संख्याओं पर आधारित प्रश्न: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है। अंकों को आपस में बदलने पर संख्या 10b + a मिलती है। इनका अंतर (10b+a) – (10a+b) = 9b – 9a = 9(b-a) है। इसलिए संख्या के मान में हमेशा अंकों के अंतर के 9 गुने के बराबर बदलाव होता है। जाँच: उदाहरण के लिए, यदि a=2 और b=5 हैं, तो संख्याएँ 25 और 52 हैं, और 52-25=27=9×(5-2)=9×3 है, जो परिणाम से मेल खाता है।

मान लें कि बड़ी संख्या a और छोटी संख्या b है। तथ्य 1: a + b = S, जो उनका योग है। तथ्य 2: a – b = D, जो उनका अंतर है। पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर: (a+b) – (a-b) = S – D। a वाले पद कट जाते हैं और 2b = S – D बचता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर b = (S-D)/2 मिलता है। जाँच: तब a = S – b = (S+D)/2 और a – b = D होगा, जिससे पुष्टि होती है कि b छोटी संख्या है।

मान लें कि बड़ी संख्या a और छोटी संख्या b है। तथ्य 1: a + b = S, यानी उनका योग। तथ्य 2: a – b = D, यानी उनका अंतर। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (a+b) + (a-b) = S + D। b वाले पद कट जाते हैं और 2a = S + D बचता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर a = (S+D)/2 मिलता है। जाँच: तब b = S – a = (S-D)/2 और a – b = D होता है, जिससे पुष्टि होती है कि a बड़ी संख्या है।

मान लें कि दोनों अंक p और q हैं, जिनमें p बड़ा अंक है। कथन I से p + q = 8 मिलता है। कथन II से p – q = 6 मिलता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 14, इसलिए p = 7। इन्हें घटाने पर: 2q = 2, इसलिए q = 1। अतः अंक 7 और 1 हैं, लेकिन हमें यह नहीं पता कि दहाई का अंक कौन-सा है और इकाई का कौन-सा। यदि दहाई का अंक 7 है, तो संख्या 71 है। यदि दहाई का अंक 1 है, तो संख्या 17 है। दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को संतुष्ट करती हैं, इसलिए दोनों कथन मिलकर भी एक निश्चित संख्या नहीं बताते। जाँच: 71 और 17, दोनों के अंक 7 और 1 हैं, जिनका योग 8 और अंतर 6 है।

मान लें कि दोनों अंक p और q हैं, जिनमें p बड़ा अंक है। कथन I से p + q = 9 मिलता है। कथन II से p – q = 5 मिलता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 14, इसलिए p = 7। इन्हें घटाने पर: 2q = 4, इसलिए q = 2। अतः अंक 7 और 2 हैं, लेकिन हमें यह नहीं पता कि दहाई का अंक कौन-सा है और इकाई का कौन-सा। यदि दहाई का अंक 7 है, तो संख्या 72 है। यदि दहाई का अंक 2 है, तो संख्या 27 है। दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को संतुष्ट करती हैं, इसलिए दोनों कथन मिलकर भी एक निश्चित संख्या नहीं बताते। जाँच: 72 और 27, दोनों के अंक 7 और 2 हैं, जिनका योग 9 और अंतर 5 है।

मान लें कि दोनों अंक p और q हैं, जिनमें p बड़ा अंक है। कथन I से p + q = 9 मिलता है। कथन II से p – q = 3 मिलता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 12, इसलिए p = 6। इन्हें घटाने पर: 2q = 6, इसलिए q = 3। अतः अंक 6 और 3 हैं, लेकिन हमें यह नहीं पता कि दहाई का अंक कौन-सा है और इकाई का कौन-सा। यदि दहाई का अंक 6 है, तो संख्या 63 है। यदि दहाई का अंक 3 है, तो संख्या 36 है। दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को संतुष्ट करती हैं, इसलिए दोनों कथन मिलकर भी एक निश्चित संख्या नहीं बताते। जाँच: 63 और 36, दोनों के अंक 6 और 3 हैं, जिनका योग 9 और अंतर 3 है।

मान लें कि दोनों अंक p और q हैं, जिनमें p बड़ा अंक है। कथन I से p + q = 10 मिलता है। कथन II से p – q = 6 मिलता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 16, इसलिए p = 8। इन्हें घटाने पर: 2q = 4, इसलिए q = 2। अतः अंक 8 और 2 हैं, लेकिन हमें यह नहीं पता कि दहाई का अंक कौन-सा है और इकाई का कौन-सा। यदि दहाई का अंक 8 है, तो संख्या 82 है। यदि दहाई का अंक 2 है, तो संख्या 28 है। दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को संतुष्ट करती हैं, इसलिए दोनों कथन मिलकर भी एक निश्चित संख्या नहीं बताते। जाँच: 82 और 28, दोनों के अंक 8 और 2 हैं, जिनका योग 10 और अंतर 6 है।

मान लें कि दोनों अंक p और q हैं, जिनमें p बड़ा अंक है। कथन I से p + q = 11 मिलता है। कथन II से p – q = 5 मिलता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 16, इसलिए p = 8। इन्हें घटाने पर: 2q = 6, इसलिए q = 3। अतः अंक 8 और 3 हैं, लेकिन हमें यह नहीं पता कि दहाई का अंक कौन-सा है और इकाई का कौन-सा। यदि दहाई का अंक 8 है, तो संख्या 83 है। यदि दहाई का अंक 3 है, तो संख्या 38 है। दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को संतुष्ट करती हैं, इसलिए दोनों कथन मिलकर भी एक निश्चित संख्या नहीं बताते। जाँच: 83 और 38, दोनों के अंक 8 और 3 हैं, जिनका योग 11 और अंतर 5 है।

मान लें कि दोनों अंक p और q हैं, जहाँ p बड़ा अंक है। कथन I से p + q = 9 मिलता है। कथन II से p – q = 1 मिलता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 10, इसलिए p = 5। इन्हें घटाने पर: 2q = 8, इसलिए q = 4। यानी अंक 5 और 4 हैं, लेकिन हमें नहीं पता कि दहाई का अंक कौन-सा है और इकाई का कौन-सा। यदि दहाई का अंक 5 है, तो संख्या 54 है। यदि दहाई का अंक 4 है, तो संख्या 45 है। दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को पूरा करती हैं, इसलिए दोनों कथन मिलकर भी एक निश्चित संख्या नहीं बताते। जाँच: 54 और 45, दोनों के अंक 5 और 4 हैं, जिनका योग 9 और अंतर 1 है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 1 और इकाई का अंक b = 9 है। मूल संख्या 10a + b = 19 है। अंकों को आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 91 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 8 है, इसलिए वृद्धि 9 × 8 = 72 है। जाँच: 19 + 72 = 91, और अंकों को उलटने पर भी 91 मिलता है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 4 और इकाई का अंक b = 5 है। मूल संख्या 10a + b = 45 है। अंकों के स्थान आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 54 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 1 है, इसलिए वृद्धि 9 × 1 = 9 है। जाँच: 45 + 9 = 54 है और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 54 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 8 और इकाई का अंक b = 9 है। मूल संख्या 10a + b = 89 है। अंकों के स्थान आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 98 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 1 है, इसलिए वृद्धि 9 × 1 = 9 है। जाँच: 89 + 9 = 98 है और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 98 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 4 और इकाई का अंक b = 9 है। मूल संख्या 10a + b = 49 है। अंकों के स्थान आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 94 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 5 है, इसलिए वृद्धि 9 × 5 = 45 है। जाँच: 49 + 45 = 94 है और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 94 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 5 और इकाई का अंक b = 9 है। मूल संख्या 10a + b = 59 है। अंकों के स्थान आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 95 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 4 है, इसलिए वृद्धि 9 × 4 = 36 है। जाँच: 59 + 36 = 95 है और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 95 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 6 और इकाई का अंक b = 9 है। मूल संख्या 10a + b = 69 है। अंकों के स्थान आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 96 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 3 है, इसलिए वृद्धि 9 × 3 = 27 है। जाँच: 69 + 27 = 96 है और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 96 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 6 और इकाई का अंक b = 8 है। मूल संख्या 10a + b = 68 है। अंकों के स्थान आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 86 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 2 है, इसलिए वृद्धि 9 × 2 = 18 है। जाँच: 68 + 18 = 86 है और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 86 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a = 4 और इकाई का अंक b = 6 है। मूल संख्या 10a + b = 46 है। अंकों की जगह आपस में बदलने पर नई संख्या 10b + a = 64 मिलती है। वृद्धि (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) है। यहाँ b – a = 2 है, इसलिए वृद्धि 9 × 2 = 18 है। जाँच: 46 + 18 = 64 और अंकों को उलटने से बनी संख्या भी 64 है, इसलिए उत्तर सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 6 है, इसलिए a + b = 6। तथ्य 2: संख्या, अंकों को उलटने से बनी संख्या से 18 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 18। सरल करने पर 9(a – b) = 18 मिलता है, इसलिए a – b = 2। a + b = 6 और a – b = 2 को जोड़ने पर 2a = 8 मिलता है, इसलिए a = 4। फिर b = 6 – 4 = 2। इसलिए मूल संख्या 10×4 + 2 = 42 है। जाँच: अंकों को उलटने पर 10×2 + 4 = 24 मिलता है और 42 – 24 = 18 है, जो शर्त के अनुसार सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 13 है, इसलिए a + b = 13। तथ्य 2: संख्या, अंकों को उलटने से बनी संख्या से 27 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 27। सरल करने पर 9(a – b) = 27 मिलता है, इसलिए a – b = 3। a + b = 13 और a – b = 3 को जोड़ने पर 2a = 16 मिलता है, इसलिए a = 8। फिर b = 13 – 8 = 5। इसलिए मूल संख्या 10×8 + 5 = 85 है। जाँच: अंकों को उलटने पर 10×5 + 8 = 58 मिलता है और 85 – 58 = 27 है, जो शर्त के अनुसार सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 12 है, इसलिए a + b = 12। तथ्य 2: संख्या, अंकों को उलटने से बनी संख्या से 54 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 54। सरल करने पर 9(a – b) = 54 मिलता है, इसलिए a – b = 6। a + b = 12 और a – b = 6 को जोड़ने पर 2a = 18 मिलता है, इसलिए a = 9। फिर b = 12 – 9 = 3। इसलिए मूल संख्या 10×9 + 3 = 93 है। जाँच: अंकों को उलटने पर 10×3 + 9 = 39 मिलता है और 93 – 39 = 54 है, जो शर्त के अनुसार सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 12 है, इसलिए a + b = 12। तथ्य 2: संख्या, अंकों को उलटने से बनी संख्या से 18 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 18। सरल करने पर 9(a – b) = 18 मिलता है, इसलिए a – b = 2। a + b = 12 और a – b = 2 को जोड़ने पर 2a = 14 मिलता है, इसलिए a = 7। फिर b = 12 – 7 = 5। इसलिए मूल संख्या 10×7 + 5 = 75 है। जाँच: अंकों को उलटने पर 10×5 + 7 = 57 मिलता है और 75 – 57 = 18 है, जो शर्त के अनुसार सही है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 8 है, इसलिए a + b = 8। तथ्य 2: मूल संख्या अंकों को उलटने से बनी संख्या से 54 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 54। सरल करने पर 9(a – b) = 54 मिलता है, इसलिए a – b = 6। a + b = 8 और a – b = 6 को जोड़ने पर 2a = 14 मिलता है, इसलिए a = 7। तब b = 8 – 7 = 1। इसलिए मूल संख्या 10×7 + 1 = 71 है। जाँच: अंक उलटने पर 10×1 + 7 = 17 मिलता है और 71 – 17 = 54, जो दी गई शर्त से मेल खाता है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 5 है, इसलिए a + b = 5। तथ्य 2: मूल संख्या अंकों को उलटने से बनी संख्या से 9 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 9। सरल करने पर 9(a – b) = 9 मिलता है, इसलिए a – b = 1। a + b = 5 और a – b = 1 को जोड़ने पर 2a = 6 मिलता है, इसलिए a = 3। तब b = 5 – 3 = 2। इसलिए मूल संख्या 10×3 + 2 = 32 है। जाँच: अंक उलटने पर 10×2 + 3 = 23 मिलता है और 32 – 23 = 9, जो दी गई शर्त से मेल खाता है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 5 है, इसलिए a + b = 5। तथ्य 2: मूल संख्या अंकों को उलटने से बनी संख्या से 27 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 27। सरल करने पर 9(a – b) = 27 मिलता है, इसलिए a – b = 3। a + b = 5 और a – b = 3 को जोड़ने पर 2a = 8 मिलता है, इसलिए a = 4। तब b = 5 – 4 = 1। इसलिए मूल संख्या 10×4 + 1 = 41 है। जाँच: अंक उलटने पर 10×1 + 4 = 14 मिलता है और 41 – 14 = 27, जो दी गई शर्त से मेल खाता है।

मान लें कि दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। मूल संख्या 10a + b है और अंकों को उलटने से बनी संख्या 10b + a है। तथ्य 1: अंकों का योग 6 है, इसलिए a + b = 6। तथ्य 2: मूल संख्या, अंकों को उलटने से बनी संख्या से 36 अधिक है, इसलिए (10a+b) – (10b+a) = 36। सरल करने पर 9(a – b) = 36 मिलता है, इसलिए a – b = 4। a + b = 6 और a – b = 4 को जोड़ने पर 2a = 10 मिलता है, इसलिए a = 5। फिर b = 6 – 5 = 1। इसलिए मूल संख्या 10×5 + 1 = 51 है। जाँच: अंकों को उलटने पर 10×1 + 5 = 15 मिलता है और 51 – 15 = 36, जो दी गई शर्त के अनुसार है।