंसिलें इस्तेमाल करता है। 9 विद्यार्थी 13 दिनों में 39 पेंसिलें इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 39/(9 x 13) पेंसिलें प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही पेंसिलें जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 3 विद्यार्थियों के लिए 43 पेंसिलें 43 / (3 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (43 x 9 x 13) / (3 x 39) = 43 दिन मिलते हैं। जाँच: 3 x 43 x 39 = 5031 और 9 x 13 x 43 = 5031, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक समान स्थिर दर से पेंसिलें इस्तेमाल करता है। 15 विद्यार्थी 12 दिनों में 9 पेंसिलें इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 9/(15 x 12) पेंसिलें प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही पेंसिलें जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 10 विद्यार्थियों के लिए 17 पेंसिलें 17 / (10 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (17 x 15 x 12) / (10 x 9) = 34 दिन मिलते हैं। जाँच: 10 x 34 x 9 = 3060 और 15 x 12 x 17 = 3060, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक समान स्थिर दर से कॉपियाँ इस्तेमाल करता है। 14 विद्यार्थी 19 दिनों में 35 कॉपियाँ इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 35/(14 x 19) कॉपियाँ प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही कॉपियाँ जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 3 विद्यार्थियों के लिए 15 कॉपियाँ 15 / (3 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (15 x 14 x 19) / (3 x 35) = 38 दिन मिलते हैं। जाँच: 3 x 38 x 35 = 3990 और 14 x 19 x 15 = 3990, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक समान स्थिर दर से कागज़ की शीट इस्तेमाल करता है। 14 विद्यार्थी 3 दिनों में 33 शीट इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 33/(14 x 3) शीट प्रति दिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही शीट जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 7 विद्यार्थियों के लिए 55 शीट 55 / (7 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (55 x 14 x 3) / (7 x 33) = 10 दिन मिलते हैं। जाँच: 7 x 10 x 33 = 2310 और 14 x 3 x 55 = 2310, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कॉपियाँ इस्तेमाल करता है। 13 विद्यार्थी 7 दिनों में 7 कॉपियाँ इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 7/(13 x 7) कॉपियाँ प्रतिदिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही कॉपियाँ जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 3 विद्यार्थियों के लिए 54 कॉपियाँ 54 / (3 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (54 x 13 x 7) / (3 x 7) = 234 दिन मिलते हैं। जाँच: 3 x 234 x 7 = 4914 और 13 x 7 x 54 = 4914, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कागज की शीट इस्तेमाल करता है। 12 विद्यार्थी 5 दिनों में कागज की 33 शीट इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 33/(12 x 5) शीट प्रतिदिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही शीट जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 10 विद्यार्थियों के लिए कागज की 33 शीट 33 / (10 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (33 x 12 x 5) / (10 x 33) = 6 दिन मिलते हैं। जाँच: 10 x 6 x 33 = 1980 और 12 x 5 x 33 = 1980, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी एक ही स्थिर दर से कॉपियाँ इस्तेमाल करता है। 15 विद्यार्थी 12 दिनों में 35 कॉपियाँ इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 35/(15 x 12) कॉपियाँ प्रतिदिन है। विद्यार्थी अधिक होने पर उतनी ही कॉपियाँ जल्दी खत्म होंगी, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। 15 विद्यार्थियों के लिए 35 कॉपियाँ 35 / (15 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (35 x 15 x 12) / (15 x 35) = 12 दिन मिलते हैं। जाँच: 15 x 12 x 35 = 6300 और 15 x 12 x 35 = 6300, दोनों बराबर हैं।

मान लें कि हर विद्यार्थी पेंसिलों का इस्तेमाल समान और स्थिर दर से करता है। 6 विद्यार्थी 17 दिनों में 34 पेंसिलें इस्तेमाल करते हैं, इसलिए एक विद्यार्थी की दैनिक दर 34/(6 x 17) पेंसिल प्रतिदिन है। अधिक विद्यार्थी होने पर उतनी ही पेंसिलें जल्दी खत्म हो जाती हैं, इसलिए दिनों की संख्या विद्यार्थियों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है। 4 विद्यार्थियों के लिए 20 पेंसिलें 20 / (4 x दर) दिनों तक चलेंगी। गणना करने पर (20 x 6 x 17) / (4 x 34) = 15 दिन मिलते हैं। जाँच: 4 x 15 x 34 = 2040 और 6 x 17 x 20 = 2040, दोनों बराबर हैं।

11 पुरुष 20 दिन लेते हैं, इसलिए कुल काम 11 x 20 = 220 पुरुष-दिन के बराबर है। 21 महिलाएँ भी इसे 20 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 1 महिला एक पुरुष के दैनिक काम का 11/21 भाग करती है। इसलिए 7 महिलाओं का काम 7 x 11/21 = 11/3 पुरुषों के बराबर है। 3 पुरुषों को मिलाकर समूह 3 + 11/3 = 20/3 पुरुषों के बराबर है। आवश्यक दिन = 220 / (20/3) = 33। जाँच: (20/3) x 33 = 220, जो उसी 220 पुरुष-दिन के बराबर है।

18 पुरुष 10 दिन लेते हैं, इसलिए कुल काम 18 x 10 = 180 पुरुष-दिन के बराबर है। 22 महिलाएँ भी इसे 10 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 1 महिला एक पुरुष के दैनिक काम का 18/22 भाग करती है। इसलिए 11 महिलाओं का काम 11 x 18/22 = 9 पुरुषों के बराबर है। 9 पुरुषों को मिलाकर समूह 9 + 9 = 18 पुरुषों के बराबर है। आवश्यक दिन = 180 / (18) = 10। जाँच: (18) x 10 = 180, जो उसी 180 पुरुष-दिन के बराबर है।

12 पुरुष 14 दिन लेते हैं, इसलिए कुल काम 12 x 14 = 168 पुरुष-दिन के बराबर है। 12 महिलाएँ भी इसे 14 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 1 महिला एक पुरुष के दैनिक काम का 12/12 भाग करती है। इसलिए 1 महिला का काम 1 x 12/12 = 1 पुरुष के बराबर है। 2 पुरुषों को मिलाकर समूह 2 + 1 = 3 पुरुषों के बराबर है। आवश्यक दिन = 168 / (3) = 56। जाँच: (3) x 56 = 168, जो उसी 168 पुरुष-दिन के बराबर है।

9 पुरुष 14 दिन लेते हैं, इसलिए कुल काम 9 x 14 = 126 पुरुष-दिन के बराबर है। 8 महिलाएँ भी इसे 14 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 1 महिला एक पुरुष के दैनिक काम का 9/8 भाग करती है। इसलिए 4 महिलाओं का काम 4 x 9/8 = 9/2 पुरुषों के बराबर है। 6 पुरुषों को मिलाकर समूह 6 + 9/2 = 21/2 पुरुषों के बराबर है। आवश्यक दिन = 126 / (21/2) = 12। जाँच: (21/2) x 12 = 126, जो उसी 126 पुरुष-दिन के बराबर है।

16 पुरुष 21 दिन लेते हैं, इसलिए कुल काम 16 x 21 = 336 पुरुष-दिन के बराबर है। 28 महिलाएँ भी इसे 21 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 1 महिला एक पुरुष के दैनिक काम का 16/28 भाग करती है। इसलिए 21 महिलाओं का काम 21 x 16/28 = 12 पुरुषों के बराबर है। 4 पुरुषों को मिलाकर समूह 4 + 12 = 16 पुरुषों के बराबर है। आवश्यक दिन = 336 / (16) = 21। जाँच: (16) x 21 = 336, जो उसी 336 पुरुष-दिन के बराबर है।

16 पुरुषों को 13 दिन लगते हैं, इसलिए कुल काम 16 x 13 = 208 पुरुष-दिन के बराबर है। 8 महिलाएँ भी इसे 13 दिनों में पूरा करती हैं, इसलिए 1 महिला एक पुरुष के दैनिक काम का 16/8 भाग करती है। इस प्रकार 2 महिलाओं का काम 2 x 16/8 = 4 पुरुषों के काम के बराबर है। 12 पुरुषों को मिलाकर समूह की कार्यक्षमता 12 + 4 = 16 पुरुषों के बराबर है। आवश्यक दिन = 208 / (16) = 13। जाँच: (16) x 13 = 208, जो उसी 208 पुरुष-दिन के काम के बराबर है।