मान लीजिए कि एक बस 6 घंटे में 180 km की दूरी तय करती है। उसकी चाल कितनी है? समय और दूरी के सभी प्रश्न तीन चीजों के एक छोटे-से संबंध पर आधारित होते हैं: चाल, दूरी और समय।
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प्र1. दो व्यक्ति एक ही दिशा में चलते हैं और एक दूसरे का पीछा कर रहा है। उनकी सापेक्ष चाल का सही सूत्र क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें कि दो व्यक्ति एक ही दिशा में चलते हैं और एक दूसरे का पीछा कर रहा है। हर सेकंड में तेज चलने वाला व्यक्ति, धीमे चलने वाले व्यक्ति की तुलना में जितनी अतिरिक्त दूरी तय करता है, उतना ही उसके करीब पहुँचता है। इसलिए सापेक्ष चाल = (अधिक चाल) – (कम चाल)। यही अंतर उनके बीच की दूरी घटने की दर है।
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प्र2. दो व्यक्ति एक ही समय पर दो बिंदुओं से एक-दूसरे की ओर चलना शुरू करते हैं। उनके मिलने में लगने वाले समय का सही सूत्र क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें कि दोनों शुरुआती बिंदुओं के बीच की दूरी D है। दोनों व्यक्ति एक-दूसरे की ओर चलते हैं। इसलिए उनके बीच की दूरी उनकी चालों के योग के बराबर दर से घटती है। सापेक्ष चाल = पहले व्यक्ति की चाल + दूसरे व्यक्ति की चाल। मिलने में लगने वाला समय = उनके बीच की दूरी / सापेक्ष चाल = D / (चालों का योग)।
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प्र3. एक व्यक्ति जाते और लौटते समय समान दूरी क्रमशः x km/hr और y km/hr की चाल से तय करता है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल का सही सूत्र क्या है?
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उत्तर: A
मान लें कि एक तरफ की दूरी d है। जाने में लगा समय = d/x। लौटने में लगा समय = d/y। कुल दूरी = 2d। कुल समय = d/x + d/y = d(x+y)/(xy)। औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 2d को d(x+y)/(xy) से भाग देने पर प्राप्त मान। इसे सरल करने पर 2xy/(x+y) मिलता है, जो x और y का हरात्मक माध्य है। यह साधारण औसत (x+y)/2 नहीं है।
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प्र4. यदि दो वाहनों A और B की चालों का अनुपात a : b है, तो समान निश्चित दूरी तय करने में लगने वाले उनके समयों का अनुपात क्या होगा?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें कि A और B की चालों का अनुपात a : b है। निश्चित दूरी के लिए, समय = दूरी / चाल। इसलिए समय, चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। समयों का अनुपात 1/a : 1/b होगा। दोनों पदों को ab से गुणा करने पर भिन्न हट जाते हैं। इससे b : a मिलता है, जो चालों के अनुपात का उल्टा है।
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प्र5. m/sec में दी गई चाल को km/hr में बदलने के लिए किस गुणक से गुणा करना चाहिए?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
1 m/sec का मतलब है हर घंटे 3600 मीटर, क्योंकि एक घंटे में 3600 सेकंड होते हैं। 3600 मीटर = 3.6 km। इसलिए 1 m/sec = 3.6 km/hr, जो 18/5 के बराबर है। m/sec में दी गई किसी भी चाल को km/hr में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें। यह km/hr को m/sec में बदलने वाले गुणक 5/18 का उल्टा है।
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प्र6. km/hr में दी गई चाल को m/sec में बदलने के लिए किस गुणक से गुणा करना चाहिए?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
1 km/hr का मतलब है हर 3600 सेकंड में 1000 मीटर। 1000/3600 को सरल करने पर 5/18 मिलता है। इसलिए 1 km/hr = 5/18 m/sec। km/hr में दी गई किसी भी चाल को m/sec में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें। जाँच: 18 km/hr x 5/18 = 5 m/sec, जो हल्की दौड़ की सामान्य चाल है।
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प्र7. यदि दूरी = D, चाल = S और समय = T है, तो कौन-सा सूत्र इनके बीच सही संबंध बताता है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें कि दूरी = D, चाल = S और समय = T है। दूरी, चाल और समय के गुणनफल के बराबर होती है: D = S x T। सूत्र को बदलने पर, चाल = D / T। फिर से बदलने पर, समय = D / S। उदाहरण: यदि S = 60 km/hr और T = 2 घंटे है, तो D = 60 x 2 = 120 km।
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प्र8. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/5 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 8 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 2 घंटे 48 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/5 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 8 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/5)/5 + (4x/5)/8। सरल करने पर x गुना 0.14 = 2.8 घंटे, यानी 2 घंटे 48 मिनट मिलता है। इसलिए x = 2.8 / 0.14 = 20 किमी। जाँच: 5 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/5 x 20 / 5 = 0.8 घंटे। 8 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 4/5 x 20 / 8 = 2 घंटे। कुल समय = 2.8 घंटे, जो दिए गए 2.8 घंटे के बराबर है।
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प्र9. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/2 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 3 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 3 घंटे 12 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/2 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 3 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/2)/5 + (1x/2)/3। सरल करने पर x गुना 0.27 = 3.2 घंटे, यानी 3 घंटे 12 मिनट मिलता है। इसलिए x = 3.2 / 0.27 = 12 किमी। जाँच: 5 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/2 x 12 / 5 = 1.2 घंटे। 3 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/2 x 12 / 3 = 2 घंटे। कुल समय = 3.2 घंटे, जो दिए गए 3.2 घंटे के बराबर है।
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प्र10. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 2/5 भाग 8 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 4 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 1 घंटा 12 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 2/5 भाग 8 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 4 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (2x/5)/8 + (3x/5)/4। सरल करने पर x गुना 0.2 = 1.2 घंटे, यानी 1 घंटा 12 मिनट मिलता है। इसलिए x = 1.2 / 0.2 = 6 किमी। जाँच: 8 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 2/5 x 6 / 8 = 0.3 घंटे। 4 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 3/5 x 6 / 4 = 0.9 घंटे। कुल समय = 1.2 घंटे, जो दिए गए 1.2 घंटे के बराबर है।
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प्र11. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 2/5 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 6 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 1 घंटा 48 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 2/5 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 6 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (2x/5)/5 + (3x/5)/6। सरल करने पर x गुना 0.18 = 1.8 घंटे, यानी 1 घंटा 48 मिनट मिलता है। इसलिए x = 1.8 / 0.18 = 10 किमी। जाँच: 5 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 2/5 x 10 / 5 = 0.8 घंटे। 6 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 3/5 x 10 / 6 = 1 घंटा। कुल समय = 1.8 घंटे, जो दिए गए 1.8 घंटे के बराबर है।
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प्र12. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/3 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 8 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 1 घंटा 12 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/3 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 8 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/3)/5 + (2x/3)/8। सरल करने पर x गुना 0.15 = 1.2 घंटे, यानी 1 घंटा 12 मिनट मिलता है। इसलिए x = 1.2 / 0.15 = 8 किमी। जाँच: 5 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/3 x 8 / 5 = 0.53 घंटे। 8 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 2/3 x 8 / 8 = 0.67 घंटे। कुल समय = 1.2 घंटे, जो दिए गए 1.2 घंटे के बराबर है।
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प्र13. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 2/5 भाग 4 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 6 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 1 घंटा 12 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 2/5 भाग 4 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 6 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (2x/5)/4 + (3x/5)/6। सरल करने पर x गुना 0.2 = 1.2 घंटे, यानी 1 घंटा 12 मिनट मिलता है। इसलिए x = 1.2 / 0.2 = 6 किमी। जाँच: 4 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 2/5 x 6 / 4 = 0.6 घंटे। 6 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 3/5 x 6 / 6 = 0.6 घंटे। कुल समय = 1.2 घंटे, जो दिए गए 1.2 घंटे के बराबर है।
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प्र14. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 2/5 भाग 8 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 4 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 2 घंटे 24 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 2/5 भाग 8 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 4 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (2x/5)/8 + (3x/5)/4। सरल करने पर x गुना 0.2 = 2.4 घंटे, यानी 2 घंटे 24 मिनट मिलता है। इसलिए x = 2.4 / 0.2 = 12 किमी। जाँच: 8 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 2/5 x 12 / 8 = 0.6 घंटे। 4 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 3/5 x 12 / 4 = 1.8 घंटे। कुल समय = 2.4 घंटे, जो दिए गए 2.4 घंटे के बराबर है।
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प्र15. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/5 भाग 3 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 6 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 3 घंटे 24 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/5 भाग 3 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 6 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/5)/3 + (4x/5)/6। सरल करने पर x गुना 0.2 = 3.4 घंटे, यानी 3 घंटे 24 मिनट मिलता है। इसलिए x = 3.4 / 0.2 = 17 किमी। जाँच: 3 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/5 x 17 / 3 = 1.13 घंटे। 6 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 4/5 x 17 / 6 = 2.27 घंटे। कुल समय = 3.4 घंटे, जो दिए गए 3.4 घंटे के बराबर है।
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प्र16. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/4 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 3 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 1 घंटा 48 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/4 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 3 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/4)/5 + (3x/4)/3। सरल करने पर x गुना 0.3 = 1.8 घंटे, यानी 1 घंटा 48 मिनट मिलता है। इसलिए x = 1.8 / 0.3 = 6 किमी। जाँच: 5 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/4 x 6 / 5 = 0.3 घंटे। 3 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 3/4 x 6 / 3 = 1.5 घंटे। कुल समय = 1.8 घंटे, जो दिए गए 1.8 घंटे के बराबर है।
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प्र17. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/4 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 3 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। उसे कुल 3 घंटे लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/4 भाग 5 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 3 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/4)/5 + (3x/4)/3। सरल करने पर x गुना 0.3 = 3 घंटे, यानी 3 घंटे मिलता है। इसलिए x = 3 / 0.3 = 10 किमी। जाँच: 5 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 1/4 x 10 / 5 = 0.5 घंटे। 3 किमी/घंटा की चाल से लगा समय = 3/4 x 10 / 3 = 2.5 घंटे। कुल समय = 3 घंटे, जो दिए गए 3 घंटे के बराबर है।
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प्र18. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 1/2 भाग 3 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 5 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। इसमें उसे कुल 3 घंटे 12 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 1/2 भाग 3 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 5 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (1x/2)/3 + (1x/2)/5। सरल करने पर x गुणा 0.27 = 3.2 घंटे, यानी 3 घंटे 12 मिनट मिलता है। इसलिए x = 3.2 / 0.27 = 12 किमी। जाँच: 3 किमी/घंटा की चाल पर लगा समय = 1/2 x 12 / 3 = 2 घंटे। 5 किमी/घंटा की चाल पर लगा समय = 1/2 x 12 / 5 = 1.2 घंटे। कुल = 3.2 घंटे, जो 3.2 से मेल खाता है।
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प्र19. एक साइकिल सवार किसी दूरी का 2/3 भाग 8 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 5 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। इसमें उसे कुल 1 घंटा 12 मिनट लगते हैं। कुल तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
मान लें कि कुल दूरी x किमी है। x का 2/3 भाग 8 किमी/घंटा की चाल से और बाकी भाग 5 किमी/घंटा की चाल से तय किया जाता है। समय = दूरी/चाल, इसलिए कुल समय = (2x/3)/8 + (1x/3)/5। सरल करने पर x गुणा 0.15 = 1.2 घंटे, यानी 1 घंटा 12 मिनट मिलता है। इसलिए x = 1.2 / 0.15 = 8 किमी। जाँच: 8 किमी/घंटा की चाल पर लगा समय = 2/3 x 8 / 8 = 0.67 घंटे। 5 किमी/घंटा की चाल पर लगा समय = 1/3 x 8 / 5 = 0.53 घंटे। कुल = 1.2 घंटे, जो 1.2 से मेल खाता है।
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प्र20. कार A 25 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 6 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार B 42 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 10 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार A और कार B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
प्रत्येक कार के लिए दूरी = चाल x समय। A द्वारा तय दूरी = 25 x 6 = 150 किमी। B द्वारा तय दूरी = 42 x 10 = 420 किमी। दूरियों का अनुपात = 150 : 420। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 30 से भाग दें: 150/30 : 420/30 = 5 : 14। जाँच: 5 x 30 = 150 और 14 x 30 = 420, इसलिए सरल किया गया अनुपात सही है।
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प्र21. कार A 62 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 10 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार B 32 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 9 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार A और कार B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
प्रत्येक कार के लिए दूरी = चाल x समय। A द्वारा तय दूरी = 62 x 10 = 620 किमी। B द्वारा तय दूरी = 32 x 9 = 288 किमी। दूरियों का अनुपात = 620 : 288। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 4 से भाग दें: 620/4 : 288/4 = 155 : 72। जाँच: 155 x 4 = 620 और 72 x 4 = 288, इसलिए सरल किया गया अनुपात सही है।
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प्र22. कार A 56 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 8 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार B 85 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 10 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार A और कार B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: B
प्रत्येक कार के लिए दूरी = चाल x समय। A द्वारा तय दूरी = 56 x 8 = 448 किमी। B द्वारा तय दूरी = 85 x 10 = 850 किमी। दूरियों का अनुपात = 448 : 850। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 2 से भाग दें: 448/2 : 850/2 = 224 : 425। जाँच: 224 x 2 = 448 और 425 x 2 = 850, इसलिए सरल किया गया अनुपात सही है।
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प्र23. कार A 43 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 4 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार B 51 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 2 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार A और कार B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: C
प्रत्येक कार के लिए दूरी = चाल x समय। A द्वारा तय दूरी = 43 x 4 = 172 किमी। B द्वारा तय दूरी = 51 x 2 = 102 किमी। दूरियों का अनुपात = 172 : 102। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 2 से भाग दें: 172/2 : 102/2 = 86 : 51। जाँच: 86 x 2 = 172 और 51 x 2 = 102, इसलिए सरल किया गया अनुपात सही है।
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प्र24. कार A 75 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 7 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार B 51 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 5 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार A और कार B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: D
प्रत्येक कार के लिए दूरी = चाल x समय। A द्वारा तय दूरी = 75 x 7 = 525 किमी। B द्वारा तय दूरी = 51 x 5 = 255 किमी। दूरियों का अनुपात = 525 : 255। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 15 से भाग दें: 525/15 : 255/15 = 35 : 17। जाँच: 35 x 15 = 525 और 17 x 15 = 255, इसलिए सरल किया गया अनुपात सही है।
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प्र25. कार A 69 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 9 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार B 83 किमी/घंटा की चाल से चलती है और 2 घंटे में अपने गंतव्य पर पहुँचती है। कार A और कार B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात क्या है?
उत्तर और व्याख्या देखें
उत्तर: A
प्रत्येक कार के लिए दूरी = चाल x समय। A द्वारा तय दूरी = 69 x 9 = 621 किमी। B द्वारा तय दूरी = 83 x 2 = 166 किमी। दूरियों का अनुपात = 621 : 166। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 1 से भाग दें: 621/1 : 166/1 = 621 : 166। जाँच: 621 x 1 = 621 और 166 x 1 = 166, इसलिए सरल किया गया अनुपात सही है।
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