अनुपात और समानुपात: सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरण — उत्तर सहित MCQ (सेट 1)

मिश्र अनुपात दो या अधिक अनुपातों को मिलाकर एक अनुपात बनाता है। इसे निकालने के लिए संगत पदों को आपस में गुणा करते हैं। a:b और c:d के लिए यह (a x c):(b x d) होता है।

व्युत्क्रमानुपात का अर्थ है कि x और y में से एक के बढ़ने पर दूसरा घटता है। उनका गुणनफल स्थिर रहता है: xy = k, जहाँ k एक अचर है। y बढ़ने पर x इस तरह घटता है कि गुणनफल समान बना रहे। उदाहरण के लिए, y को दोगुना करने पर x आधा हो जाता है।

सीधे समानुपात का अर्थ है कि x और y एक निश्चित अनुपात में साथ-साथ बढ़ते हैं। इसे x = ky के रूप में लिखा जाता है, जहाँ k एक अचर है। y बढ़ने पर x भी उसी निश्चित गुणक के अनुसार बढ़ता है। उदाहरण के लिए, y को दोगुना करने पर x भी दोगुना हो जाता है।

मध्यानुपाती m के लिए a:m = m:b होता है। वज्र गुणन करने पर m x m = a x b मिलता है, इसलिए m² = ab। वर्गमूल लेने पर m = √(ab) मिलता है। इसी कारण इसे a और b का गुणोत्तर माध्य भी कहते हैं।

जब a:b = b:c होता है, तो बीच का पद b समानुपात में दो बार आता है। यहाँ c को a और b का तृतीयानुपाती कहा जाता है। वज्र गुणन करने पर a x c = b x b मिलता है, इसलिए c = b²/a।

जब a:b = c:d होता है, तो चारों पद a, b, c, d समानुपात में होते हैं। यहाँ d को a, b और c का चतुर्थ समानुपाती कहते हैं। इसे तिर्यक गुणा करके निकालते हैं: a x d = b x c, इसलिए d = (b x c)/a।

अधिक श्रमिक काम को जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिनों की संख्या स्थिर रहती है। 4 श्रमिक 27 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिनों की संख्या = 4 x 27 = 108। 6 श्रमिकों के लिए: दिनों की संख्या = 108/6 = 18। जाँच: 6 x 18 = 108, जो 4 x 27 = 108 के बराबर है।

अधिक श्रमिक काम जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन स्थिर रहता है। 16 श्रमिक 22 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन = 16 x 22 = 352। 11 श्रमिकों के लिए: दिन = 352/11 = 32। जाँच: 11 x 32 = 352, जो 16 x 22 = 352 के बराबर है।

अधिक श्रमिक काम जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन स्थिर रहता है। 11 श्रमिक 6 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन = 11 x 6 = 66। 6 श्रमिकों के लिए: दिन = 66/6 = 11। जाँच: 6 x 11 = 66, जो 11 x 6 = 66 के बराबर है।

अधिक श्रमिक काम जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन स्थिर रहता है। 16 श्रमिक 18 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन = 16 x 18 = 288। 3 श्रमिकों के लिए: दिन = 288/3 = 96। जाँच: 3 x 96 = 288, जो 16 x 18 = 288 के बराबर है।

अधिक श्रमिक काम जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन स्थिर रहता है। 16 श्रमिक 12 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन = 16 x 12 = 192। 12 श्रमिकों के लिए: दिन = 192/12 = 16। जाँच: 12 x 16 = 192, जो 16 x 12 = 192 के बराबर है।

अधिक श्रमिक काम जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन स्थिर रहता है। 7 श्रमिक 24 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन = 7 x 24 = 168। 6 श्रमिकों के लिए: दिन = 168/6 = 28। जाँच: 6 x 28 = 168, जो 7 x 24 = 168 के बराबर है।

अधिक मजदूर काम को जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए मजदूरों की संख्या x दिनों की संख्या स्थिर रहती है। 16 मजदूर 3 दिन लेते हैं, इसलिए मजदूरों की संख्या x दिनों की संख्या = 16 x 3 = 48। 8 मजदूरों के लिए: दिनों की संख्या = 48/8 = 6। जाँच: 8 x 6 = 48, जो 16 x 3 = 48 के बराबर है।

अधिक श्रमिक काम जल्दी पूरा करते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन स्थिर रहता है। 12 श्रमिक 22 दिन लेते हैं, इसलिए श्रमिकों की संख्या x दिन = 12 x 22 = 264। 8 श्रमिकों के लिए: दिन = 264/8 = 33। जाँच: 8 x 33 = 264, जो 12 x 22 = 264 के बराबर है।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 9 श्रमिक 333 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 333/9 इकाइयाँ। 13 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (13 x 333)/9 = 4329/9 = 481। जाँच: 9 x 481 = 4329 और 13 x 333 = 4329, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 4 श्रमिक 108 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 108/4 इकाइयाँ। 11 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (11 x 108)/4 = 1188/4 = 297। जाँच: 4 x 297 = 1188 और 11 x 108 = 1188, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 3 श्रमिक 483 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 483/3 इकाइयाँ। 14 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (14 x 483)/3 = 6762/3 = 2254। जाँच: 3 x 2254 = 6762 और 14 x 483 = 6762, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 15 श्रमिक 219 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 219/15 इकाइयाँ। 10 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (10 x 219)/15 = 2190/15 = 146। जाँच: 15 x 146 = 2190 और 10 x 219 = 2190, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 6 श्रमिक 184 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 184/6 इकाइयाँ। 3 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (3 x 184)/6 = 552/6 = 92। जाँच: 6 x 92 = 552 और 3 x 184 = 552, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 12 श्रमिक 372 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 372/12 इकाइयाँ। 7 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (7 x 372)/12 = 2604/12 = 217। जाँच: 12 x 217 = 2604 और 7 x 372 = 2604, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 3 श्रमिक 234 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 234/3 इकाइयाँ। 17 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (17 x 234)/3 = 3978/3 = 1326। जाँच: 3 x 1326 = 3978 और 17 x 234 = 3978, जो बराबर हैं।

उत्पादन श्रमिकों की संख्या के सीधे समानुपाती है, इसलिए उत्पादन/श्रमिकों की संख्या स्थिर रहती है। 12 श्रमिक 96 इकाइयों का उत्पादन करते हैं, यानी प्रति श्रमिक 96/12 इकाइयाँ। 18 श्रमिकों के लिए: इकाइयाँ = (18 x 96)/12 = 1728/12 = 144। जाँच: 12 x 144 = 1728 और 18 x 96 = 1728, जो बराबर हैं।

A का 10%, B के 38% के बराबर है, इसलिए (10/100) x A = (38/100) x B। दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर: 10 x A = 38 x B। इसलिए A/B = 38/10। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 2 है। दोनों पदों को 2 से भाग देने पर A:B = 19:5 मिलता है। जाँच: 10 x 19 = 190 और 38 x 5 = 190, जो बराबर हैं।

A का 27%, B के 66% के बराबर है, इसलिए (27/100) x A = (66/100) x B। दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर: 27 x A = 66 x B। इसलिए A/B = 66/27। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 3 है। दोनों पदों को 3 से भाग देने पर A:B = 22:9 मिलता है। जाँच: 27 x 22 = 594 और 66 x 9 = 594, जो बराबर हैं।

A का 51%, B के 86% के बराबर है, इसलिए (51/100) x A = (86/100) x B। दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर: 51 x A = 86 x B। इसलिए A/B = 86/51। इनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 1 है। दोनों पदों को 1 से भाग देने पर A:B = 86:51 मिलता है। जाँच: 51 x 86 = 4386 और 86 x 51 = 4386, जो बराबर हैं।